Kegelschnitt
Der zweite Hyperbelast fehlt hier, weil nur ein einfacher Kegel und kein Doppelkegel (Spitze gegen Spitze) geschnitten wird.
Kegelschnitte sind spezielle Kurven, die durch den Schnitt der Mantelfläche eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene entstehen. Die wichtigsten Kegelschnittarten (reguläre oder nicht ausgeartete Kegelschnitte)<ref>Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: Elemente der Geometrie. 5. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2017, ISBN 978-3-662-50322-5, S. 241.</ref> sind die Ellipse (mit dem Kreis als Sonderfall), die Parabel und die Hyperbel. Diese drei Haupttypen ergeben sich dann, wenn die Ebene nicht durch die Spitze des Kegels geht. Verläuft dagegen die Schnittebene durch die Kegelspitze, so spricht man von ausgearteten Kegelschnitten.<ref>Schülerduden Die Mathematik II (11.–13. Schuljahr). 3. Auflage. Dudenverlag, Mannheim 1991, ISBN 3-411-04273-7, S. 197.</ref>
Kegelschnitte haben viele charakteristische Eigenschaften, die als alternative Definitionen herangezogen werden können. Insbesondere werden Ellipse, Parabel und Hyperbel häufig in der zweidimensionalen Ebene ohne Rückgriff auf einen Kegel als Ortskurven definiert, für die gewisse Abstandsbedingungen gelten. Der Nachweis, dass die regulären Kegelschnitte (im Sinne von Schnittkurven) diese Bedingungen tatsächlich erfüllen, lässt sich ohne Rechnung mithilfe der Dandelinschen Kugeln führen.<ref>Kleine Enzyklopädie Mathematik. VEB Verlag Enzyklopädie, Leipzig 1977, S. 325 f.</ref>
Ein Kegelschnitt kann auch als zweidimensionaler Spezialfall einer Quadrik angesehen werden. Deren entsprechend verkürzte allgemeine Gleichung
- <math>A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0</math><ref name="Hess"></ref>
wird auch als allgemeine Kegelschnitt(s)gleichung bezeichnet.<ref>Maximilian Ganster, Universität Graz: Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte). Abgerufen am 9. September 2026.</ref>
Einteilung der Kegelschnitte[Bearbeiten]
Bei der Definition eines Kegelschnitts wird meist ein Doppelkegel vorausgesetzt.<ref group="An">Im Falle der Ellipse und der Parabel würde allerdings auch eine „Hälfte“ des Doppelkegels ausreichen.</ref> Als Mantellinien bezeichnet man die Geraden auf dem Doppelkegel, sie gehen alle durch die gemeinsame Spitze. Unter dem Öffnungswinkel des Doppelkegels versteht man den maximalen Winkel zwischen zwei Mantellinien.
Reguläre Kegelschnitte[Bearbeiten]
Von Bedeutung sind die Kegelschnitte, bei denen die Ebene nicht durch die gemeinsame Spitze des Doppelkegels geht. Über den Typ des Kegelschnitts entscheidet der Vergleich zweier Winkel:
- Halber Öffnungswinkel des Doppelkegels (Winkel zwischen einer Mantellinie und der Drehachse, in den Zeichnungen <math>\alpha</math>)
- Schnittwinkel zwischen der Ebene und der Drehachse des Doppelkegels (in den Zeichnungen <math>\beta</math>)
-
Ellipse als Kegelschnitt, <math>\beta > \alpha</math>
Sonderfall Kreis, <math>\beta = 90^\circ</math> -
Parabel als Kegelschnitt, <math>\beta = \alpha</math>
-
Hyperbel als Kegelschnitt, <math>\beta < \alpha</math>
- 1. Fall Ellipse
Ist der Schnittwinkel zwischen Ebene und Drehachse größer als der halbe Öffnungswinkel (<math>\beta > \alpha</math>), so entsteht eine Ellipse. Eine Ellipse ist eine geschlossene Kurve (ein Oval). Sie besitzt zwei zueinander senkrechte Symmetrieachsen und ein Symmetriezentrum (den Mittelpunkt der Ellipse).
Wichtiger Spezialfall: Bei einem Schnittwinkel von <math>90^\circ</math> ist die Ellipse ein Kreis.
- 2. Fall Parabel
Sind die beiden genannten Winkel gleich groß (<math>\beta = \alpha</math>), so ist die Schnittkurve eine Parabel. Im Gegensatz zur Ellipse erstreckt sich eine Parabel ins Unendliche. Sie besitzt nur eine Symmetrieachse und kein Symmetriezentrum.
- 3. Fall Hyperbel
Ist der Schnittwinkel zwischen Ebene und Drehachse kleiner als der halbe Öffnungswinkel (<math>\beta < \alpha</math>), so entsteht eine Hyperbel. Eine Hyperbel besteht aus zwei Teilen (den Hyperbelästen), die sich ins Unendliche erstrecken. Wie die Ellipse hat die Hyperbel zwei zueinander senkrechte Symmetrieachsen und ein Symmetriezentrum (den Mittelpunkt der Hyperbel). Hyperbeln besitzen Asymptoten, salopp gesprochen „Tangenten im Unendlichen“.
Ausgeartete Kegelschnitte[Bearbeiten]
sich schneidendes Geradenpaar, paralleles Geradenpaar, eine Gerade, ein Punkt
Geht die Ebene durch die gemeinsame Spitze des Doppelkegels, so können mehrere Sonderfälle auftreten, die man als ausgeartete oder zerfallende Kegelschnitte bezeichnet.
- Sich schneidendes Geradenpaar
- Paralleles Geradenpaar
- Gerade
- Punkt
- Leere Menge
Bemerkung: In der höheren Geometrie (nämlich der projektiven Geometrie) gelten parallele Linien als Geraden, die sich in einem unendlich fernen Punkt schneiden. Fasst man diesen Punkt als Kegelspitze auf, wird der Zylinder zu einem Spezialfall des Kegels.
-
Sich schneidendes Geradenpaar als Kegelschnitt, <math>\beta < \alpha</math>
-
Paralleles Geradenpaar als Zylinderschnitt, <math>a < r,</math>
<math>a = r</math> ergibt Gerade (Mantellinie),
<math>a > r</math> ergibt leere Menge. -
Gerade (<math>\beta = \alpha</math>) und
Punkt (<math>\beta >\alpha</math>) als Kegelschnitte
Kegelschnitte als Ortskurven[Bearbeiten]
Die regulären Kegelschnitte lassen sich auch als Ortskurven (geometrische Örter) beschreiben, also als Mengen von Punkten der Ebene mit bestimmten Eigenschaften.
Definition durch Abstände von den Brennpunkten[Bearbeiten]
Ellipse und Hyperbel können mithilfe spezieller Punkte, der sogenannten Brennpunkte (hier mit <math>F_1</math> und <math>F_2</math> bezeichnet), definiert werden.
