Faktorgruppe
Die Faktorgruppe oder Quotientengruppe ist eine Gruppe, die mittels einer Standardkonstruktion aus einer gegebenen Gruppe <math>G</math> unter Zuhilfenahme eines Normalteilers <math>N \trianglelefteq G</math> gebildet wird. Sie wird mit <math>G/N</math> bezeichnet und ist die Menge der Nebenklassen.
Konstruktion[Bearbeiten]
Die Elemente von <math>G/N</math> sind die Nebenklassen bezüglich <math>N</math>, also
- <math>G/N := \{ gN : g \in G \}</math>.
Die innere Verknüpfung <math>\circ\colon G/N \times G/N \rightarrow G/N</math> wird definiert als
- <math>(gN) \circ (hN) := (gh)N</math>.
Man kann mit Hilfe der Normalteilereigenschaft von <math>N</math> zeigen, dass diese Verknüpfung wohldefiniert ist und dass <math>(G/N, \circ)</math> eine Gruppe ist. Diese Gruppe heißt Faktorgruppe von <math>G</math> nach <math>N</math>. Das neutrale Element von <math>G/N</math> ist <math>N</math> und das zu <math>gN</math> inverse Element ist durch <math>g^{-1}N</math> gegeben.
Das Produkt <math>(gN) \circ (hN) = (gh)N</math> stimmt mit dem Komplexprodukt <math>(gN)\cdot(hN)</math> überein. Umgekehrt kann man zeigen, dass eine Untergruppe <math>U</math> einer Gruppe <math>(G,\cdot)</math> ein Normalteiler ist, wenn für alle <math>g,h \in G</math> die Gleichheit <math>(gU)\cdot(hU)= (gh)U</math> gilt.
In abelschen Gruppen ist jede Untergruppe Normalteiler. Somit lässt sich dort nach jeder Untergruppe die Faktorgruppe bilden, welche dann wiederum abelsch ist.
Die Ordnung der Faktorgruppe <math>G/N</math> ist gerade die Anzahl der Nebenklassen von <math>N</math>. Diese Anzahl wird Index von <math>N</math> in <math>G</math> genannt und mit <math>(G:N)</math> bezeichnet. Ist <math>G</math> eine endliche Gruppe, so gilt nach dem Satz von Lagrange <math>(G:N)=|G/N| = \tfrac{|G|}{|N|}</math>.
Beispiele[Bearbeiten]
Jede Gruppe[Bearbeiten]
Jede Gruppe kann als Faktorgruppe aufgefasst werden, denn für jede Gruppe <math>G</math> ist <math>\{e\} \trianglelefteq G</math> ein Normalteiler und es gilt <math>G \cong G/\{e\}</math>.
Beispiel ℤ6[Bearbeiten]
Sei <math>\mathbb{Z}</math> die Gruppe der ganzen Zahlen mit der Addition als Gruppenoperation und sei <math>6\Z</math> die Untergruppe von <math>\mathbb{Z}</math>, die aus allen Vielfachen von 6 besteht. Die Gruppe <math>\Z</math> ist abelsch und somit ist jede Untergruppe ein Normalteiler. Die Faktorgruppe <math>\mathbb{Z}/6\Z</math> besteht nun als Restklassengruppe aus allen Nebenklassen der Untergruppe <math>6\Z</math>, diese sind:
<math>6\Z+0= \{\dotsc,-18, -12, -6, 0, 6, 12, 18,\dotsc \}</math>
<math>6\Z+1= \{\dotsc,-17, -11, -5, 1, 7, 13, 19,\dotsc \}</math>
<math>6\Z+2= \{\dotsc,-16, -10, -4, 2, 8, 14, 20,\dotsc \}</math>
<math>6\Z+3= \{\dotsc,-15, -9, -3, 3, 9, 15, 21,\dotsc \}</math>
<math>6\Z+4= \{\dotsc,-14, -8, -2, 4, 10, 16, 22,\dotsc \}</math>
<math>6\Z+5= \{\dotsc,-13, -7, -1, 5, 11, 17, 23,\dotsc \}</math>
Dies sind alle Nebenklassen von <math>6\Z</math>, wie man leicht sehen kann, da sie die Gruppe <math>\mathbb{Z}</math> partitionieren und <math>6\Z+6=6\Z+0</math>, <math>6\Z+7=6\Z+1</math>, <math>6\Z+8=6\Z+2</math> und so weiter. Da die Operation in <math>\mathbb{Z}</math> die Addition ist, nennt man die Addition der Nebenklassen auch Addition und es gilt beispielsweise <math>(6\Z+3)+(6\Z+4)=6\Z+7=6\Z+1</math>. Schreibt man abkürzend
- <math>[0]=6\Z+0</math>, <math>[1]=6\Z+1</math>, <math>[2]=6\Z+2</math>, <math>[3]=6\Z+3</math>, <math>[4]=6\Z+4</math>, <math>[5]=6\Z+5</math>,
so besteht <math>\mathbb{Z}/6\Z</math> aus den 6 Elementen <math>[0], [1], [2], [3], [4], [5]</math> und ergibt sich folgende Verknüpfungstabelle für die Faktorgruppe <math>\Z_6</math>
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Damit hat man ein Verfahren, mit dem man Untergruppen wie <math>\Z_{6}</math> konstruieren kann.
