Winkel am Kreis
Mit dem Begriff Winkel am Kreis (kurz Kreiswinkel) bezeichnet man drei Winkel, die zwischen Radien und Sehnen in einem Kreis und Tangenten an diesen gebildet werden, nämlich
Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel),
Umfangswinkel (Peripheriewinkel, Sehnenwinkel) und
Sehnentangentenwinkel.
Definitionen[Bearbeiten]
In den folgenden Definitionen wird ein Kreisbogen (im Bild oben blau gezeichnet) mit den Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math> vorausgesetzt. Auf dem Kreisbogen (schwarz), der den gegebenen Kreisbogen zum vollständigen Kreis ergänzt, befindet sich an beliebiger Stelle ein Punkt <math>P</math>. Der Kreismittelpunkt wird mit <math>M</math> bezeichnet.
- Mittelpunktswinkel oder Zentriwinkel (<math>\mu</math>): Der Winkel <math>\mu = \angle AMB</math> ist der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) des gegebenen Kreisbogens.
- Umfangswinkel, Peripheriewinkel oder Sehnenwinkel (<math>\phi</math>): Der Winkel <math>\phi = \angle APB</math> ist der Umfangswinkel (Peripheriewinkel, Sehnenwinkel) des gegebenen Kreisbogens.
- Sehnentangentenwinkel (<math>\tau</math>): Ein Sehnentangentenwinkel des gegebenen Kreisbogens wird begrenzt von der Sehne <math>\overline{AB}</math> und der Kreistangente im Punkt <math>A</math> bzw. <math>B</math>.
Viele Autoren von Geometrie-Lehrbüchern nehmen bei Mittelpunktswinkeln, Umfangswinkeln und Sehnentangentenwinkeln nicht Bezug auf den gegebenen Kreisbogen, sondern auf die Kreissehne <math>\overline{AB}</math>. Es muss aber klar sein, welcher der beiden Bögen, in die die Sehne den Kreis unterteilt, gemeint ist.<ref>Günter Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45306-3, S. 2. «Wenn klar ist, welcher Bogen mit den Endpunkten <math>Q</math>, <math>P</math> gemeint ist, sprechen wir bisweilen auch vom Umfangswinkel über der Sehne <math>\overline{PQ}</math>.»</ref>
Kreiswinkelsatz (Mittelpunktswinkelsatz, Zentriwinkelsatz)[Bearbeiten]
Aussage: Der Mittelpunktswinkel eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie einer der zugehörigen Umfangswinkel.
Beweis 1[Bearbeiten]
Es wird die Verbindungsstrecke <math>\overline{PM}</math> eingezeichnet. Der Winkel zwischen <math>\overline{PM}</math> und <math>\overline{PA}</math> ist mit <math>\varphi_1</math> bezeichnet, der Winkel zwischen <math>\overline{PM}</math> und <math>\overline{PB}</math> mit <math>\varphi_2</math>. Die Dreiecke <math>PAM</math> und <math>BPM</math> sind gleichschenklig (Basiswinkel <math>\varphi_1</math> bzw. <math>\varphi_2</math>, siehe Zeichnung). Für die eingezeichneten Winkel <math>\alpha</math> (zwischen <math>\overline{MA}</math> und <math>\overline{MP}</math>) und <math>\beta</math> (zwischen <math>\overline{MB}</math> und <math>\overline{MP}</math>) folgt mithilfe der Winkelsumme:
- <math>\alpha = 180^\circ - 2 \varphi_1</math>
- <math>\beta = 180^\circ - 2 \varphi_2</math>
Zu unterscheiden sind drei Fälle:
<math>\varphi_1 = 0^\circ</math>
<math>\phi = \varphi_2 - \varphi_1 \quad</math>
- 1. Fall<math>\colon\, M</math> zwischen <math>\overline{PA}</math> und <math>\overline{PB}</math>
In diesem Fall ist das Viereck <math>AMBP</math> nicht überschlagen. Es kann jedoch konvex (für <math>\mu > 180^\circ</math>), konkav (für <math>\mu < 180^\circ</math>) oder zu einem Dreieck ausgeartet sein (für <math>\mu = 180^\circ</math>). Die drei Winkel bei <math>M</math>, nämlich <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\mu</math>, bilden einen 360°-Winkel (Vollwinkel).
