Kugelschicht

Eine Kugelschicht, auch Kugelscheibe genannt, ist ein Teil einer Kugel, der von zwei parallelen Ebenen ausgeschnitten wird. Der gekrümmte Flächenteil wird Kugelzone genannt.

Formeln

Für die Berechnung von Volumen, Mantelfläche und Oberfläche einer Kugelschicht gelten die folgenden Formeln. Dabei bezeichnet <math>r</math> den Radius der Kugel, <math>a_1,a_2</math> die Radien der Begrenzungskreise und <math>h</math> die Höhe der Kugelschicht.

Die Höhe kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

<math>h = \sqrt{r^2 - a_2^2} \pm \sqrt{r^2 - a_1^2}</math>

Hierbei gilt das Minuszeichen für eine Kugelschicht ohne Kugelmittelpunkt und das Pluszeichen für eine Kugelschicht mit Kugelmittelpunkt.

Der Radius ergibt sich wie folgt:

<math>r = \frac{1}{2h} \sqrt{(a_1^2 + a_2^2 + h^2)^2 - 4a_1^2a_2^2} =\frac{1}{2h} \sqrt{a_1^4+a_2^4+h^4 -2a_1^2a_2^2+2a_1^2h^2+2a_2^2h^2}</math>

Datei:Kugel-zone-s.svg
Volumen	<math> V = \frac{\pi}{6} \cdot h \cdot (3 \cdot a_1^2 + 3 \cdot a_2^2 + h^2)</math>
Inhalt der Mantelfläche	<math>M = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot h \cdot \sqrt{ a_1^2 + \left(\frac{a_1^2 - a_2^2 - h^2}{2 \cdot h}\right)^2 }</math>
Oberfläche	<math>\begin{align} O &= M + A_{\text{Kreis}\,1} + A_{\text{Kreis}\,2} \\ &= \pi \cdot (2 \cdot r \cdot h + a_1^2 + a_2^2) \\ &= 2 \pi \cdot h \cdot \sqrt{a_1^2 + \left(\frac{a_1^2 - a_2^2 - h^2}{2 \cdot h}\right)^2 } + \pi( a_1^2 + a_2^2) \end{align}</math>

Herleitung

Die Kugelschicht kann man sich entstanden denken als das Kugelsegment <math>S_1</math> mit dem unteren Kreis als Basiskreis, dem das Kugelsegment <math>S_2</math> mit dem oberen Kreis als Basiskreis weggenommen wird. Es sei <math>h_1</math> die Höhe von <math>S_1</math> und <math>h_2</math> die Höhe von <math>S_2</math>. Die Volumina der beiden Kugelsegmente sind

<math>V_1 = \frac{\pi}{3} \cdot h_1^2 \cdot (3 \cdot r - h_1)</math>

<math>V_2 = \frac{\pi}{3} \cdot h_2^2 \cdot (3 \cdot r - h_2)</math>

Siehe dazu auch Kugelsegment. Also ist

<math>\begin{align}

V &= V_1 - V_2 = \frac{\pi}{3} \cdot (3 \cdot (h_1^2 - h_2^2) \cdot r - (h_1^3 - h_2^3)) \\ &= \frac{\pi}{3} \cdot (h_1 - h_2) \cdot (3 \cdot (h_1 + h_2) \cdot r - (h_1^2 + h_1 \cdot h_2 + h_2^2)) \end{align} </math> Mit den Beziehungen <math>2 \cdot r \cdot h_1 = a_1^2 + h_1^2, \ 2 \cdot r \cdot h_2 = a_2^2 + h_2^2</math> (siehe Kugelsegment) ergibt sich

<math> \begin{align}

V &= \frac{\pi}{3} \cdot (h_1 - h_2) \cdot \left(\frac{3}{2} \cdot (a_1^2 + h_1^2 + a_2^2 + h_2^2) - h_1^2 - h_1 \cdot h_2 - h_2^2\right) \\ &= \frac{\pi}{6} \cdot (h_1 - h_2) \cdot (3 \cdot (a_1^2 + a_2^2) + (h_1 - h_2)^2) \end{align} </math> Da <math>h = h_1 - h_2</math> ist, folgt die obige Formel: <math> V = \frac {\pi}{6} \cdot h \cdot (3 \cdot a_1^2 + 3 \cdot a_2^2 + h^2) </math>

Für die Mantelfläche ergibt sich analog

<math>M = M_1 - M_2 = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h_1 - 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h_2 = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot (h_1 - h_2) = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h</math>

Beziehung der Parameter

Für den Beweis der Beziehung zwischen <math>r, a_1, a_2, h</math> sei <math>d</math> der Abstand der unteren Ebene zum Kugelmittelpunkt <math>M</math>. Dann gilt

<math>r^2 = d^2 + a_1^2, \ r^2=(d+h)^2+a_2^2</math>

Setzt man die beiden Gleichungen gleich und löst nach <math>d</math> auf, so erhält man

<math> d = \frac{a_1^2 - a_2^2 - h^2}{2 \cdot h}</math>,

und mit der ersten Gleichung folgt

<math>r^2 = a_1^2 + \left(\frac{a_1^2 - a_2^2 - h^2}{2 \cdot h}\right)^2</math>

Siehe auch

• Kugelsegment
• Kugelausschnitt
• Kugelring
• Kugelkeil

Literatur

• I. Bronstein u. a.: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, Frankfurt 2001, ISBN 3-8171-2005-2.
• Kleine Enzyklopädie Mathematik, Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 215.
• L. Kusch u. a.: Mathematik, Teil 4 Integralrechnung. Cornelsen, Berlin 2000, ISBN 3-464-41304-7.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Spherical Segment. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Spherical zone. In: MathWorld (englisch).