Rydberg-Zustand

Ein Rydberg-Zustand (nach dem schwedischen Physiker Johannes Rydberg) ist ein angeregter Zustand eines Atoms, Ions oder Moleküls, bei dem das äußerste Elektron wesentlich weiter vom Zentrum entfernt ist als im Grundzustand. Ein Atom in solchem Zustand wird als Rydberg-Atom bezeichnet und ist schon im einfachsten quantenmechanischen Ansatz für das Wasserstoffproblem gut beschrieben.

In Übereinstimmung mit dem Korrespondenzprinzip geht bei großen Quantenzahlen die quantenmechanische Beschreibung des Rydberg-Atoms in die klassische Beschreibung über. Tatsächlich kann das Elektron hier in guter Näherung als klassisches Teilchen behandelt werden, wie es beim Bohrschen Atommodell oder beim Bohr-Sommerfeldschen Atommodell zugrunde gelegt wird.

Aufgrund ihrer im Vergleich zu gewöhnlichen Atomen großen Ausdehnung und großen Anzahl an eng benachbarten oder (fast) entarteten Energieniveaus reagieren Rydberg-Atome besonders empfindlich auf elektrische und magnetische Felder. So zeigt ein Rydberg-Atom, das durch einen verspiegelten Hohlraum hindurchfliegt, in dem ein einziges Photon gefangen ist, Veränderungen seiner Wellenfunktion. Damit kann z. B. die Anwesenheit des Photons nachgewiesen werden, ohne es weiter zu beeinflussen (sog. quantum non demolition-Messung). Für die Entwicklung von darauf basierenden experimentellen Methoden von sonst unerreichter Empfindlichkeit und Genauigkeit erhielten Serge Haroche und David Wineland den Nobelpreis für Physik 2012.

Kennzeichen

Vom Rydberg-Zustand spricht man, wenn ein Atom oder Molekül so angeregt ist, dass ein Elektron eine Hauptquantenzahl <math>n</math> hat, die weit über dem bei Atomen im Grundzustand vorkommenden Maximalwert <math>n\mathord =7</math> liegt. Hat das Elektron auch einen entsprechend hohen Drehimpuls (maximale Drehimpulsquantenzahl <math>\ell\mathord = n\mathord -1</math>), ist seine Aufenthaltswahrscheinlichkeit in der Nähe des Kerns und gegebenenfalls der anderen Elektronen des Atoms sehr gering, so dass diese zusammen sehr genau wie eine einzige Punktladung wirken und weitere Feinheiten der Wechselwirkungen mit dem Kern und den anderen Elektronen eine sehr geringe Rolle spielen. Daher entsprechen Rydberg-Zustände aller Atomarten sehr genau den einfachen Verhältnissen beim Wasserstoffatom. Insbesondere ist die Energie (bei insgesamt neutralen Atomen) gut durch <math>E_n\mathord = - \tfrac{13,6\,\mathrm{eV}}{n^2}</math> gegeben und bei großen Werten des Bahndrehimpulses hinsichtlich <math>l</math> entartet.

Die Energie eines Elektrons in einem Rydbergzustand liegt nur unwesentlich unter dem Vakuumniveau und ist damit wesentlich höher als die Energie von weiter innen liegenden Elektronen, die eine größere Bindungsenergie haben. Das bedeutet aber auch, dass das entsprechende Elektron sehr einfach vom Atom getrennt (ionisiert) werden kann.

Diese hochliegenden Energieniveaus können durch Anregung, z. B. durch Strahlung passender Wellenlänge, besetzt werden. Rydberg-Zustände können aber auch entstehen, wenn ein Ion ein Elektron einfängt, beispielsweise, wenn das Ion nahe an eine Oberfläche kommt und ein Elektron von dort auf das Ion übertritt.

Beim Rydberg-Zustand eines Moleküls ist das äußerste Elektron in einem Molekülorbital, welches aus Atomorbitalen aufgebaut ist, die nicht zur Valenzschale des Moleküls gehören.

Größenverhältnisse

Bei Elektronen in weit vom Kern entfernten Rydbergzuständen können viele Eigenschaften durch die klassische Physik oder im Bohrschen Atommodell beschrieben werden. Daher gilt für den Abstand Proton-Elektron bei einem Rydberg-Wasserstoffatom:

<math> r_n = n^2 \cdot a_\text{B} = n^2 \cdot \frac{4 \pi \varepsilon_0 \hbar^2}{m_{e}e^2} = n^2 \cdot 52{,}9 \cdot 10^{-12}\,\mathrm{m}</math>

mit dem Bohrschen Atomradius <math>a_\text{B}</math>.