Die Punkte <math>P</math> einer Ellipse sind dadurch gekennzeichnet, dass für sie die Abstandssumme konstant ist.<ref name="dtv-197"></ref>
- <math>|P F_1| + |P F_2| = 2 a \quad \text{(konstant)}</math>
Entsprechend sind die Punkte einer Hyperbel durch eine konstante Abstandsdifferenz bestimmt.<ref name="dtv-197" />
- <math>||P F_2| - |P F_1|| = 2 a \quad \text{(konstant)}</math>
<math>a</math> ist dabei der Abstand eines Hauptscheitels vom Mittelpunkt (siehe Zeichnungen).
Definition durch Abstände von einem Brennpunkt und einer Leitlinie[Bearbeiten]
Bei einer weiteren Definition werden ein Punkt <math>F</math> (Brennpunkt) und eine Gerade <math>l</math> (Leitlinie oder Direktrix) als gegeben betrachtet. Die Punkte <math>P</math> eines Kegelschnitts sind dadurch gekennzeichnet, dass für sie das Verhältnis zwischen dem Brennpunktsabstand <math>|PF|</math> und dem Leitlinienabstand <math>|Pl|</math> gleich einem konstanten Wert <math>\varepsilon</math> ist.
- <math>\frac{|PF|}{|Pl|} = \varepsilon \quad \text{(konstant)}</math>
Für <math>0 < \varepsilon < 1</math> ergibt sich eine Ellipse, für <math>\varepsilon = 1</math> eine Parabel und für <math>\varepsilon > 1</math> eine Hyperbel.<ref></ref> Der Kreis (<math>\varepsilon = 0</math>) ist bei dieser Definition ein Grenzfall, mit Leitlinie im Unendlichen. Die geometrische Bedeutung von <math>\varepsilon</math> (numerische Exzentrizität) wird in den Artikeln zur Ellipse und zur Hyperbel erläutert.
-
Ellipse mit Brennpunkten und Leitlinien
-
Parabel mit Brennpunkt und Leitlinie
-
Hyperbel mit Brennpunkten und Leitlinien
Herleitung der Abstandsbedingungen[Bearbeiten]
Der Beweis, dass die Ortskurven (im Sinne von Schnittkurven zwischen Doppelkegel und Ebene) über die Abstände der Kurvenpunkte von Brennpunkten und Leitlinien beschrieben werden können, wird meist mit den Dandelinschen Kugeln geführt. Diese Kugeln haben ihren Mittelpunkt auf der Kegelachse und berühren sowohl den Doppelkegel als auch die Ebene, sind also einbeschriebene Kugeln. Die Punkte, in denen sich die Kugeln und die Ebene berühren, sind die Brennpunkte des Kegelschnitts. Die Schnittlinien zwischen der Schnittebene und den Ebenen mit dem Berührungskreis des Kegels sind die Leitlinien. Bedeutsam für die Beweisführung ist die Tatsache, dass für einen Punkt außerhalb einer Kugel alle Tangentenabschnitte (zwischen dem Punkt und dem Berührpunkt) gleich lang sind.
Kegelschnittgleichungen in Normalform[Bearbeiten]
Wenn man Gleichungen von Kegelschnitten in kartesischen Koordinaten aufstellen will, ist es sinnvoll, die Symmetrieeigenschaften auszunutzen, um einfache Gleichungen zu erhalten. Das Koordinatensystem wird so gelegt, dass die Symmetrieachsen mit Koordinatenachsen übereinstimmen. Für Ellipse und Hyperbel folgt daraus, dass der Mittelpunkt mit dem Ursprung zusammenfällt. Bei Parabeln wird die Gleichung am einfachsten, wenn der Scheitel als Ursprung genommen wird. Die folgende Auflistung enthält für die verschiedenen Typen solche Gleichungen (hier als Normalformen bezeichnet). Wegen ihrer Einfachheit eignen sich die Normalformen besonders gut für rechnerische Beweise von Kegelschnitteigenschaften.
Gleichungen für die regulären Kegelschnitte[Bearbeiten]
- Ellipse mit Mittelpunkt <math>(0,0)</math> und Halbachsen <math>a, b</math>, Halbachse <math>a</math> auf der x-Achse
- <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math>
- Speziell für <math>a = b = r</math> handelt es sich um einen Kreis mit Radius <math>r</math>.
- Hyperbel mit Mittelpunkt <math>(0,0)</math> und Halbachsen <math>a, b</math>, Halbachse <math>a</math> auf der x-Achse
- <math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1</math>
- Speziell für <math>a = b</math> handelt es sich um eine gleichseitige Hyperbel mit zueinander senkrechten Asymptoten.
- Parabel mit Scheitel im Punkt <math>(0,0)</math>, x-Achse als Symmetrieachse
- <math>x = c y^2</math>
- Parabel mit Scheitel im Punkt <math>(0,0)</math>, y-Achse als Symmetrieachse
- <math>y = c x^2</math>
Der Faktor <math>c</math> ist gegeben durch <math>c = \tfrac{1}{4f}</math>, wobei <math>f</math> den Abstand zwischen Scheitel und Brennpunkt bezeichnet.
Gleichungen für die ausgearteten Kegelschnitte[Bearbeiten]
- Sich schneidendes Geradenpaar mit Schnittpunkt <math>(0,0)</math> und Steigung <math>\pm m</math>
- <math>m^2 x^2 - y^2 = 0</math>
- Paralleles Geradenpaar, parallel zur y-Achse im Abstand <math>a</math> vom Ursprung
- <math>x^2 - a^2 = 0</math>
- Gerade durch den Punkt <math>(0,0)</math>, y-Achse (Doppelgerade)
- <math>x^2 = 0</math>
- Punkt <math>(0,0)</math>, Ursprung
- <math>x^2 + y^2 = 0</math>
- Leere Menge
- <math>x^2 + 1 = 0</math>
Beweisidee für die Herleitung der Gleichungen[Bearbeiten]
Zur Herleitung der genannten Gleichungen werden meist die Abstandsbedingungen verwendet. Im Falle einer Ellipse sind die beiden Brennpunkte durch <math>F_1(e,0)</math> und <math>F_2(-e,0)</math> gegeben, wobei <math>e</math> für die lineare Exzentrizität, also den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt steht. Ein beliebiger Punkt der Ellipse wird durch <math>P(x,y)</math> ausgedrückt. Mithilfe des Satzes von Pythagoras lassen sich für die Brennpunktabstände folgende Rechenausdrücke angeben:
- <math>|PF_1| = \sqrt{(x-e)^2 + y^2}</math>
- <math>|PF_2| = \sqrt{(x+e)^2 + y^2}</math>
Setzt man diese Terme in die Abstandsbedingung
- <math>|PF_1| + |PF_2| = 2a</math>
ein, so erhält man durch beidseitiges Quadrieren und weitere algebraische Umformungen die Gleichung
- <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 - e^2} = 1</math>.
