Stern-Dreieck-Transformation

Die Stern-Dreieck-Transformation oder Dreieck-Stern-Transformation, und auch als Y-Δ-Transformation und als Kennelly-Theorem bezeichnet, ist in der Elektrotechnik eine schaltungstechnische Umformung von jeweils drei elektrischen Widerständen, die der Schaltungsanalyse von Widerstandsnetzwerken dient. Die Stern-Dreieck-Transformation ist ein Spezialfall der Stern-Polygon-Transformation. Die Stern-Dreieck-Transformation wurde 1899 vom US-amerikanischen Elektroingenieur Arthur Edwin Kennelly entwickelt.<ref name="Kennelly1"/>

Allgemeines

Datei:Stern-Dreieck-Transformation.png

Stern-Dreieck-Transformation von Widerständen

Zur Verdeutlichung soll nebenstehende Abbildung dienen: Bei der Stern-Dreieck-Transformation wird die sternförmige (star) rechte Anordnung der Widerstände in eine dreieckförmige (delta) Widerstandsanordnung, links abgebildet, umgeformt. Die Dreieck-Stern-Transformation ist das Gegenstück dazu und ermöglicht die umgekehrte Umformung. Die elektrischen Anschlusswerte an den eingezeichneten Klemmen a, b und c bleiben dabei exakt gleich. Es werden bei dieser Transformation nur die drei Widerstandswerte durch geeignete Ersatzwerte für die neue Schaltungsanordnung ausgetauscht.

Durch entsprechende Anwendung dieser beiden Transformationen und der Regeln für Parallelschaltung und Reihenschaltung von Widerständen können im Rahmen der Schaltungsanalyse vereinfachte Ersatzwiderstände komplizierter Widerstandsnetzwerke gebildet werden.

Die Stern-Dreieck-Transformation ist identisch mit der Pi-T-Transformation zwischen der π-Schaltung und der T-Schaltung, welche die Widerstände grafisch unterschiedlich anordnet und im Bereich der Nachrichtentechnik bei Filterschaltungen Anwendung findet.

Transformationsregeln

Zur Dreieck-Stern-Transformation sind zur Bestimmung der Ersatzwiderstände folgende Berechnungen notwendig:

<math>R_a = \frac{R_{ac}R_{ab}}{R_{ac} + R_{ab} + R_{bc}}</math>

<math>R_b = \frac{R_{ab}R_{bc}}{R_{ac} + R_{ab} + R_{bc}}</math>

<math>R_c = \frac{R_{ac}R_{bc}}{R_{ac} + R_{ab} + R_{bc}}</math>

Für die Stern-Dreieck-Transformation sind zur Bestimmung der Ersatzwiderstände folgende Berechnungen notwendig:

<math>R_{ac} = \frac{R_aR_b + R_bR_c + R_cR_a}{R_b} </math>

<math>R_{ab} = \frac{R_aR_b + R_bR_c + R_cR_a}{R_c} </math>

<math>R_{bc} = \frac{R_aR_b + R_bR_c + R_cR_a}{R_a} </math>

Herleitung der Transformationsregeln

Um zu verstehen, warum die Stern-Dreieck-Transformation funktioniert, ist es ratsam, die Herleitung der Transformationsregeln zu betrachten.

Für unsere Zwecke ist es wichtig, dass sich das Klemmenverhalten zwischen den jeweiligen Klemmen (a-b, b-c, a-c) nach der Transformation nicht verändert.

<math>\frac{U_{dab}}{I_{dab}} = \frac{U_{sab}}{I_{sab}}</math>

U_sab ist die Spannung an den Klemmen a-b im Stern und U_dab im Dreieck. Analog dazu gelten natürlich auch die übrigen Klemmen b-c und a-c.

Betrachtet man nun die Skizze der Dreiecks- bzw. Sternschaltung, kann man mit den Regeln der Reihenschaltung und Parallelschaltung die Widerstände zwischen den Klemmen bestimmen.

<math>\tilde{R}_{ab} = \frac{1}{\frac{1}{R_{ab}}+\frac{1}{R_{ac}+R_{bc}}}</math>

Bringt man den Doppelbruch auf den gleichen Nenner, kommt man auf folgende Gleichung:

<math>\tilde{R}_{ab} = \frac{R_{ab}R_{ac} + R_{ab}R_{bc}}{R_{ab}+R_{ac}+R_{bc}}</math>

Das Gleiche wird auch mit der Sternschaltung gemacht:

<math>\tilde{R}_{ab} = R_a + R_b</math>

und mit der Dreiecksschaltung gleichgesetzt.

