Strahl (Geometrie)
Ein Strahl bzw. eine Halbgerade ist in der Geometrie eine gerade Linie, die auf einer Seite durch einen Anfangspunkt begrenzt ist und sich auf der anderen Seite ins Unendliche erstreckt.<ref>Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Literatur“ ist nicht vorhanden.</ref> Man kann sich den Strahl durch die Bewegung eines Punktes vorstellen, die im Anfangspunkt beginnt und ohne Richtungsänderung auf einer Geraden erfolgt, ähnlich wie ein Lichtstrahl.<ref>Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Literatur“ ist nicht vorhanden.</ref>
Der Strahl unterscheidet sich von der Strecke dadurch, dass er nur auf einer Seite begrenzt ist, wohingegen die Strecke beidseitig begrenzt ist. Die Gerade unterscheidet sich vom Strahl dadurch, dass sie beidseitig unbegrenzt ist.
Bezeichnungen und Eigenschaften[Bearbeiten]
Ein Strahl ist eindeutig bestimmt durch seinen Anfangspunkt <math>A</math> und einen weiteren Punkt <math>B</math> auf dem Strahl, der seine Richtung spezifiziert; man spricht auch vom Strahl mit dem Ursprung <math>A</math> in Richtung <math>B</math>.<ref name=":0">Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Literatur“ ist nicht vorhanden.</ref> Er wird häufig mit <math>[AB</math> oder <math>\overrightarrow{AB} </math> bezeichnet, wobei die erste Schreibweise zum Ausdruck bringt, dass der Strahl durch den Punkt <math>A</math> begrenzt wird, sich aber über den Punkt <math>B</math> hinaus erstreckt. Gehört der Anfangspunkt zum Strahl, so spricht man von einer abgeschlossenen Halbgeraden, ansonsten von einer offenen Halbgeraden.<ref name=":1">Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Literatur“ ist nicht vorhanden.</ref>
Jeder Punkt <math>A</math> auf einer Geraden <math>g</math> zerlegt die Gerade in zwei komplementäre Strahlen <math>h_1</math> und <math>h_2</math> mit gemeinsamem Anfangspunkt <math>A</math>.<ref name=":1" /><ref>Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Literatur“ ist nicht vorhanden.</ref> Somit lässt sich ein Strahl als Teil einer Geraden auffassen,<ref>Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Literatur“ ist nicht vorhanden.</ref> was die alternative Bezeichnung Halbgerade rechtfertigt.
Für eine logisch strenge Definition eines Strahls im Rahmen eines Axiomensystems gibt es zwei Möglichkeiten: Ist die Gerade mit einem Durchlaufsinn (Orientierung) versehen, so lässt sich die eine Halbgerade definieren als die Menge aller Punkte, die vor <math>A</math> liegen und die andere Halbgerade als die Menge aller Punkte, die hinter <math>A</math> liegen.<ref>Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Literatur“ ist nicht vorhanden.</ref> Mit Hilfe der Zwischen-Relation („… liegt zwischen … und …“) hingegen lässt sich die Halbgerade <math>[AB</math> definieren als die Menge aller Punkte <math>X</math> auf der Geraden <math>AB</math>, für die <math>A</math> nicht zwischen <math>B</math> und <math>X</math> liegt.<ref name=":0" />
Analytische Darstellung[Bearbeiten]
In der analytischen Geometrie entspricht die Halbgerade <math>[AB</math> der Menge aller Punkte <math>X</math>, deren Ortsvektor <math>\vec{X}</math> gegeben ist durch
- <math>\vec{x} = \vec{a} + \lambda (\vec{b} - \vec{a})</math> mit <math>\lambda \ge 0</math>.
Dabei sind <math>\vec{a}</math> und <math>\vec{b}</math> die Ortsvektoren der Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. <math>\lambda</math> ist der (reelle) Parameter dieser Parametergleichung. Zur Definition einer offenen Halbgeraden schränkt man den Parameter auf echt positive Werte ein.
Einzelnachweise[Bearbeiten]
<references />