Pauli-Prinzip

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Wolfgang Pauli (1945)

Das Pauli-Prinzip, auch Pauli-Verbot oder Paulisches Ausschließungsprinzip wurde 1925 von Wolfgang Pauli zur quantentheoretischen Erklärung des Aufbaus der Atome formuliert und besagte in seiner ursprünglichen Fassung, dass je zwei Elektronen in einem Atom nicht in allen Quantenzahlen übereinstimmen können. Allgemeiner formuliert bedeutet es, dass keine zwei ununterscheidbare Fermionen (Teilchen mit halbzahligem Spin) den gleichen quantenmechanischen Zustand einnehmen können. Dies gilt für elementare Fermionen (Elektronen, Quarks) ebenso wie für ununterscheidbare zusammengesetzte Teilchen (Protonen, Neutronen, Helium-3, …). Für Bosonen (Teilchen mit ganzzahligem Spin, z. B. Photonen oder Helium-4) gilt dies ausdrücklich nicht. Quantenmechanisch lässt sich das Pauli-Prinzip darauf zurückführen, dass die Wellenfunktion einer Gesamtheit identischer Fermionen in Bezug auf die Vertauschung zweier Teilchen antisymmetrisch ist.

Die Auswirkungen des Pauli-Prinzips sind vielfältig: Im Grundzustand eines Systems mit Fermionen können nicht alle Teilchen den niedrigsten Energiezustand einnehmen, die möglichen Energieniveaus werden „von unten nach oben aufgefüllt“. Damit lassen sich die Schalenstruktur der Atomhülle, das Periodensystem der Elemente, das Schalenmodell der Kernphysik und die Energiebänder in Kristallen erklären. Das Pauli-Prinzip bewirkt auch, dass sich kondensierte Materie kaum komprimieren lässt und dass weiße Zwerge und Neutronensterne nicht unter der eigenen Schwerkraft kollabieren.

Pauli-Prinzip im Atom

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Energieniveaus in der Atomhülle (schematisch). Die Quadrate stellen die Atomorbitale dar. Sie können maximal je ein Elektron mit Spin­richtung +½ (↑) und −½ (↓) enthalten.

Das später nach Pauli benannte Ausschließungsprinzip wurde von ihm 1925 formuliert.<ref name="Pauli2025" /> Ausgangspunkt war das Problem des Schalenabschlusses bei Atomen und der Aufbau des Periodensystems der chemischen Elemente. Auf der Basis der Multiplettstruktur der Atomspektren und des anomalen Zeeman-Effektes kam Pauli zunächst zur Einsicht, dass die „eigentümliche, klassisch nicht beschreibbare Art von Zweideutigkeit der quantentheoretischen Eigenschaften des Leuchtelektrons“ eine vierte Quantenzahl zur Beschreibung verlangte. Damit fügte er den drei bekannten Quantenzahlen (Hauptquantenzahl n, Nebenquantenzahl l und magnetische Quantenzahl m), die das räumliche Orbital bestimmen, noch eine vierte hinzu, die heute Spinquantenzahl genannt wird und nur die beiden Werte −½ und +½ annehmen kann. Pauli postulierte, dass im Atombau zwei Elektronen niemals in allen vier Quantenzahlen übereinstimmende Werte haben. Wenn ein Elektron eines Atoms einen durch die vier Quantenzahlen beschriebenen Zustand einnimmt, dann ist dieser Zustand „besetzt“.

Diese vierte Quantenzahl und das Ausschließungsprinzip waren zunächst ein ad-hoc-Zusatz zur Quantenmechanik. Erst später erkannte man die Natur des Spins und die Fermi-Dirac-Statistik der Teilchen mit halbzahligem Spin.

Quantenmechanische Beschreibung

Zwei Teilchen

Im Gegensatz zur klassischen Mechanik verlieren identische Teilchen in der Quantenmechanik ihre Individualität – sie sind ununterscheidbar. Der Verlauf eines Experiments ändert sich nicht, wenn zwei identische Teilchen vertauscht werden. Dies gilt ganz allgemein für die Zeitentwicklung jedes physikalischen Systems. In der Quantentheorie hängen die Messwerte, die ein System erzeugt, vom Betragsquadrat <math>|\psi|^2</math> der Gesamt-Wellenfunktion <math>\psi</math> des Systems ab. Dieses Betragsquadrat muss also nach der Vertauschung zweier identischer Teilchen gleich bleiben – was in diesem Fall bedeutet, dass sich durch die Vertauschung nur das Vorzeichen ändern kann.<ref group="Anm.">Genauer gesagt, ist die Wellenfunktion bis auf einen Phasenfaktor <math>\mathrm e^{i\alpha}</math> eindeutig; da aber bei nochmaliger Vertauschung wieder der Ausgangszustand entsteht, muss <math>\mathrm e^{2i\alpha}=1</math> gelten. Daher kann dieser Phasenfaktor nur <math>+1</math> oder <math>-1</math> sein.</ref>

Wenn man der Einfachheit halber den Spin außer Betracht lässt und die Wellenfunktion im Ortsraum mit dem Ortsvektor <math>\vec r</math> betrachtet, so folgt aus

<math>|\psi(\vec r_1, \vec r_2)|^2 = |\psi(\vec r_2, \vec r_1)|^2</math>

die Beziehung

<math>\psi(\vec r_1, \vec r_2) = \pm \psi(\vec r_2, \vec r_1)</math>.