- <math>\alpha + \beta + \mu = 360^\circ</math>
- <math>(180^\circ - 2 \varphi_1) + (180^\circ - 2 \varphi_2) + \mu = 360^\circ</math>
- <math>360^\circ - 2 \varphi_1 - 2 \varphi_2 + \mu = 360^\circ</math>
- <math>\mu = 2 \varphi_1 + 2 \varphi_2 = 2 (\varphi_1 + \varphi_2)</math>
Wegen <math>\phi = \varphi_1 + \varphi_2</math> folgt daraus die Behauptung <math>\mu = 2 \phi</math>.
- 2. Fall<math>\colon\, M</math> auf <math>\overline{PA}</math> oder <math>\overline{PB}</math>
In diesem Fall artet das Viereck <math>AMBP</math> zu einem Dreieck <math>ABP</math> aus. Die Argumentation ist wie im 1. Fall, allerdings gilt jetzt <math>\varphi_1 = 0^\circ</math> (falls <math>M</math> auf <math>\overline{PA}</math>) bzw. <math>\varphi_2 = 0^\circ</math> (falls <math>M</math> auf <math>\overline{PB}</math>).
- 3. Fall<math>\colon\, M</math> außerhalb von <math>\overline{PA}</math> und <math>\overline{PB}</math>
In diesem Fall ist das Viereck <math>AMBP</math> überschlagen (siehe nebenstehende Bild: Der Punkt <math>P</math> befindet sich nahe seinen Endlagen bei <math>A</math> oder bei <math>B</math>). Es kann ähnlich wie im 1. Fall argumentiert werden, allerdings gilt statt <math>\alpha + \beta + \mu = 360^\circ</math> und <math>\phi = \varphi_1 + \varphi_2</math> jetzt entweder
- <math>\alpha = 360^\circ-(\beta + \mu) \quad</math> und <math>\quad \phi = \varphi_2 - \varphi_1 \quad</math> (falls <math>M</math> näher bei <math>\overline{PA}</math>)
- <math>180^\circ - 2 \varphi_1 = 180^\circ - 2 \varphi_2 + \mu</math>
- <math>\mu = 2 \varphi_2 - 2 \varphi_1 = 2 (\varphi_2 - \varphi_1) = 2 \phi</math>
oder
- <math>\beta = 360^\circ-(\alpha + \mu) \quad</math> und <math>\quad \phi = \varphi_1 - \varphi_2 \quad</math> (falls <math>M</math> näher bei <math>\overline{PB}</math>).
- <math>180^\circ - 2 \varphi_2 = 180^\circ - 2 \varphi_1 + \mu</math>
- <math>\mu = 2 \varphi_1 - 2 \varphi_2 = 2 (\varphi_1 - \varphi_2) = 2 \phi</math>
- Zusammenfassung
In allen drei Fällen lautet das Ergebnis <math>\mu = 2 \phi</math>.
Für <math>\mu = 180^\circ</math> folgt aus dem Kreiswinkelsatz <math>\phi = 90^\circ</math>. Daher kann der Satz des Thales als Spezialfall des Kreiswinkelsatzes aufgefasst werden.
Beweis 2[Bearbeiten]
Fall 1: Einer der Schenkel zum Umfangswinkel verläuft durch den Mittelpunkt[Bearbeiten]
Die beiden Winkel <math>\angle MAP</math> und <math>\angle APM</math> sind beide gleich <math>\varphi</math>. Der Winkel <math>\angle PMA</math> beträgt entsprechend <math>180^\circ-2\varphi</math> und demnach dessen Nebenwinkel <math>\mu = 180^\circ-(180^\circ-2\varphi) = 2\varphi</math>.