Durch Berücksichtigung der Beziehung <math>e^2 + b^2 = a^2</math> (Pythagoras) ergibt sich, wie behauptet,
- <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math>.
Die Herleitung der Hyperbelgleichung erfolgt ganz entsprechend. Allerdings muss hier statt der Abstandssumme die Abstandsdifferenz verwendet werden. Außerdem gilt für die Hyperbel <math>a^2 + b^2 = e^2</math>.
Bei der Herleitung der Parabelgleichung wird der Brennpunkt <math>F(0,f)</math> auf der y-Achse vorausgesetzt. <math>f</math> ist dabei der Abstand zwischen Brennpunkt und Scheitel. Die Leitlinie <math>l</math> (parallel zur x-Achse) hat dann die Gleichung <math>y = -f</math>.
Gemäß der Leitlinieneigenschaft müssen die Abstände
- <math>|PF| = \sqrt{x^2 + (y-f)^2}</math> und
- <math>|Pl| = y + f</math>
gleich sein. Durch beidseitiges Quadrieren entsteht die Parabelgleichung
- <math>y = \frac{1}{4f} x^2</math>.
Allgemeine Kegelschnittgleichung[Bearbeiten]
Gleichung[Bearbeiten]
Geht man von einer der beschriebenen Normalformen einer Kegelschnittgleichung aus, so entsteht nach beliebigen Parallelverschiebungen und Drehungen des Koordinatensystems immer eine Gleichung des Typs
- <math>A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0</math>.<ref group="An">Manche Autoren setzen vor die Koeffizienten B, D und E den Faktor 2. Dadurch lassen sich in einigen Formeln Brüche mit dem Nenner 2 vermeiden.</ref>
Alle Arten von Kegelschnitten, auch die ausgearteten, lassen sich durch eine solche Gleichung beschreiben.<ref name="Hess" /> Ist mindestens einer der Koeffizienten <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> verschieden von 0, so handelt es sich hier um eine Gleichung 2. Grades mit 2 Variablen. Umgekehrt beschreibt eine solche Gleichung immer einen Kegelschnitt.<ref group="An">Bei dieser Aussage werden die Zylinderschnitte zu den Kegelschnitten gezählt.</ref> Daher nennt man diese Gleichung die allgemeine Kegelschnittgleichung.
Ermittlung der Kegelschnittart[Bearbeiten]
Aus der allgemeinen Kegelschnittgleichung lässt sich mithilfe der Invarianten
- <math>\Delta = \begin{vmatrix} A & B/2 & D/2\\ B/2 & C & E/2\\ D/2 & E/2 & F \end{vmatrix} , \quad
\delta = \begin{vmatrix} A & B/2\\ B/2 & C \end{vmatrix}, \quad S = A + C</math> ermitteln, welcher Typ eines Kegelschnitts vorliegt.<ref>Ilʹja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik. 11., aktualisierte Auflage. Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1, S. 212 (Formel (3.356a), Bezeichnungen angepasst).</ref> Dabei sind die Rechenausdrücke für <math>\Delta</math> und <math>\delta</math> Determinanten. Die Bezeichnung Invarianten weist darauf hin, dass sich die Werte nicht ändern, wenn das Koordinatensystem verschoben oder gedreht wird.
- Eine Ellipse liegt genau dann vor, wenn die Bedingungen <math>\delta > 0</math>, <math>\Delta \ne 0</math> und <math>\Delta \cdot S < 0</math> erfüllt sind.
- Eine Hyperbel liegt genau dann vor, wenn die Bedingungen <math>\delta < 0</math> und <math>\Delta \ne 0</math> erfüllt sind.
- Eine Parabel ist gekennzeichnet durch die Bedingungen <math>\delta = 0</math> und <math>\Delta \ne 0</math>.<ref name="Bronstein-213f">Ilʹja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik. 11., aktualisierte Auflage. Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1, S. 213–214 (Tabellen 3.19 und 3.20, Bezeichnungen angepasst).</ref>
Kegelschnitte mit <math>\Delta = 0</math> sind immer ausgeartet. Ist bekannt, dass eine gegebene Gleichung einen nicht ausgearteten Kegelschnitt beschreibt, so kann man an der Determinante <math>\delta = A C - B^2/4</math> schon erkennen, ob es sich um eine Ellipse (<math>\delta > 0 </math>), eine Hyperbel (<math>\delta < 0</math>) oder eine Parabel (<math>\delta = 0</math>) handelt.
Hauptachsentransformation[Bearbeiten]
Die allgemeine Gleichung für Kegelschnitte lautet
- <math>A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0</math>.
Es wird angenommen, dass es sich um eine Gleichung 2. Grades handelt. Damit ist der Fall <math>A = B = C = 0</math> ausgeschlossen, in dem die Gleichung eine Gerade oder die ganze euklidische Ebene oder die leere Menge beschreiben würde.
Im Folgenden soll gezeigt werden, wie eine beliebige Gleichung dieses Typs in eine der oben angegebenen Normalformen umgewandelt werden kann. Dieses Ziel lässt sich durch die sogenannte Hauptachsentransformation erreichen. Sie besteht aus zwei einzelnen Transformationen:
- Drehung des Koordinatensystems zur Beseitigung des gemischten Glieds <math>Bxy</math>
- Verschiebung des Nullpunktes (Translation) derart, dass – falls möglich – die linearen Terme <math>D x</math> und <math>E y</math> verschwinden
Auch die umgekehrte Reihenfolge ist möglich.
- 1. Schritt (Drehung)
Falls <math>B \ne 0</math> gilt, wird das Koordinatensystem um einen Winkel <math>\alpha</math> gedreht. Der Ursprung ändert sich in diesem Schritt nicht. Die Drehung lässt sich beschreiben durch die Koordinatentransformation
- <math>\begin{align}
x &= x' \cos\alpha - y' \sin\alpha,\\ y &= x' \sin\alpha + y' \cos\alpha. \end{align}</math> Die Forderung, dass das gemischte Glied wegfallen soll, führt zur Bedingung
- <math>\tan(2\alpha) = \frac{B}{A-C}</math>
für den Drehwinkel <math>\alpha</math>.<ref name="Bronstein-213f" /><ref group="An">Der Winkel <math>\alpha</math> ist durch diese Gleichung nicht eindeutig bestimmt. Er muss so gewählt werden, dass das Vorzeichen von <math>\sin(2\alpha)</math> mit dem Vorzeichen von <math>B</math> übereinstimmt.</ref> Im Spezialfall <math>A = C</math> ist die rechte Seite der Gleichung nicht definiert; dann ist <math>\alpha = 45^\circ</math> zu setzen.
Die Gleichung des Kegelschnitts hat nun die Form
- <math>A x^2 + C y^2 + D x + E y + F = 0</math>.