Restklassengruppe der additiven Gruppe der ganzen Zahlen[Bearbeiten]
Das vorhergehende Beispiel lässt sich verallgemeinern: Für jedes <math>n \in \mathbb{N}</math> ist <math>(n\mathbb{Z}, +)</math> eine Untergruppe der abelschen Gruppe <math>(\mathbb{Z}, +)</math>, also insbesondere ein Normalteiler. Die Faktorgruppe <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> wird Restklassengruppe modulo <math>n</math> genannt und kurz mit <math>\Z_n</math> bezeichnet. Sie hat genau <math>n</math> Elemente.
Ihre Elemente werden als
- <math>[k]_n := [k] := k + n\mathbb{Z} = \{k+m\ :\ m \in n\mathbb{Z}\} = \{k+nz\ :\ z \in \mathbb{Z}\}</math>
geschrieben und heißen Kongruenzklassen bezüglich der Addition modulo <math>n</math>. Es ist also
- <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{[0], [1], \ldots, [n-1]\}</math>.
Die innere Verknüpfung von <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> wird üblicherweise wieder mit <math>+</math> bezeichnet. In <math>\mathbb{Z} /5\mathbb{Z}</math> gilt beispielsweise
- <math>\ [3]_5 + [4]_5 = [3] + [4] = [2] = [2]_5</math>,
da <math>3 + 4 = 7 = 2 + 5</math>, also <math>(3+4) + 5\mathbb{Z} = 2 + 5\mathbb{Z}</math>.
Faktorgruppe nach Kernen von Homomorphismen[Bearbeiten]
Seien <math>G</math> und <math>H</math> zwei Gruppen und <math>\varphi: G \rightarrow H</math> ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist der Kern von <math>\varphi</math> ein Normalteiler von <math>G</math> und daher kann die Faktorgruppe <math>G/\ker \varphi</math> gebildet werden. Nach dem Homomorphiesatz für Gruppen ist diese Faktorgruppe isomorph zum Bild von <math>\varphi</math>, das eine Untergruppe von <math>H</math> ist.
Universelle Eigenschaft der Faktorgruppe[Bearbeiten]
Ist <math>H</math> ein Normalteiler von <math>G</math>, dann ist die Abbildung <math>\pi\colon G \rightarrow G/H</math> mit <math>g \mapsto gH</math> mit Kern <math>H</math> ein Epimorphismus, also ein surjektiver Homomorphismus. Die universelle Eigenschaft besagt nun, dass zu jedem Gruppenhomomorphismus <math>\varphi\colon G \rightarrow G'</math> mit <math>H \subseteq\ker(\varphi)</math> genau ein Gruppenhomomorphismus <math>\varphi'\colon G/H \rightarrow G'</math> mit <math> \varphi = \varphi' \circ \pi </math> existiert.
Beispiel: Sei <math>\pi\colon \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}</math> die natürliche Projektion der ganzen Zahlen auf die Restklassengruppe modulo 6. Sei <math>\varphi\colon \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}</math> Gruppenhomomorphismus. Dann liegt <math>6\mathbb{Z}</math> im Kern von <math>\varphi</math> und <math>\varphi'\colon \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}</math> ergibt sich zu:
<math>\varphi'([0]_6) = [0]_3</math>
<math>\varphi'([1]_6) = [1]_3</math>
<math>\varphi'([2]_6) = [2]_3</math>
<math>\varphi'([3]_6) = [0]_3</math>
<math>\varphi'([4]_6) = [1]_3</math>
<math>\varphi'([5]_6) = [2]_3</math>.
Konstruktion von Gruppen[Bearbeiten]
Durch den Übergang zur Faktorgruppe erreicht man, dass sämtliche Elemente des Normalteilers auf das neutrale Element abgebildet werden. Dadurch kann man das Bestehen gewisser Identitäten erzwingen.
Kommutatorgruppe[Bearbeiten]
Die von allen Kommutatoren erzeugte Gruppe <math>[G,G]</math> ist ein Normalteiler der Gruppe <math>G</math>. In der Faktorgruppe <math>G/[G,G]</math> werden daher alle Kommutatoren trivial, das heißt die Faktorgruppe ist abelsch. Man nennt dies die Abelisierung der Gruppe.
Relationen[Bearbeiten]
Allgemeiner kann man das Bestehen beliebiger Gleichungen (Relationen) in einer Gruppe erzwingen. Kommen in den gewünschten Gleichungen Elemente <math>x_1,\ldots, x_n</math> vor, so betrachte in der freien Gruppe <math>F_n</math> über <math>n</math> Elementen den kleinsten Normalteiler <math>N</math>, der alle Ausdrücke in <math>x_1,\ldots, x_n</math> enthält, die gleich dem neutralen Element sein sollen. Die Faktorgruppe <math>F_n/N</math> leistet das Verlangte. Genaueres entnehme man dem Artikel "Präsentation einer Gruppe".
Siehe auch[Bearbeiten]
- Korrespondenzsatz (Gruppentheorie): Untergruppen in einer Faktorgruppe
- Quotientenabbildung: Abbildung <math>G\to G/N</math>
- Restklassenring: Analoge Konstruktion für Ringe
Literatur[Bearbeiten]
- Kurt Meyberg: Algebra. Band 1. 2. Auflage. Carl Hanser, München u. a. 1980, ISBN 3-446-13079-9.
- Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-21380-5.