Teilchen, bei denen die Wellenfunktion unter Vertauschung gleich bleibt, heißen Bosonen, Teilchen mit einem Vorzeichenwechsel in der Wellenfunktion heißen Fermionen. Der Vorzeichenwechsel wird als Antisymmetrie der Wellenfunktion bezüglich Teilchenvertauschung bezeichnet.<ref name="LanLif" /><ref name="Atkins" />

Betrachtet man die Wellenfunktion als Funktion des Abstandes <math>\vec r = \vec r_1 - \vec r_2</math>, so gilt

<math>\psi(\vec r) = +\psi(-\vec r)\qquad</math> für Bosonen,

<math>\psi(\vec r) = -\psi(-\vec r)\qquad</math> für Fermionen.

Wie man sieht, gilt für Fermionen <math>\psi(\vec 0) = 0</math>, Fermionen nehmen also nicht den gleichen Ort ein. Dies äußert sich so, als würde etwas die Teilchen abstoßen (Austauschwechselwirkung).

Bezieht man den Spin mit ein, so wird der Zweiteilchenzustand durch eine Wellenfunktion <math>\psi(\vec r_1, s_1;\; \vec r_2, s_2)</math> beschrieben. Nur im Falle paralleler Spinprojektionen <math>s_i</math> müssen die Ortszustände unterschiedlich sein. Als Berechnungsbeispiel kann die Lösung der Schrödingergleichung für das einfachste Mehr-Elektronen-Atom, das Heliumatom, dienen. Für Orthohelium (parallele Spins) ist der Zustand 1¹S₀ mit beiden Elektronen im niedrigsten 1s-Zustand nicht möglich.

Allgemeine Form (verallgemeinertes Pauli-Prinzip)

Die Gesamtwellenfunktion <math>\psi(\vec r_1,s_1;\;\vec r_2,s_2; \dots)</math> eines Systems von <math>n</math> identischen Fermionen muss total antisymmetrisch bezüglich jeder Vertauschung P zweier Teilchen sein:

<math>\psi(\vec r_1,s_1;\,\ldots;\,\vec r_n,s_n)=-(P \psi)(\vec r_1, s_1;\,\ldots;\,\vec r_n,s_n)\,\,.</math>

Dabei ist <math>\vec r_i</math> der Ort, <math>s_i</math> der Spin des <math>i</math>-ten Fermions und <math>P</math> jeder Permutationsoperator, der die Vertauschung jeweils zweier Teilchen bewirkt, also z. B. für die Vertauschung des ersten Teilchens mit dem zweiten:

<math>(P\psi)(\vec r_1,s_1;\;\vec r_2,s_2;\dots) :=\psi (\vec r_2,s_2;\;\vec r_1,s_1;\dots)\,\,.</math>

Anschauliche Deutung

Betrachtet man ein System aus zwei nichtunterscheidbaren Fermionen, so gilt wegen der Antisymmetrie der Gesamtwellenfunktion

<math>\psi(\vec r_1,s_1;\;\vec r_2,s_2)=-\psi(\vec r_2,s_2;\;\vec r_1,s_1).</math>

Für <math>(\vec r_1,s_1)=(\vec r_2,s_2)</math> ergibt sich daraus <math>\psi(\vec r_1,s_1;\;\vec r_1,s_1)=-\psi(\vec r_1,s_1;\;\vec r_1,s_1)</math>, d. h. <math>\psi(\vec r_1,s_1;\;\vec r_1,s_1)=0</math>. Somit muss auch das Betragsquadrat dieser Wellenfunktion, also die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, dass man bei einer Messung beide Fermionen am selben Ort <math>\vec r_1</math> mit demselben Spin <math>s_1</math> findet, null sein.