Eigentlich wären hier neue Bezeichnungen für Koeffizienten und Koordinaten nötig; aus Gründen der Einfachheit wird darauf verzichtet.
- 2. Schritt (Verschiebung)
Das Koordinatensystem wird so verschoben, dass eine möglichst einfache Gleichung entsteht.
- Falls <math>A \ne 0</math> ist, führt eine quadratische Ergänzung zum Term <math>A \left(x + \tfrac{D}{2A}\right)^2</math> und damit zur Verschiebung <math>x' = x + \tfrac{D}{2A}</math>.
- Falls <math>C \ne 0</math> ist, führt eine quadratische Ergänzung zum Term <math>C \left(y + \tfrac{E}{2C}\right)^2</math> und damit zur Verschiebung <math>y' = y + \tfrac{E}{2C}</math>.
Nach diesen beiden Schritten enthält die Kegelschnittgleichung (<math>x'</math> und <math>y'</math> werden wieder durch <math>x,y</math> ersetzt) nur noch maximal drei Summanden:
- Fall 1: <math>\quad ux^2 + vy^2 + w = 0 \quad</math> mit <math>\quad u \ne 0, v \ne 0 \quad</math> oder
- Fall 2: <math>\quad ux^2 + vy + w = 0 \quad</math> oder <math>\quad uy^2 + vx + w = 0 \quad</math> mit <math>\quad u \ne 0</math>.
- Fall 1
Aus der Gleichung ist sofort die Zentralsymmetrie zu erkennen. Folgende Kegelschnitte sind möglich:
- Ellipse, falls entweder <math>u>0, v>0, w<0</math> oder <math>u<0, v<0, w>0</math>
- Hyperbel, falls entweder <math>u>0, v<0, w\ne0</math> oder <math>u<0, v>0, w\ne0</math>
- Sich schneidende Geraden (durch den Ursprung)
- Punkt (Ursprung)
- Leere Menge
- Fall 2
Im Fall 2 gibt es die folgenden Möglichkeiten:
- Parabel, falls <math>u \ne 0, v \ne 0</math>
- Parallele Geraden
- Gerade
- Leere Menge
Kegelschnitte durch gegebene Punkte[Bearbeiten]
Kegelschnitt durch 5 Punkte[Bearbeiten]
Da die 6 Koeffizienten der allgemeinen Kegelschnittgleichung nur bis auf einen Faktor eindeutig bestimmt sind, benötigt man für die Berechnung der Koeffizienten im Allgemeinen 5 Punkte bzw. 5 Gleichungen. Allerdings existiert nicht für jede Wahl der 5 Punkte ein entsprechender Kegelschnitt (Gegenbeispiel: 4 Punkte auf einer Geraden, 1 Punkt nicht auf der Geraden). Ein regulärer Kegelschnitt (Ellipse, Parabel, Hyperbel) ist durch 5 Punkte eindeutig bestimmt, falls keine 3 dieser Punkte auf einer Geraden liegen. Eine elegante Formel dazu verwendet eine 6×6-Determinante:
Ellipse mit <math>a = \sqrt{2}</math> und <math>b = \sqrt{\tfrac{2}{3}}</math>
- <math>\begin{vmatrix}
x^2 & xy & y^2 & x & y & 1\\ x_1^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1\\ x_2^2 & x_2y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1\\ x_3^2 & x_3y_3 & y_3^2 & x_3 & y_3 & 1\\ x_4^2 & x_4y_4 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1\\ x_5^2 & x_5y_5 & y_5^2 & x_5 & y_5 & 1\\ \end{vmatrix} = 0</math> Dabei sind <math>(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3), (x_4,y_4), (x_5,y_5)</math> die vorgegebenen Punkte.<ref></ref>
Beispiel: Der Kegelschnitt durch die 5 Punkte <math>(1,0), (-1,0), (0,1), (-1,-1), (1,1)</math> hat nach Ausrechnen obiger Determinante die Gleichung <math>-4x^2+4xy-4y^2+4=0</math> oder nach Vereinfachung <math>x^2-xy+y^2-1=0</math>. Die Hauptachsentransformation erfolgt mit einer Drehung um <math>45^\circ</math>. Eine Verschiebung ist nicht nötig. Der Kegelschnitt hat die transformierte Gleichung <math>\tfrac{1}{2} x^2 + \tfrac{3}{2} y^2 - 1 = 0</math> und ist eine Ellipse mit den Halbachsen <math>a = \sqrt{2}</math> und <math>b = \sqrt{\tfrac{2}{3}}</math>.
Kreis durch 3 Punkte[Bearbeiten]
Ein Kreis ist schon durch 3 Punkte (nicht auf einer Geraden) eindeutig bestimmt. Die Gleichung erhält man durch die 4×4-Determinante
- <math>\begin{vmatrix}
x^2 + y^2 & x & y & 1\\ x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 & 1\\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 & 1\\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 & 1\\ \end{vmatrix} =0</math>.<ref></ref>
Scheitelgleichung eines regulären Kegelschnitts[Bearbeiten]
Ein regulärer Kegelschnitt, der zur <math>x</math>-Achse symmetrisch ist und im Punkt <math>(0,0)</math> einen Scheitel hat, lässt sich durch die Gleichung
- <math>y^2 = 2px +(\varepsilon^2 - 1) x^2 \qquad</math> mit <math>p>0, \, \varepsilon\ge 0</math>
beschreiben<ref></ref> (zum Beweis siehe Leitlinieneigenschaft der Ellipse bzw. der Hyperbel).
<math>2p</math> ist dabei die Weite des Kegelschnitts, gemessen am Brennpunkt senkrecht zur <math>x</math>-Achse. <math>p</math> ist der Halbparameter, zugleich der Krümmungskreisradius im Scheitel <math>(0,0)</math>. <math>\varepsilon</math> bezeichnet die numerische Exzentrizität.
Für <math>\varepsilon = 0</math> erhält man einen Kreis, für <math>0 <\varepsilon < 1</math> eine Ellipse, für <math>\varepsilon = 1</math> eine Parabel und für <math>\varepsilon > 1</math> eine Hyperbel.
Für Ellipsen und Hyperbeln gilt <math>\varepsilon = e/a</math>, wobei <math>a</math> die große Halbachse bzw. die halbe Hauptachse bezeichnet und <math>e</math> die lineare Exzentrizität. Im Fall einer Ellipse ist <math>(a,0)</math> der Mittelpunkt und <math>(a-e,0)</math> ein Brennpunkt. Im Fall einer Hyperbel ist <math>(-a,0)</math> der Mittelpunkt und <math>(e-a,0)</math> ein Brennpunkt. Im Fall einer Parabel ist <math>(\tfrac{p}{2},0)</math> der Brennpunkt. Für den Kreis (mit <math>\varepsilon = 0</math>) liegt der Mittelpunkt bei <math>(p,0)</math> und der Radius ist <math>p</math>.