<math>\frac{R_{ab}R_{ac} + R_{ab}R_{bc}}{R_{ab}+R_{ac}+R_{bc}} = R_a + R_b</math>

Wiederholt man diese Schritte für die Klemmen b-c und a-c, so erhält man folgende beide Formeln:

<math>\frac{R_{ac}R_{ab} + R_{ac}R_{bc}}{R_{ab}+R_{ac}+R_{bc}} = R_a + R_c</math>

<math>\frac{R_{bc}R_{ab} + R_{bc}R_{ac}}{R_{ab}+R_{ac}+R_{bc}} = R_b + R_c</math>

Löst man dieses Gleichungssystem nach <math>R_a, R_b, R_c</math> auf, erhält man die oben erwähnten Transformationsregeln für die Dreieck-Stern-Transformation.

Die Transformationsregeln für die umgekehrte Stern-Dreieck-Transformation können hieraus wie folgt abgeleitet werden:

Wegen

<math>R_a = \frac{R_{ac}R_{ab}}{R_{ac} + R_{ab} + R_{bc}},</math> bzw. <math>R_{ac} + R_{ab} + R_{bc} = \frac{R_{ac}R_{ab}}{R_a}</math>

<math>R_b = \frac{R_{ab}R_{bc}}{R_{ac} + R_{ab} + R_{bc}},</math> bzw. <math>R_{ac} + R_{ab} + R_{bc} = \frac{R_{ab}R_{bc}}{R_b}</math>

gilt

<math>\frac{R_{ac}R_{ab}}{R_a} = R_{ac} + R_{ab} + R_{bc} = \frac{R_{ab}R_{bc}}{R_b}</math>

und damit

<math>R_{ac} = \frac{R_a}{R_b} R_{bc}, </math>

sowie analog

<math>R_{ab} = \frac{R_a}{R_c} R_{bc}. </math>

Diese beiden Gleichungen in die Gleichung für <math>R_b</math> eingesetzt ergibt

<math>R_b = \frac{R_{ab}R_{bc}}{R_{ac} + R_{ab} + R_{bc}}

           = \frac{\frac{R_a}{R_c}R_{bc}^2}{\frac{R_a}{R_b}R_{bc} + \frac{R_a}{R_c}R_{bc} + R_{bc}}
           = \frac{\frac{1}{R_c}R_{bc}}{\frac{1}{R_b} + \frac{1}{R_c} + \frac{1}{R_a}}

</math>

und schließlich

<math>R_{bc} = R_b R_c (\frac{1}{R_a} + \frac{1}{R_b} + \frac{1}{R_c})

              = \frac{R_aR_b + R_bR_c + R_cR_a}{R_a}

</math>

Die Herleitung für <math>R_{ab}</math> und <math>R_{ac}</math> ist analog.

Unter Stern-Polygon-Transformation ist eine alternative, auch für den hier behandelten Stern-Dreieck-Spezialfall gültige Herleitung angegeben. Dort folgen die Transformations­gleichungen aus einem einfachen Koeffizienten­vergleich.

Merkhilfe Vor- und Rücktransformation

Es gibt eine leichte Merk-Regel für die Vor- bzw. Rücktransformation:

<math>\text{Dreieck-Stern-Transformation wird für }\Delta \to \text{Y}</math>

<math>R_{c} = \frac{R_{ac} \cdot R_{bc}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}=\frac{\text{Produkt der Anliegerwiderstände }}{\text{Maschenumlaufwiderstand}}</math>

<math>\text{Stern-Dreieck-Transformation wird für Y}\to \Delta</math>

<math>R_{ac} = \frac{R_{a} \cdot R_{c}}{R_{b}}+R_{a}+R_{c}=\frac{\text{Produkt der Anliegerwiderstände}}{\text{verbleibender Widerstand}}+\text{Beide Anliegerwiderstände}</math>

Anwendung in der Wechselstromrechnung

Die Stern-Dreieck-Transformation kann auch im Rahmen der komplexen Wechselstromrechnung angewendet werden, in dem die reellen Widerstandswerte der ohmschen Widerstände durch die komplexen Werte der Impedanzen ersetzt werden. Die Transformation erfolgt unter Zuhilfenahme der Rechenregeln für komplexe Zahlen analog.

Literatur

• Dieter Nührmann: Das große Werkbuch Elektronik. Band 1: Tabellen, Mathematik, Formeln, Wechselstromtechnik, Mechanik, SMD-Technik, passive Bauelemente, Batterien, Solarzellen, EMV-Technik. 6., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Franzis, Poing 1994, ISBN 3-7723-6546-9, S. 389.

Weblinks

• Interaktive Website zur Stern-Dreieck-Transformation. In: GeoGebra. Abgerufen am 1. Januar 2021 

Einzelnachweise

<references> <ref name="Kennelly1">Vorlage:Cite book/URLVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/Meldung2</ref> </references>