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Fall 2: Der Mittelpunktswinkel beträgt 180°[Bearbeiten]
Hier kann man von <math>P</math> aus eine Hilfslinie durch den Mittelpunkt ziehen und sieht sich dann zweimal dem Fall 1 gegenüber. Es gilt: <math>\mu = \mu_1+\mu_2 = 2\varphi_1+2\varphi_2 = 2(\varphi_1+\varphi_2) = 180^\circ</math>
weil nach dem Satz des Thales
<math>\varphi_1+\varphi_2=90^\circ</math>
Fall 3: AMBP bildet ein reguläres, nicht überschlagenes Viereck[Bearbeiten]
Die Argumentation ist dieselbe wie in Fall 2.<ref>Günter Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45306-3, S. 15. «Einen einfachen Beweis [ohne Rechnung] bietet die Abb. 2.1»</ref>
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Fall 4: AMBP bildet ein überschlagenes Viereck[Bearbeiten]
Da das Dreieck <math>\triangle APM</math> gleichschenklig ist, sind die Winkel <math>\angle PAM</math> und <math>\angle MPA</math> beide gleich groß, hier: <math>\delta</math>. Nun ist auch das Dreieck <math>\triangle BPM</math> gleichschenklig, somit muss <math>\angle PBM = \varphi+\delta</math> gelten. Da die Scheitelwinkel bei <math>Q</math> gleich groß sind, müssen sich die beiden anderen Winkel der Dreiecke <math>\triangle QMA</math> und <math>\triangle QBP</math> zur selben Summe addieren: <math>\angle AMQ + \angle QAM = \angle QPB + \angle PBQ</math>. Setzen wir die bekannten Werte ein, so erhalten wir: <math>\mu + \delta = \varphi + (\varphi + \delta) = 2\varphi + \delta</math>, und es folgt auch in diesem Fall: <math>\mu = 2\varphi</math>.
Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Anker“ ist nicht vorhanden. Umfangswinkelsatz (Peripheriewinkelsatz, Sehnenwinkelsatz)[Bearbeiten]
Aussage: Alle Umfangswinkel über einem Kreisbogen sind gleich groß (siehe Animation).
Beweis: Der Umfangswinkelsatz folgt unmittelbar aus dem Kreiswinkelsatz. Nach diesem Satz ist jeder Umfangswinkel halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel. Also müssen alle Umfangswinkel gleich groß sein.
Auch ein direkter Beweis des Umfangswinkelsatzes ist möglich, und zwar durch einen weiteren Punkt P' auf dem gegebenen Kreisbogen, sodass ein Sehnenviereck AP'BP entsteht. Dieser Beweis verwendet die Tatsache, dass sich in einem Sehnenviereck gegenüberliegende Winkel zu <math>180^\circ</math> ergänzen. (Zur Vermeidung eines Zirkelschlusses ist es allerdings nötig, diese Eigenschaft ohne Rückgriff auf Umfangswinkel zu begründen, nämlich mit Basiswinkeln in gleichschenkligen Dreiecken.) Auf diese Weise sind durch den Winkel bei P' alle Umfangswinkel festgelegt.
Der Kreisbogen, der den gegebenen Kreisbogen ergänzt, also der Kreisbogen, auf dem die Scheitel der Umfangswinkel liegen, wird – vor allem bei Konstruktionsaufgaben – als Fasskreisbogen bezeichnet.
Sehnentangentenwinkelsatz[Bearbeiten]
Aussage: Die beiden Sehnentangentenwinkel eines Kreisbogens sind so groß wie die zugehörigen Umfangswinkel und halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel.
Beweis: Zu zeigen ist <math>\delta = \gamma</math>.
Da <math>\triangle ABM</math> gleichschenklig ist, gilt
- <math>\alpha_2 = \frac{180^\circ - 2 \gamma}{2} = 90^\circ - \gamma</math>.
Zusammen mit <math>\alpha_2 + \delta=90^\circ </math> folgt
- <math>\delta = 90^\circ - \alpha_2 = 90^\circ - (90^\circ - \gamma) = \gamma</math>.
Aus dem Kreiswinkelsatz ergibt sich der Zusammenhang mit dem Mittelpunktswinkel.
Der Sehnentangentenwinkel bei A ist mit <math>\delta</math> bezeichnet, der Umfangswinkel bei C mit <math>\gamma</math> und der zugehörige Mittelpunktswinkel mit <math>\varphi = 2 \gamma</math>.