Direkte Herleitung einer Kegelschnittgleichung[Bearbeiten]
Die Scheitelgleichung eines Kegelschnitts kann auch direkt hergeleitet werden. Der (Doppel-)Kegel sei durch den Ortsvektor <math>\vec{s}</math> der Spitze, den Achseneinheitsvektor <math>\vec{a}</math> und den halben Öffnungswinkel <math>\alpha</math> gegeben. Die xy-Ebene sei die Ebene des Kegelschnitts. Der Winkel zwischen Ebene und Kegelachse sei mit <math>\beta</math> bezeichnet, der Abstand zwischen Kegelspitze und Ebene mit <math>s_z</math>. Im Falle eines regulären Kegelschnitts gilt <math>s_z > 0</math>.
Der Verbindungsvektor <math>\vec{SR} = \vec{r}-\vec{s}</math> und der Achseneinheitsvektor <math>\vec{a}</math> sind durch blaue Pfeile dargestellt. S ist die Kegelspitze, R ein beliebiger Punkt der Ellipse.
Bezeichnet man den Ortsvektor eines Punktes auf dem einfachen Kegel mit <math>\vec{r}</math>, so lässt sich mithilfe des Skalarprodukts die folgende Bedingung aufstellen.<ref name="dtv-197" />
- <math>(\vec{r}-\vec{s}) \cdot \vec{a} = |\vec{r}-\vec{s}| \, |\vec{a}| \cos\alpha = |\vec{r}-\vec{s}| \cos\alpha</math>
Die entsprechende Bedingung für Punkte auf dem Doppelkegel folgt durch beidseitiges Quadrieren:<ref name="dtv-197" />
- <math>((\vec{r}-\vec{s}) \cdot \vec{a})^2 = |\vec{r}-\vec{s}|^2 \cos^2\alpha = (\vec{r}-\vec{s}) \cdot (\vec{r}-\vec{s}) \cos^2\alpha</math>
Das räumliche Koordinatensystem kann so festgelegt werden, dass die Kegelspitze auf der positiven z-Achse liegt und die Kegelachse in der xz-Ebene. Die vorkommenden Vektoren haben die Form
- <math>\vec{s} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ s_z \end{pmatrix}, \quad \vec{a} = \begin{pmatrix} \cos\beta\\ 0 \\ -\sin\beta \end{pmatrix}, \quad \vec{r} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}</math>.
Einsetzen in die obige Bedingung ergibt:
- <math>(x \cos\beta + s_z \sin\beta)^2 = (x^2 + y^2 + s_z^2) \cos^2\alpha</math>
- <math>x^2 \cos^2\beta + 2 s_z x \cos\beta \sin\beta + s_z^2 \sin^2\beta = x^2 \cos^2\alpha + y^2 \cos^2\alpha + s_z^2 \cos^2\alpha</math>
- <math>y^2 \cos^2\alpha = x^2 (\cos^2\beta - \cos^2\alpha) + 2 s_z x \cos\beta \sin\beta + s_z^2 (\sin^2\beta - \cos^2\alpha)</math>
Um die x-Koordinaten der Hauptscheitel zu erhalten, setzt man die rechte Seite gleich null und löst nach <math>x</math> auf. Im Falle einer Ellipse oder Hyperbel (<math>\alpha \ne \beta</math>) ergibt sich eine quadratische Gleichung mit den Lösungen
- <math>x_{1,2} = \frac{s_z (\cos\beta \sin\beta \pm \cos\alpha \sin\alpha)}{\cos^2\alpha - \cos^2\beta}</math>.
Im Falle einer Parabel (<math>\alpha = \beta</math>) ist die Gleichung linear mit der Lösung
- <math>x_S = \frac{s_z}{\tan(2\alpha)}</math>.
Mithilfe der Koordinatentransformation <math>x' = x-x_2</math> (Ellipse/Hyperbel) beziehungsweise <math>x' = x-x_S</math> (Parabel) vereinfacht sich die letzte Gleichung zu
- <math>y^2 \cos^2\alpha = x'^2 (\cos^2\beta - \cos^2\alpha) + 2 s_z x' \cos\alpha \sin\alpha</math>.
Division durch <math>\cos^2\alpha</math> liefert
- <math>y^2 = x'^2 \left( \frac{\cos^2\beta}{\cos^2\alpha} - 1 \right) + 2 s_z x' \tan\alpha</math>.
Setzt man hier <math>\varepsilon = \frac{\cos\beta}{\cos\alpha}</math> und <math>p = s_z \tan\alpha</math>, so ergibt sich die Scheitelgleichung
- <math>y^2 = (\varepsilon^2 - 1) \, x'^2 + 2 p x'</math>.
<math>\varepsilon</math> ist die numerische Exzentrizität des Kegelschnitts, <math>p</math> der Halbparameter.
Weitere Kegelschnittgleichungen erhält man durch algebraische Umformungen.
Polargleichung eines regulären Kegelschnitts[Bearbeiten]
Durch die Leitlinieneigenschaft (siehe oben) lassen sich die regulären Kegelschnitte, also Ellipse, Parabel und Hyperbel, auf einheitliche Weise beschreiben:
- <math>\frac{|PF|}{|Pl|} = \varepsilon > 0</math>
Hier steht <math>P</math> für einen beliebigen Punkt des Kegelschnitts, <math>F</math> für einen (bzw. den) Brennpunkt und <math>l</math> für eine (bzw. die) Leitlinie (Direktrix). <math>\varepsilon</math> ist die numerische Exzentrizität. Die angegebene Bedingung drückt aus, dass für die Punkte des Kegelschnitts das Verhältnis von Brennpunktabstand und Leitlinienabstand konstant ist, nämlich gleich <math>\varepsilon</math>.<ref group="An">Der Kreis als Spezialfall der Ellipse mit <math>\varepsilon = 0</math> ist hier ausgeschlossen.</ref>
Die Leitlinieneigenschaft soll in Polarkoordinaten ausgedrückt werden. Als Pol (Ursprung) wird der Brennpunkt <math>F</math> genommen, als Polarachse die positive x-Achse. Aus der Abbildung ist zu erkennen:
- <math>\frac{|PF|}{|Pl|} = \frac{r}{r\cos\varphi + d} = \varepsilon</math>
Auflösen nach <math>r</math> liefert zunächst <math>r = \frac{\varepsilon d}{1-\varepsilon\cos\varphi}</math>. Mit <math>p = \varepsilon d</math> erhält man die Polargleichung eines Kegelschnitts:
- <math>r = \frac{p}{1 - \varepsilon \cos\varphi}</math><ref group="An">Diese Gleichung gilt auch für Kreise (<math>\varepsilon = 0</math>), die zunächst ausgeschlossen waren.</ref>
Durch Einsetzen von <math>\varphi = \tfrac{\pi}{2}</math> erhält man <math>r = p</math>. Dies zeigt, dass <math>p</math> der Halbparameter des Kegelschnitts ist, also die halbe Breite des Kegelschnitts am Brennpunkt.
