K-monotone Funktion

Eine K-monotone Funktion ist eine Verallgemeinerung einer reellen monotonen Funktion auf Funktionen, die vom <math> \R^n </math> nach <math> \R </math> abbilden. Dabei wird die Ordnung auf den reellen Zahlen mittels eines echten Kegels zu einer Halbordnung auf <math> \R^n </math> verallgemeinert. K-monotone Funktionen lassen sich als Spezialfall einer monotonen Abbildung auffassen.

Definition

Gegeben sei eine Funktion <math> f\colon D \to \R </math> mit <math>D \subset \R^n</math> und ein echter Kegel <math> K </math> im <math>\R^n</math> sowie die von ihm definierte verallgemeinerte Ungleichung <math> \preccurlyeq_K </math> und die strikte verallgemeinerte Ungleichung <math> \prec_K </math>. Dann heißt die Funktion

• K-monoton wachsend oder K-monoton steigend, wenn für alle <math> x,y \in D </math> mit <math> x \preccurlyeq_K y</math> gilt, dass <math> f(x) \leq f(y) </math> ist.
• K-monoton fallend, wenn für alle <math> x,y \in D </math> mit <math> x \preccurlyeq_K y</math> gilt, dass <math> f(x) \geq f(y) </math> ist.
• strikt K-monoton wachsend oder strikt K-monoton steigend, wenn für alle <math> x,y \in D, \, x \neq y </math> mit <math> x \preccurlyeq_K y</math> gilt, dass <math> f(x) < f(y) </math> ist.
• strikt K-monoton fallend, wenn für alle <math> x,y \in D, \, x \neq y </math> mit <math> x \preccurlyeq_K y</math> gilt, dass <math> f(x) > f(y) </math> ist.
• strikt K-monoton, wenn sie entweder strikt K-monoton wachsend (strikt K-monoton steigend) oder strikt K-monoton fallend ist.
• K-monoton, wenn sie entweder K-monoton wachsend (K-monoton steigend) oder K-monoton fallend ist.

Beispiele

• Jede monoton wachsende Funktion ist K-monoton wachsend bezüglich des Kegels <math> K=\R_+=[0,\infty) </math>.
• Jede monoton fallende Funktion ist K-monoton wachsend bezüglich des Kegels <math> K=\R_-=(-\infty,0] </math>. Die Angabe des Kegels ist also essentiell, um Verwechslungen vorzubeugen.
• Sind die Funktionen <math> f_i(x_i) </math> monoton wachsend, so ist die Funktion

<math> f(x)=f_1(x_1)+ \dots+f_n(x_n) </math>

K-monoton wachsend bezüglich des positiven Orthanten <math> \R^n </math>. Dies folgt direkt aus der Monotonie der <math> f_i </math>.

Eigenschaften

Sei <math> h: \R^n \supset D \to R </math> differenzierbar und <math> D </math> eine konvexe Menge sowie <math> K^D </math> der duale Kegel des Kegels <math> K </math>. Dann gilt:

• <math> h </math> ist K-monoton wachsend auf <math>D </math> genau dann, wenn <math> \nabla h(x) \succcurlyeq_{K^D} 0</math> für alle <math> x \in D </math>.
• <math> h </math> ist K-monoton fallend auf <math>D </math> genau dann, wenn <math> \nabla h(x) \preccurlyeq_{K^D} 0</math> für alle <math> x \in D </math>.
• Wenn <math> \nabla h(x) \succ_{K^D} 0</math> für alle <math> x \in D </math> gilt, dann ist <math> h </math> strikt K-monoton wachsend auf <math>D </math>.
• Wenn <math> \nabla h(x) \prec_{K^D} 0</math> für alle <math> x \in D </math> gilt, dann ist <math> h </math> strikt K-monoton fallend auf <math>D </math>.

Matrix-monotone Funktionen

Wählt man als Vektorraum anstelle des <math> \R^n </math> den <math> S^n </math> (der Vektorraum aller reellen symmetrischen Matrizen), so nennt man die entsprechenden Funktionen <math> h \colon S^n \to \mathbb{R} </math> Matrix-monotone Funktionen. Als Kegel wählt man hier den Kegel der semidefiniten Matrizen <math> S^n_{+} </math>, was äquivalent zur Verwendung der Loewner-Halbordnung ist. Die Benennung folgt dem obigen Schema. So ist die Determinante <math> \det \colon S^n \to \R </math> strikt Matrix-monoton wachsend auf dem Kegel <math> S^n_{++} </math> der positiv definiten Matrizen.

Verwendung

K-monotone Funktionen finden Verwendung in der Theorie der konvexen Funktionen. So ist zum Beispiel die Verkettung einer K-monoton wachsenden konvexen Funktion und einer K-konvexen Funktion wieder konvex.

Literatur

Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge, New York, Melbourne 2004, ISBN 978-0-521-83378-3 (online).