Anwendung bei Begründungs- und Konstruktionsaufgaben[Bearbeiten]
Umfangswinkelsatz[Bearbeiten]
Insbesondere der Umfangswinkelsatz lässt sich nicht selten für geometrische Konstruktionen verwenden. In vielen Fällen sucht man die Menge (den geometrischen Ort) aller Punkte <math>P</math>, von denen aus eine gegebene Strecke (hier <math>\overline{AB} </math>) unter einem bestimmten Winkel erscheint. Die gesuchte Punktmenge besteht im Allgemeinen aus zwei Kreisbögen, den sogenannten Fasskreisbögen (Bild 1).
Bekanntlich ist bei einem Dreieck der anliegende Außenwinkel stets so groß, wie sie Summe seiner nicht anliegenden Innenwinkel.<ref name="Aumann" /> Auf Grund dessen gilt:
- Liegt der Punkt <math>C</math> des Dreiecks <math>ACP</math> innerhalb des Fasskreisbogens, so ist der Winkel <math>\gamma</math> gleich <math>\alpha + \beta</math> (Bild 2 mit Beispiel <math>\alpha = 60^\circ</math>). Liegt dagegen der Punkt <math>C</math> des Dreiecks <math>APC</math> außerhalb des Fasskreisbogens, so ist der Winkel <math>\alpha</math> gleich <math>\beta + \gamma</math> (Bild 3 mit Beispiel <math>\alpha = 60^\circ</math>).<ref name="Aumann">Günter Aumann: Kreisgeometrie. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2015, ISBN 978-3-662-45306-3, S. 16–17, 2.1 Die klassischen Sätze der Kreisgeometrie ([1] [abgerufen am 9. August 2023]).</ref>
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Der Beweis des nachfolgenden Anwendungsbeispiels beruht auf einer mehrfachen Anwendung des Umfangswinkelsatzes (Bild 4): Vorlage:BildFloat Vorlage:BildFloat
- Gegeben seien drei Geraden <math>g_1</math>, <math>g_2</math> und <math>g_3</math>, die sich im Punkt <math>S</math> schneiden. Von einem Punkt <math>P \neq S</math> werden jeweils die Lote auf <math>g_1</math>, <math>g_2</math> und <math>g_3</math> gefällt.
- Dann stimmen die Innenwinkelweiten des entstandenen Dreiecks <math>ABC</math> mit den Schnittwinkelweiten der drei Geraden überein.
Beweis:
- Betrachtet wird der Thaleskreis <math>k</math> über der Strecke <math>\overline{PS}</math> mit verschiedenen Peripheriewinkeln.
- Die Winkel <math>\angle BAC</math> und <math>\angle BSC</math> sind Umfangswinkel über dem zur Sehne <math>\overline{BC}</math> gehörigen (kleineren) Kreisbogen und haben deshalb dieselbe Weite <math>\alpha</math>.
- Die Winkel <math>\angle ACB</math> und <math>\angle ASB</math> sind Umfangswinkel über dem zur Sehne <math>\overline{AB}</math> gehörigen (kleineren) Kreisbogen und haben deshalb dieselbe Weite <math>\gamma</math>.
- Die Winkel <math>\angle g_1g_3</math> und <math>\angle CBA</math> haben wegen <math>\beta=180^\circ-\alpha-\gamma</math> dieselbe Weite <math>\beta</math>.
- Damit ist die Aussage bewiesen.
Für den Spezialfall, dass die drei Geraden sich im Punkt <math>S</math> unter einem Winkel von jeweils <math>60^\circ</math> schneiden, ergibt sich mit <math>\alpha=\beta=\gamma</math> als unmittelbare Folgerung (Bild 5):
- Gegeben seien drei Geraden <math>g_1</math>, <math>g_2</math> und <math>g_3</math>, die sich im Punkt <math>S</math> unter einem Winkel von jeweils <math>60^\circ</math> schneiden. Von einem Punkt <math>P \neq S</math> werden jeweils die Lote auf <math>g_1</math>, <math>g_2</math> und <math>g_3</math> gefällt.