Wählt man den Halbparameter <math>p</math> fest, so ergeben sich Kegelschnitte mit dem Nullpunkt als gemeinsamem Brennpunkt, und zwar
- für <math>\varepsilon=0</math> der Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M=(0,0)</math> und dem Radius <math>p</math>,
- für <math>0<\varepsilon<1</math> die Ellipse mit dem Mittelpunkt <math>M=(e,0)</math>, der linearen Exzentrizität <math>e = \frac{p\;\varepsilon}{1-\varepsilon^2}</math> und den Halbachsen <math>a=\frac{e}{\varepsilon}, \ b=\sqrt{a^2-e^2}</math>,
- für <math>\varepsilon=1</math> die Parabel mit dem Scheitel <math>S=(-\frac{p}{2},0)</math>,
- für <math>\varepsilon>1</math> die Hyperbel mit dem Mittelpunkt <math>M=(-e,0)</math>, der linearen Exzentrizität <math>e = \frac{p\; \varepsilon}{\varepsilon^2-1}</math> und den Halbachsen <math>a=\frac{e}{\varepsilon}, \ b=\sqrt{e^2-a^2}</math>.
Kegelschnittbüschel[Bearbeiten]
Sind die Gleichungen <math>f_1(x,y)=0, \ f_2(x,y)=0</math> zweier Kegelschnitte gegeben, so lassen sich durch die Linearkombination
- <math>a_1 f_1(x,y) + a_2f_2(x,y)=0</math>
der Gleichungen neue Kegelschnitte erzeugen. Da proportionale Paare <math>(a_1, a_2)</math> und <math>(ta_1, ta_2)</math> äquivalente Gleichungen ergeben und daher zum selben Kegelschnitt gehören, schreibt man die Linearkombination oft so:
- <math>(1-\mu)f_1(x,y) - \mu f_2(x,y)=0</math>
Diese Gleichung beschreibt in eindeutiger Weise durch den Parameter <math>\mu</math> jeweils einen Kegelschnitt.
Beispiel Kreisbüschel:
Für die zwei Kreisgleichungen
- <math>\begin{align}
f_1(x,y) &= (x-2)^2 + y^2 - 1 = 0\\ f_2(x,y) &= (x+2)^2 + y^2 - 1 = 0 \end{align}</math> beschreibt <math>(1-\mu)f_1(x,y) - \mu f_2(x,y) = 0</math> mit <math>\mu \ne 1/2</math> ein Büschel von Kreisen (s. Bild). Für <math>\mu = 1/2</math> heben sich die quadratischen Terme auf und es ergibt sich die Gerade <math>x = 0</math>.
Beispiel Kegelschnittbüschel durch 2 Punkte mit vorgegebenen Tangenten:
Das folgende Beispiel baut aus drei Geraden <math>g_0, g_1, g_2</math> ein Büschel von Kegelschnitten auf. Es sei:
- <math>\begin{align}
g_0\colon\; & f_0(x,y) = y = 0\\ g_1\colon\; & f_1(x,y) = y/2-x-1 = 0\\ g_2\colon\; & f_2(x,y) = y/2+x-1 = 0 \end{align}</math>
Dann beschreibt die Gleichung
- <math>(1-\mu)f_1(x,y) \cdot f_2(x,y) - \mu f_0(x,y)^2 = 0</math>
mit dem Scharparameter <math>\mu</math> ein Büschel von Kegelschnitten durch die beiden Schnittpunkte <math>P_1</math> (Schnitt von <math>g_0</math> und <math>g_1</math>) und <math>P_2</math> (Schnitt von <math>g_0</math> und <math>g_2</math>). Jeder Kegelschnitt berührt die beiden Geraden <math>g_1, g_2</math> in diesen Punkten. Das Kegelschnittbüschel ist also durch die beiden Punkte <math>P_1, P_2</math> und die beiden Tangenten <math>g_1, g_2</math> in diesen Punkten bestimmt (ein Kegelschnitt ist immer durch 5 Vorgaben eindeutig bestimmt!). Beide Kegelschnitte, aus denen die Linearkombination gebildet wird, sind ausgeartete Kegelschnitte ist ein Geradenpaar und ist eine Doppelgerade).
Beispiel Kegelschnittbüschel durch 4 Punkte:
In diesem Fall ist das Büschel eine Linearkombination zweier paralleler Geradenpaare, die sich in den 4 Punkten <math>(\pm1,\pm1)</math> schneiden (siehe Bild):
- <math>a_1(x^2-1) + a_2 (y^2-1) = 0</math>
Durch jeden Punkt der Ebene, der von den Grundpunkten des Büschels verschieden ist, geht genau ein (eventuell ausgearteter) Kegelschnitt des Büschels. Beispielsweise erhält man zum Nullpunkt <math>(0,0)</math> für <math>a_1 = 1, a_2 = -1</math> das Geradenpaar <math>y^2 = x^2</math>.
Kegelschnittbüschel werden in der Literatur ausführlich untersucht.<ref>Zum Beispiel </ref>
Äquivalenz von regulären Kegelschnitten[Bearbeiten]
Affine Äquivalenz[Bearbeiten]
Für die Bilder von Kegelschnitten bezüglich affiner Abbildungen gilt:
- Alle Ellipsen sind affine Bilder des Einheitskreises (s. Ellipse).
- Alle Parabeln sind affine Bilder der Normalparabel (s. Parabel).
- Alle Hyperbeln sind affine Bilder der Einheitshyperbel (s. Hyperbel).
Es ist aber beispielsweise nicht möglich, eine Ellipse mit einer affinen Abbildung auf eine Parabel abzubilden.
Projektive Äquivalenz[Bearbeiten]
Ergänzt man die affine Koordinatenebene zu einer projektiven Ebene und fügt einer Parabel den Fernpunkt ihrer Achse hinzu, so lässt sich eine Ellipse mit einer projektiven Abbildung auf eine so erweiterte Parabel abbilden. Entsprechendes gilt für eine um die zwei Fernpunkte ihrer Asymptoten ergänzte Hyperbel.
- Vom projektiven Standpunkt aus sind also alle regulären (nicht ausgearteten) projektiven Kegelschnitte zueinander äquivalent<ref>Erich Hartmann: Projektive Geometrie. (PDF) S. 12, abgerufen am 9. September 2026 (Kurzskript, Technische Universität Darmstadt (180 kB)).</ref> (s. auch Weblink CDKG, S. 251).