Dadurch werden Rydbergatome sehr groß, z. B. für <math>n=100</math>:

<math> r_{100} = 10^4 \cdot a_\text{B} = 0{,}529 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{m}.</math>

Die größten erreichten Quantenzahlen liegen bei <math>n \approx 500</math> mit Atomdurchmessern von etwa 25 Mikrometer. Das ist viel größer als der Atomradius von Rubidium<ref name="Christen67">Hans Rudolf Christen: Grundlagen der allgemeinen und anorganischen Chemie. 4. Auflage. Sauerländer, Aarau 1973, ISBN 3-7941-0162-6, S. 67. </ref> Rb mit 244 pm oder 2,44 <math>\AA</math> zum Beispiel.

Geometrischer Wellenquerschnitt

Aufgrund ihrer großen räumlichen Ausdehnung besitzen Rydberg-Atome eine wesentlich größere geometrische Querschnittsfläche als Atome im Grundzustand. Für einen kreisförmigen Rydberg-Zustand, bei dem die Bahndrehimpulsquantenzahl maximal ist, kann die räumliche Ausdehnung im Bohrschen Modell näherungsweise durch den Radius der entsprechenden Bohrschen Kreisbahn beschrieben werden:<ref>Friedhelm Kuypers: Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020, ISBN 978-3-527-41380-5, S. 12. </ref>

<math>

r_n=a_\text{B} n^2, </math>

wobei <math>a_\text{B}</math> der Bohrsche Radius und <math>n</math> die Hauptquantenzahl ist. Die daraus abgeleitete geometrische Querschnittsfläche ist

<math>

\sigma_{\text{geo}}=\pi r_n^2 =\pi a_\text{B}^2 n^4\propto n^4. </math>

Diese starke <math>n^4</math>-Abhängigkeit bewirkt die außerordentliche räumliche Ausdehnung hochangeregter Rydberg-Zustände. Für <math>n=50</math> beträgt der Bohr-Radius

<math>r_{50}=a_\text{B}\,50^2\approx 1{,}32\cdot10^{-7}\,\mathrm{m}=132\,\mathrm{nm}. </math>

Die entsprechende geometrische Querschnittsfläche beträgt damit<ref name="Demtroeder205" />

<math>\sigma_{\text{geo}}=\pi r_{50}^2\approx5{,}5\cdot10^{-14}\,\mathrm{m^2}. </math>

Zum Vergleich liegt der charakteristische Radius eines Rubidiumatoms im Grundzustand bei r_Rb ≈ 244 pm.<ref name="Christen67" /> Die Rubidiumquerschnittsfläche ist:

<math>\sigma_{\text{Rb}}\approx\pi r_{\text{Rb}}^2\approx1{,}9\cdot10^{-19}\,\mathrm{m^2}. </math>

Die auf diese Weise abgeschätzte geometrische Querschnittsfläche des <math>n=50</math>-Rydberg-Zustands ist somit etwa

<math>

\frac{\sigma_{\text{geo}}}{\sigma_{\text{Rb}}} \approx3\cdot10^5 </math>

mal größer als die entsprechende geometrische Querschnittsfläche eines Rubidiumatoms im Grundzustand.

Bindungsenergien

Je weiter das Elektron vom Proton entfernt ist, desto schwächer ist es gebunden bzw. desto kleiner ist die notwendige Ablöseenergie <math> E_n</math>:

<math> E_n = - \, \frac{E_R}{n^2} = - \, \frac{13{,}6 \ \mathrm{eV}}{n^2}</math>

mit der Rydberg-Energie <math> E_R.</math>

Daraus folgt, dass bei <math>n=100</math> bereits thermische Energien ausreichen, um das Elektron endgültig abzutrennen. (Die Boltzmann-Konstante beträgt 86 μeV/K. E₁₀₀ entspricht mit 1,36 meV demnach einer Temperatur von 16 K.) Aus diesem Grund kann man so hoch angeregte Atome nur im Hochvakuum herstellen und „aufbewahren“. Sie entstehen auf natürliche Weise in den obersten Schichten der Atmosphäre der Erde oder der von Sternen.