- Dann ist das Dreieck <math>ABC</math> gleichseitig.<ref>Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten - Perlen der klassischen Geometrie, 2. Auflage, Springer Spektrum 2016, ISBN 978-3-662-63329-8, S. 23/219</ref>
Dreieckskonstruktion mittels Fasskreisbogen[Bearbeiten]
Von einem Dreieck sind die Seite <math>c</math>, die Höhe <math>h_c</math> und der Winkel <math>\gamma</math> gegeben. Für das Bestimmen des fehlenden Eckpunktes <math>C</math> wird der Fasskreisbogen genutzt. Dieser basiert auf der Eigenschaft, dass alle Umfangswinkel über derselben Sehne gleich groß sind (Umfangswinkelsatz). Da der Umfangswinkel <math>\gamma</math> genau halb so groß ist wie der zugehörige Mittelpunktswinkel, lässt sich über den Hilfswinkel <math>\alpha = 90^\circ - \gamma</math> der exakte Mittelpunkt des Fasskreisbogens bestimmen.
- Konstruktion
Die Konstruktion beginnt mit dem Zeichnen der Seite <math>c</math> als Strecke <math>\overline{AB}</math> und Errichten der Mittelsenkrechten (Schnittpunkt <math>M_1</math>). Im Eckpunkt <math>A</math> wird nun der ermittelte Winkel <math>\alpha</math> an die Strecke <math>\overline{AB}</math> angetragen. Dabei schneidet der Winkelschenkel die Mittelsenkrechte und liefert somit den Mittelpunkt <math>M_2</math> des Fasskreisbogens, der nun mit dem Radius <math>|\overline{M_2A}|</math> eingezeichnet wird. Abschließend zieht man im Abstand der Höhe <math>h_c</math> eine Parallele zur Seite <math>c</math>. Die Schnittpunkte dieser Parallelen mit dem Fasskreisbogen ergeben den gesuchten Dreieckspunkt <math>C</math> bzw. <math>C'</math>, wodurch sich zwei mögliche, zueinander spiegelbildliche Dreiecke fertigstellen lassen.
Kreiswinkelsatz[Bearbeiten]
Der Kreiswinkelsatz eignet sich, um etwa den Satz von Cardano zu begründen, aber auch als Konstruktionsbaustein zur Lösung z. B. folgender Aufgaben:
- Zeichne ein Vierzigeck, bei dem die Seitenlänge <math>a</math> gegeben ist.
- Hierfür wird zuerst der Umkreis eines Zehnecks mit nur einer Seitenlänge <math>a</math> konstruiert und anschließend zweimal hintereinander der Kreiswinkelsatz angewendet.
- Die Dreiteilung des Winkels mithilfe der Hyperbel; bereits im 4. Jhdt. nutzte Pappos für deren Lösung die Eigenschaften dieses Satzes (Bild 1).
- Es ist aus einer vorgegebenen Seitenlänge <math>a</math> ein Polygon zu konstruieren, das die doppelte Anzahl Ecken eines Polygons mit gleicher Seitenlänge hat (Bild 2).
- Es ist aus einer vorgegebenen Seitenlänge <math>a</math> ein Polygon zu konstruieren, das die halbe Anzahl Ecken eines Polygons mit gleicher Seitenlänge hat (Bild 3).
Ansatz für die Dreiteilung eines beliebigen Winkels. Durch den Punkt <math>C</math> verläuft später der rechte Ast der Hyperbel
Konstruktion eines Polygons bei gegebener Seitenlänge <math>a</math>, das die doppelte Anzahl Ecken eines Polygons mit gleicher Seitenlänge hat.
Beispiel:
Die Seitenlänge <math>a</math> des gesuchten Zwanzigecks (blau) ist gleich der des vorgegebenen Zehnecks.
Konstruktion eines Polygons bei gegebener Seitenlänge <math>a</math>, das die halbe Anzahl Ecken eines Polygons mit gleicher Seitenlänge hat. Darin ist <math>Ms</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AM}.</math>
Beispiel:
Die Seitenlänge <math>a</math> des gesuchten Zehnecks (blau) ist gleich der des vorgegebenen Zwanzigecks.
Literatur[Bearbeiten]
- Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 161–162
- Schülerduden – Mathematik I. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, S. 415–417
- Günter Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45306-3, S. 15–18
Weblinks[Bearbeiten]
- Alternativbeweis des Umfangswinkelsatzes, Landesbildungsserver Baden-Württemberg Der hier vorgeführte Beweis besticht durch seine Einfachheit und führt auf natürliche Weise auf die Zusammenhänge zwischen Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel sowie auf die Besonderheit von Sehnenvierecken.
Einzelnachweise[Bearbeiten]
<references />