In vielen Fällen (ein solcher Fall ist z. B. für nichtentartete Eigenfunktionen von Hamilton-Operatoren ohne Spin-Bahn-Kopplung stets gegeben) ist die Gesamtwellenfunktion <math>\psi</math> als Produkt von Ortswellenfunktion <math>\phi</math> und Spinwellenfunktion <math>\chi</math> darstellbar, also

<math>\psi(\vec r_1,s_1;\;\vec r_2,s_2)=\phi(\vec r_1,\vec r_2)\;\chi(s_1,s_2).</math>

Wegen der Antisymmetrie ist dann <math>\phi(\vec r_2,\vec r_1)\;\chi(s_2,s_1)=-\phi(\vec r_1,\vec r_2)\;\chi(s_1,s_2)</math>. Ist etwa die Spinwellenfunktion symmetrisch, also <math>\chi(s_1,s_2) =\chi(s_2,s_1)</math>, so folgt daraus die Antisymmetrie der Ortswellenfunktion <math>\phi</math>. Entsprechend gilt allgemein, dass die Symmetrie einer der Funktionen <math>\phi</math> oder <math>\chi</math> äquivalent zur Antisymmetrie der jeweils anderen ist. Sind also die zwei Fermionen etwa im selben Spinzustand <math>s</math>, dann ist <math>\chi(s_1,s_2)=\delta_{ss_1}\delta_{ss_2}</math> symmetrisch und daher folgt die Antisymmetrie der Ortswellenfunktion.

Diese Zusammenhänge gelten sinngemäß auch dann, wenn mehr als zwei ununterscheidbare Fermionen beteiligt sind.

Gültigkeit

In der Natur kommen Teilchen mit halbzahligem Spin (Fermionen) und Teilchen mit ganzzahligem Spin (Bosonen) vor. Das Spin-Statistik-Theorem liefert die theoretische Begründung für den empirischen Befund, dass alle Elementarteilchen mit halbzahligem Spin der Fermi-Dirac-Statistik folgen, hingegen alle Teilchen mit ganzzahligem Spin der Bose-Einstein-Statistik folgen.

Das Paulische Ausschließungsprinzip gilt für alle Teilchen mit halbzahligem Spin und nur für diese. Für Bosonen gilt das Paulische Ausschließungsprinzip hingegen nicht. Diese Teilchen genügen der Bose-Einstein-Statistik und können gleiche Quantenzustände einnehmen, im Extremfall bis hin zum Bose-Einstein-Kondensat.

Permutations- und Drehverhalten

Das verschiedene Permutationsverhalten von Fermionen und Bosonen passt zum verschiedenen Drehverhalten der jeweiligen Spinoren. In beiden Fällen ergibt sich ein Faktor von <math>(-1)^{2s}=\mp 1</math>, mit dem (+)-Zeichen für Bosonen (<math>s</math> ganzzahlig) und dem (−)-Zeichen für Fermionen (<math>s</math> halbzahlig), entsprechend einer Drehung um 360°. Der Zusammenhang liegt unter anderem deshalb nahe, weil eine Vertauschung der Teilchen 1 und 2 einer komplementären Drehung der beiden Teilchen um 180° entspricht (zum Beispiel Teilchen 1 zum Ort 2 auf dem oberen Halbkreis, Teilchen 2 zum Ort 1 auf dem unteren Halbkreis).

Konsequenzen

Das Pauli-Prinzip hat vielfältige Auswirkungen. Im Atom bestimmt es die Schalenstruktur der Atomhülle und damit die Struktur des Periodensystems der Elemente sowie die Molekülorbitale von chemischem Bindungen. Analog ist es in der Kernphysik die Grundlage des Schalenmodells.

Das Pauli-Prinzip bewirkt, dass Energiebänder in Kristallen nur eine begrenzte Zahl von Elektronen aufnehmen können. Wenn das oberste Band komplett gefüllt ist, können die Elektronen darin keine weitere Energie aufnehmen ohne ins leere Band darüber zu springen – das Material ist ein elektrischer Nichtleiter.

Ein großes Ensemble von Fermionen (Elektronen im Festkörper, Protonen und Neutronen in Atomkernen) lässt sich als Fermigas beschreiben. Das Pauli-Prinzip erzwingt hier wiederum, dass die Teilchen Energiezustände von unten nach oben auffüllen müssen, bis hin zur Fermi-Energie. Da die Energieniveaus bei kleinerem Volumen höher liegen müssen, setzen Atome einer Kompression großen Widerstand entgegen. Kondensierte Materie (Festkörper, Flüssigkeiten) wird dadurch stabilisiert.

In Weißen Zwergen ist es das Fermigas der Elektronen und in Neutronensternen das Fermigas der Neutronen, das durch den Entartungsdruck der immensen Eigengravitation entgegenwirkt und den Kollaps des Objekts verhindert.

Anmerkungen

<references group="Anm." />

Einzelnachweise

<references> <ref name="Atkins"> Peter W. Atkins: Quanten – Begriffe und Konzepte für Chemiker. VCH, ISBN 3-527-28423-0 </ref> <ref name="LanLif"> L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Lehrbuch der Theoretischen Physik, Band 3: Quantenmechanik, ISBN 978-3-8085-5636-8, S. 218 </ref> <ref name="Pauli2025"> Wolfgang Pauli. Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplexstruktur der Spektren. Zeitschrift für Physik 31, 765–783 (1925). doi:10.1007/BF02980631 </ref> </references>