Chow-Gruppe

In der algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Chow-Gruppen eine wichtige Invariante von Varietäten.

Definition[Bearbeiten]

Sei <math>X</math> eine glatte, irreduzible, projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.

Die Gruppe der algebraischen Zykel der Kodimension i

<math>\mathcal{Z}^i(X)</math>

ist definiert als die freie abelsche Gruppe erzeugt von den irreduziblen (nicht notwendig glatten) Untervarietäten <math>W\subset X</math> der Kodimension <math>i</math>. Ein Element <math>Z\in\mathcal{Z}^i(X)</math> ist also eine endliche Summe

<math>Z=\sum_\alpha n_\alpha W_\alpha</math>

mit <math>n_\alpha\in\Z</math> und <math>W_\alpha\subset X</math> irreduzible Untervarietät der Kodimension <math>i</math>.

Zwei Untervarietäten

<math>Y,Z\subset X</math>

heißen rational äquivalent, wenn es eine Untervarietät

<math>V\subset X\times P^1</math>, welche flach über <math>P^1</math> ist,

sowie <math>a,b\in P^1</math> mit

<math>pr_X(V\cap X\times\left\{a\right\})=Y,pr_X(V\cap X\times\left\{b\right\})=Z</math>

gibt. Rationale Äquivalenz definiert eine Äquivalenzrelation auf der Zykelgruppe <math>\mathcal{Z}^i(X)</math>.

Die Chow-Gruppe <math>CH^i(X)</math> ist definiert als Quotient der Zykel-Gruppe modulo rationaler Äquivalenz:

<math>CH^i(X)=\mathcal{Z}^i(X)/\sim</math>.

Chow-Ring[Bearbeiten]

Das Schnittprodukt <math>\times</math> von Untervarietäten (anschaulich: modulo rationaler Äquivalenz bringt man Untervarietäten in allgemeine Lage und nimmt dann ihren Durchschnitt) definiert eine Abbildung

<math>CH^i(X)\otimes CH^j(X)\rightarrow CH^{i+j}(X)</math>

für alle <math>i,j</math>. Der Chow-Ring ist die direkte Summe der Chow-Gruppen

<math>CH(X)=\bigoplus_{i=0}^\infty CH^i(X)</math>

mit der durch das Schnittprodukt definierten Multiplikation.

Mittels des Schnittprodukts <math>\times\colon CH^k(X)\otimes CH^l(X)\to CH^{k+l}(X)</math> definiert man das globale Schnittprodukt <math>\cdot\colon CH^k(X)\otimes CH^l(X)\to CH^{k+l-\dim(X)}(X)</math> durch

<math>x\cdot y:=\Delta^*(x\times y)</math>

für die diagonale Einbettung <math>\Delta\colon X\to X\times X</math>.

Beispiele[Bearbeiten]

Für jede glatte, irreduzible Varietät ist

<math>CH^0(X)=\Z</math>.

<math>CH^1(X)</math> ist die Picardgruppe

<math>CH^1(X)=Pic(X)</math>.

Für den <math>n</math>-dimensionalen affinen Raum <math>A^n</math> gilt

<math>CH^k(A^n)=0</math> für <math>k\not=0,n</math>,

<math>CH^n(A^n)=\Z</math>.

Für den <math>n</math>-dimensionalen projektiven Raum <math>P^n</math> gilt

Beziehung zur algebraischen K-Theorie[Bearbeiten]

Sei <math>K(X)</math> der Funktionenkörper der Varietät <math>X</math> und <math>K_*^M(K(X))</math> die Milnorsche K-Theorie dieses Körpers. Dann ist

<math>CH^k(X)=\operatorname{Kokern}\left(\bigcup_{x\in X_{(p+1)}} K_1^M(K(X))\to \bigcup_{x\in X_{(p)}} K_0^M(K(X)) \right),</math>

wobei <math>X_{(p)}</math> die Menge aller Punkte von <math>X</math> der Dimension <math>p</math> ist.

Literatur[Bearbeiten]

Wei-Liang Chow: On Equivalence Classes of Cycles in an Algebraic Variety, Annals of Mathematics, Band 64, 1956, S. 450–479, ISSN 0003-486X
William Fulton: Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics 2, Berlin, New York: Springer-Verlag 1998, ISBN 978-0-387-98549-7, MR 1644323