Beispiele:
- Die projektive Abbildung mit <math>(x,y) \mapsto (\tfrac{x}{1+y},\tfrac{1-y}{1+y})</math> bildet den Einheitskreis <math>x^2+y^2=1</math> auf die Parabel <math>y=x^2</math> ab.
- Die projektive Abbildung mit <math>(x,y) \mapsto (\tfrac{1}{x},\tfrac{y}{x})</math> bildet die Parabel <math>y=x^2</math> auf die Hyperbel <math>y=\tfrac{1}{x}</math> ab.
Verallgemeinerungen[Bearbeiten]
Quadriken[Bearbeiten]
Quadriken sind Verallgemeinerungen der Kegelschnitte. Sie sind definiert als Punktmengen im <math>n</math>-dimensionalen reellen Koordinatenraum <math>\R^n</math>, die durch Gleichungen 2. Grades mit <math>n</math> Variablen festgelegt sind. Im dreidimensionalen Raum fallen zum Beispiel Ellipsoid, Hyperboloid (ein- oder zweischalig) und Paraboloid (elliptisch oder hyperbolisch) unter diesen Begriff.<ref></ref> Speziellere Beispiele für Quadriken im <math>\R^3</math> sind die Rotationsflächen, die durch Rotation von Ellipse, Parabel und Hyperbel um ihre Symmetrieachsen entstehen (Drehquadriken), also Rotationsellipsoid, Rotationsparaboloid und Rotationshyperboloid (ein- oder zweischalig). Zu den dreidimensionalen Quadriken zählen als ausgeartete Quadriken auch der gerade Kreiskegel und der gerade Kreiszylinder.
Projektive Kegelschnitte[Bearbeiten]
In der projektiven Geometrie wird die euklidische Ebene durch Hinzunahme von Fernpunkten zur projektiven Ebene ergänzt. Dadurch wird aus einem Kegelschnitt im Sinne der euklidischen Geometrie ein projektiver Kegelschnitt. Die Anzahl der zusätzlichen Punkte ist bei einer Ellipse 0, bei einer Parabel 1 und bei einer Hyperbel 2. Alle projektiven Kegelschnitte sind zueinander äquivalent, d. h. sie lassen sich durch geradentreue Abbildungen ineinander überführen.
Kegelschnitte über beliebigen Zahl-Körpern[Bearbeiten]
Kegelschnitte lassen sich auch über beliebigen Körpern definieren. Es bleiben dabei erstaunlich viele Inzidenz- und Symmetrieeigenschaften erhalten. Siehe Weblink Projektive Geometrie, projektiver Kegelschnitt und für Kegelschnitte über endlichen Körpern den Artikel Quadratische Menge.
Kegelschnitte und Benz-Ebenen[Bearbeiten]
Kegelschnitte spielen bei den Benz-Ebenen, das sind Möbius-Ebenen (Geometrie der Kreise), Laguerre-Ebenen (Geometrie der Parabeln) und Minkowski-Ebenen (Geometrie der Hyperbeln), eine wichtige Rolle.
Beispiele und Anwendungen[Bearbeiten]
Die beim Zweikörperproblem der Himmelsmechanik betrachteten Bahnen (Keplerbahnen) der Himmelskörper sind Kegelschnitte.
Das Bild der Tagesbahn der Sonne auf dem Zifferblatt einer Sonnenuhr ist ein Kegelschnitt (meistens eine Hyperbel).<ref>Siegfried Wetzel: Sonnenuhr und Kegelschnitte. Abgerufen am 9. September 2026.</ref>
Im Bauwesen werden als Rotationsellipsoide, Paraboloide oder Hyperboloide geformte Bauteile (Dächer, Säulen und anderes) verwendet.
Lichtreflektoren in Scheinwerfern und Teleskopen werden als Rotationsellipsoide (für Autoscheinwerfer), als Paraboloide und als Hyperboloide (für Spiegelteleskope) geformt.
In der Darstellenden Geometrie treten Kegelschnitte als Bilder von Kreisen bei Parallel- und Zentralprojektionen auf. Siehe Ellipse (Darstellende Geometrie).
Geschichte[Bearbeiten]
Menaichmos und frühe Arbeiten[Bearbeiten]
Es wird angenommen, dass die erste Definition eines Kegelschnitts von Menaichmos (gest. um 320 v. Chr.) gegeben wurde, als Teil seiner Lösung des Delischen Problems (der Würfelverdoppelung). Nach Plutarch wurde diese Lösung von Platon zurückgewiesen, weil sie nicht mit Zirkel und Lineal durchgeführt wurde.<ref name="Wußing" details="S. 181."></ref><ref group="An">Diese Interpretation von Plutarchs Aussage wird jedoch inzwischen kritisiert (Boyer 2004, S. 14, Fußnote 14).</ref><ref name="Boyer" details="S. 17–18."></ref> Das Werk von Menaichmos ist ebenso wenig überliefert wie seine Bezeichnungen für diese Kurven und nur durch spätere Erwähnungen bekannt.<ref name="Boyer" details="S. 18." /> Die damals benutzte Definition weicht von der heute üblichen Definition ab. Ein Kegel wurde definiert durch die Rotation eines rechtwinkligen Dreiecks um eine der beiden Katheten, sodass die Hypotenuse die Mantelfläche des Kegels erzeugte (eine solche Linie wird Erzeugende genannt). Drei Arten von Kegeln wurden nach ihrem Öffnungswinkel unterschieden (also dem verdoppelten Winkel zwischen der Hypotenuse und der nicht mitrotierenden Kathete des gegebenen rechtwinkligen Dreiecks). Der Kegelschnitt ergab sich nun durch den Schnitt mit einer Ebene senkrecht zu einer Erzeugenden (Mantellinie). Die Art des Kegelschnitts ergab sich also aus dem Öffnungswinkel des Kegels. Im Falle eines spitzen Öffnungswinkels ist der Kegelschnitt eine Ellipse, im Falle eines Öffnungswinkels von <math>90^\circ</math> eine Parabel und im Falle eines stumpfen Öffnungswinkels eine Hyperbel (allerdings nur ein Hyperbelast).<ref name="Katz" details="S. 117."></ref>
Etwas später (etwa 330 v. Chr.) studierte auch Aristaios von Samos die Schnittfiguren von Kegeln und Ebenen.<ref name="Wußing" details="S. 202." /> Euklid soll (etwa 300 v. Chr.) vier Bücher über Kegelschnitte verfasst haben (Konika), die allerdings ebenfalls verloren gingen.<ref></ref> Von Archimedes (gest. 212 v. Chr.) ist bekannt, dass er Kegelschnitte studierte, wobei er in Quadratur der Parabel den Inhalt der Fläche zwischen einer Parabel und einer Parabelsehne bestimmte. Sein Hauptinteresse galt der Flächen- und Volumenberechnung für Figuren im Zusammenhang mit den Kegelschnitten. Ein Teil seines Werks hat sich in seinem Buch über Rotationskörper von Kegelschnitten (Über Konoide und Sphäroide) erhalten.<ref name="Eves" details="S. 28."></ref>
Apollonios von Perge und Pappos von Alexandria[Bearbeiten]
