Vorhersagemodell
Vorlage:Hinweisbaustein In der Statistik bezeichnet man als Prognosemodell oder Vorhersagemodell ein Modell, das eine Prognose der abhängigen Variablen y liefert und dazu einen funktionalen Zusammenhang verwendet, der durch ein Regressionsverfahren ermittelt wurde. Wenn zusätzliche x-Werte ohne zugehörigen y-Wert vorliegen, kann das angepasste Modell zur Vorhersage des Wertes von y verwendet werden.
Andere Vorhersagemodelle gibt es für Zeitreihen, siehe dazu z. B. unter Lineare Vorhersage.
Prognosemodell[Bearbeiten]
In der multiplen linearen Regression ergibt sich das Prognosemodell durch
- <math>\mathbf y_0 = \mathbf X_0 \boldsymbol \beta + \boldsymbol \varepsilon_0</math>,
wobei
- <math>\mathbf y_0</math> den Vektor zukünftiger abhängiger Variablen,
- <math>\mathbf X_0</math> die Matrix der erklärenden Variablen zum Zeitpunkt <math>T_0</math> und
- <math>\boldsymbol \varepsilon_0</math> den Vektor der zufälligen Fehler
darstellen.
Die Prognose wird als <math>\hat\mathbf y_0 = \mathbf X_0 \mathbf b</math> dargestellt, wobei <math>\boldsymbol b</math> die KQ-Schätzung von <math>\boldsymbol \beta</math> ist.<ref>Helge Toutenburg: Vorhersage in linearen Modellen. Walter de Gruyter GmbH & Co KG, 2022, ISBN 978-3-11-259770-5, S. 67 ff. (google.de [abgerufen am 1. April 2026]).</ref>
Prognosefehler[Bearbeiten]
Aus o. g. Darstellung ergibt sich der Prognosefehler oder Vorhersagefehler <math>\hat\mathbf y_0 -\mathbf y_0 = \mathbf X_0( \mathbf b - \boldsymbol \beta) - \boldsymbol \varepsilon_0</math> mit folgenden Eigenschaften:
- der Erwartungswert des Prognosefehlers ist im Mittel null: <math>\operatorname{E}(\hat\mathbf y_0 - \mathbf y_0) = \operatorname{E}(\mathbf X_0( \mathbf b - \boldsymbol \beta) - \boldsymbol \varepsilon_0) = \mathbf 0</math>
- die Varianz-Kovarianzmatrix des Prognosefehlers lautet: <math>\operatorname{E}[(\hat\mathbf y_0 - \mathbf y_0 - \operatorname{E}(\hat\mathbf y_0 - \mathbf y_0))((\hat\mathbf y_0 - \mathbf y_0-\operatorname{E}(\hat\mathbf y_0 - \mathbf y_0))^{\top}] = \sigma^2[\mathbf X_0(\mathbf X^{\top}\mathbf X)^{-1}\mathbf X_0^{\top} + \mathbf I]</math>.
Oft ist man daran interessiert, für einen neuen Wert <math>x_0</math> die Realisierung der endogenen (= abhängigen) Variablen <math>y_0</math> zu schätzen. Beispielsweise könnte <math>x_0</math> der geplante Preis eines Produktes und <math>y_0</math> der Absatz sein. In diesem Fall nimmt man ein einfaches Regressionsmodell an. Der prognostizierte Funktionswert <math>\hat{y}_0</math> der exogenen (= unabhängigen) Variablen <math>x_0</math> ist dann gegeben durch
- <math>\hat{y}_0 = b_0 +b_1 x_0</math>
Da man den Wert der endogenen Variablen nie genau vorhersehen kann, ergibt sich immer ein Schätzfehler. Dieser Fehler wird als Prognosefehler bezeichnet und ergibt sich aus
- <math>e_p:=\hat{y_0}-y_0 </math>
Ist die wahre Prognosegleichung unbekannt, so ist auch der Prognosefehler unbekannt. Trotzdem ist es möglich, eine Aussage über die Präzision des Prognosefehlers zu machen. Die Prognose gilt theoretisch als präzise, da der Fehler im Mittel 0 ist:
- <math>\operatorname E(\hat{y}_0- y_0)= \operatorname E(x_{t1}\hat\beta_1 + x_{t2}\hat\beta_2 + \ldots + x_{tK}\hat \beta_K -(x_{t1}\beta_1 + x_{t2}\beta_2 + \ldots + x_{tK} \beta_K + \varepsilon_t))=0</math>.
Die gemittelte Summe der Prognosefehler ergibt den mittleren absoluten Fehler.
Prognoseintervall[Bearbeiten]
In der Inferenzstatistik ist ein Prognoseintervall (Vorhersageintervall), ein Bereich, in dem der zu prognostizierende Wert <math>\mathbf{y}_0</math> mit einer bestimmten (hohen) Wahrscheinlichkeit ex ante zu vermuten ist.
Einzelnachweise[Bearbeiten]
<references />