Der größte Fortschritt beim Studium der Kegelschnitte durch die alten Griechen ist Apollonios von Perge (gest. etwa 190 v. Chr.) zu verdanken, dessen achtbändiges Werk Konika (Über Kegelschnitte) das vorhandene Wissen zusammenfasste und deutlich erweiterte.<ref></ref> Unter anderem befasste sich Apollonios mit der Erzeugung von Kegelschnitten (Buch I) und mit deren Brennpunkten (Buch III).<ref name="Wußing" details="S. 203." />
Die Erkenntnisse von Apollonios über die Eigenschaften dieser Kurven machten es möglich zu zeigen, dass jede Ebene, die einen gegebenen Doppelkegel schneidet, zu einem Kegelschnitt im Sinne der früheren Definition (Menaichmos) führt – unabhängig vom Winkel. Dies entspricht der heute üblichen Definition. Auch Kreise, die mit der früheren Methode nicht konstruierbar waren, konnte man auf diese Weise erhalten. Das mag der Grund dafür gewesen sein, dass Apollonios Kreise als vierten Typ von Kegelschnitten auffasste, während heute der Kreis als Spezialfall der Ellipse betrachtet wird. Apollonios verwendete die Bezeichnungen Ellipse, Parabel und Hyperbel für die regulären Kegelschnitte. Diese Terminologie übernahm er von einer früheren Arbeit der Pythagoreer über Flächen.<ref name="Eves" details="S. 30." />
Pappos von Alexandria (gest. etwa 350 n. Chr.) wird die Erläuterung der Begriffe „Brennpunkt“ und „Leitlinie“ zugeschrieben, auch für den Fall der Parabel, der in den bekannten Werken des Apollonios fehlt.<ref name="Boyer" details="S. 36." />
Islamische Welt[Bearbeiten]
Das Werk von Apollonios wurde ins Arabische übersetzt, und ein großer Teil davon wurde nur durch die arabische Version überliefert. Islamische Mathematiker fanden Anwendungsmöglichkeiten der Theorie, vor allem der persische Mathematiker und Dichter Omar Chayyām,<ref></ref> der eine geometrische Methode zur Lösung kubischer Gleichungen mithilfe von Kegelschnitten entwickelte.<ref></ref><ref></ref>
Schon ein Jahrhundert vor dem bekannteren Werk von Chayyām hatte Abu al-Jud Kegelschnitte verwendet, um quartische und kubische Gleichungen zu lösen.<ref></ref> Allerdings umfasste seine Lösung nicht alle Fälle.<ref>Bartel Leendert van der Waerden: A History of Algebra: From al-Khwārizmī to Emmy Noether. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-51599-6, S. 29.</ref>
Ein Gerät zum Zeichnen von Kegelschnitten wurde im Jahre 1000 von Al-Kuhi beschrieben.<ref></ref>
Europa[Bearbeiten]
Johannes Kepler erkannte bei der Analyse von Beobachtungsdaten zur Marsbahn, dass die Planeten sich auf Ellipsen bewegen, wobei die Sonne in einem der beiden Brennpunkte ruht.
Gérard Desargues und Blaise Pascal entwickelten eine Theorie der Kegelschnitte, wobei sie eine frühe Form der projektiven Geometrie benutzten. Ihre Erkenntnisse gaben Anstoß zum Studium dieses neuen Gebiets. Insbesondere fand Pascal einen Satz über Sehnensechsecke in Kegelschnitten (Satz von Pascal),<ref name="Wußing" details="S. 414." /> der auch als hexagrammum mysticum bekannt ist. Aus diesem Satz können viele weitere Eigenschaften von Kegelschnitten hergeleitet werden.
René Descartes und Pierre de Fermat wandten die neu entwickelte analytische Geometrie zur Untersuchung der Kegelschnitte an. Das hatte den Effekt, dass geometrische Probleme im Zusammenhang mit Kegelschnitten auf algebraische Probleme zurückgeführt wurden. Es war jedoch John Wallis in seiner Abhandlung Tractatus de sectionibus conicis von 1655, der zuerst die Kegelschnitte als Lösungen von Gleichungen 2. Grades definierte.<ref name="Boyer" details="S. 110." />
Johan de Witts Elementa curvarum linearum, früher geschrieben, aber später veröffentlicht, beginnt mit Keplers kinematischer Konstruktion der Kegelschnitte und entwickelt dann deren algebraische Gleichungen. Diese Arbeit, die Fermats Methodik und Descartes’ Schreibweise verwendet, gilt als erstes Lehrbuch zum Thema „Kegelschnitte“.<ref name="Boyer" details="S. 114." /> Der Begriff Direktrix (Leitlinie) wurde von de Witt eingeführt.<ref name="Boyer" details="S. 114." />
Siehe auch[Bearbeiten]
- Kegelschnitte als rationale Bézierkurven
- Konfokale Kegelschnitte
- Fokalkegelschnitt
- Formelsammlung analytische Geometrie
Weblinks[Bearbeiten]
- Die Seite Vorlage:Webarchiv/styles.css hat keinen Inhalt.Kegelschnitte. ( vom 5. März 2016 im Internet Archive). Universität Wien.
- Erich Hartmann: Projektive Geometrie. (PDF) S. 12–16, abgerufen am 11. September 2026 (Kurzskript, Technische Universität Darmstadt).
- Erich Hartmann: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (CDKG). (PDF) Abgerufen am 11. September 2026 (Technische Universität Darmstadt).
- Des Apollonius von Perga sieben Bücher über Kegelschnitte. Abgerufen am 11. September 2026.
- John Casey: A treatise on the analytical geometry of the point, line, circle and conic sections. 1893, abgerufen am 11. September 2026 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value)).
- Adam Coffman: Linear Systems of Conics. Abgerufen am 11. September 2026 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value)).
Literatur[Bearbeiten]
- Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Aufl., Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3.
- Burg, Haf, Wille: Höhere Mathematik für Ingenieure. Band II, Teubner-Verlag Stuttgart, ISBN 3-519-22956-0, S. 338.
- Karl Rohn, Erwin Papperitz: Kegelschnitte, Flächen zweiten Grades, regel-, abwickelbare und andere Flächen, Flächenkrümmung. In: Lehrbuch der darstellenden Geometrie. 3., umgearb. Aufl. De Gruyter Verlag, Berlin/Leipzig 1906, Reprint 2020. ISBN 978-3-11-238373-5.
- Hans Schupp: Kegelschnitte. Bibliographisches Institut-Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1988, ISBN 978-3-411-03208-2.
Anmerkungen[Bearbeiten]
<references group="An" />
Einzelnachweise[Bearbeiten]
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