Datei:Sommerfeld ellipses.svg

Semiklassische Bahnen für die Hauptquantenzahl <math>n = 5</math> mit allen zulässigen Werten des Bahndrehimpulses. Der schwarze Punkt kennzeichnet die Position des Atomkerns.

Zusätzliche Terme im Ausdruck für die potentielle Energie eines Rydberg-Zustands, die über die Coulombsche Potentialenergie eines Wasserstoffatoms hinausgehen, erfordern die Einführung eines Quantendefekts <math>\delta_{n\ell}</math>, der klein gegen die Hauptquantenzahl <math>n</math> ist, in den Ausdruck für die Bindungsenergie.<ref name="Demtroeder205">Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 3 - Atome, Moleküle und Festkörper. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2016, ISBN 978-3-662-49093-8, S. 205. </ref>

<math>E_\text{B} = -\frac{\text{R}_y}{(n-\delta_{n\ell})^2}. </math>

Je stärker sich das Elektron im Bornschen Atommodell dem Kern nähert und je elliptischer die Elektronenbahn ist, d. h. je geringer die Bahndrehimpulsquantenzahl <math>\ell</math> ist, desto größer ist der Quantendefekt <math>\delta_{n\ell}</math>.<ref name="Haroche340">Serge Haroche: Licht - Eine Geschichte. 1. Auflage. Klett-Cotta, Stuttgart 2022, ISBN 978-3-608-11850-6, S. 340. </ref>

Im Vergleich dazu liegt die Frequenz des Übergangs <math>^2\text{S}_{1/2}\rightarrow^2\text{P}_{1/2}</math> aus dem Grundzustand von <math>^{87}\text{Rb}</math> bei <math>\text{377 THz}</math>.<ref name="Rb">NIST National Institute of Standards and Technology: Energy Levels of Neutral Rubidium ( Rb I ). Abgerufen am 12. August 2026. </ref> und nicht bei den <math>\text{51 GHz}</math> des Übergangs von <math>n=50\rightarrow n=51</math>.

Elektronengeschwindigkeit

Im Bohrschen Atommodell ist der Bahndrehimpuls <math>|\vec L|</math> des Elektrons quantisiert. Für eine Kreisbahn gilt:<ref>Anton Hammer, Hildegard Hammer, Karl Hammer: Taschenbuch der Physik. 9. Auflage. Lindauer, München 2004, ISBN 3-87488-094-X, S. 173. </ref>

<math>|\vec L|=m_{\text{e}}v_n r_n=n\hbar,\qquad n=1,2,3,\ldots </math>

Für das Wasserstoffatom ist der Radius der <math>n</math>-ten Bohrschen Bahn <math>r_n=a_\text{B}n^2</math>, wobei <math>a_\text{B} = \tfrac{4 \pi \varepsilon_0 \hbar^2}{m_ee^2}=\tfrac{\hbar}{m_e\alpha c}</math> der Bohrsche Radius ist und <math>\alpha=\tfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\,\hbar c}\approx\tfrac{1}{137}</math> die Feinstrukturkonstante ist.<ref>Hermann Haken, Hans Christoph Wolf: Atom- und Quantenphysik - Einführung in die experimentellen und theoretischen Grundlagen. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2000, ISBN 3-540-67453-5, S. 200. </ref> Damit folgt für die Bahngeschwindigkeit

<math>v_n=\frac{n\hbar}{m_{\text{e}}r_n}=\frac{n\hbar}{m_{\text{e}}a_\text{B}n^2}=\frac{\hbar}{m_{\text{e}}a_\text{B}}\frac{1}{n}=\frac{\alpha c}{n}. </math>

Die Geschwindigkeit des Elektrons nimmt im Bohrschen Modell somit umgekehrt proportional zur Hauptquantenzahl ab:

<math>v_n\propto n^{-1}. </math>

Für einen Rydberg-Zustand mit <math>n=50</math> ergibt sich

<math>v_{50}=\frac{\alpha c}{50}\approx4{,}38\cdot10^4\,\mathrm{m/s}=43{,}8\,\mathrm{km/s}. </math>

Dies entspricht lediglich

<math>\frac{v_{50}}{c}\approx1{,}46\cdot10^{-4}=0{,}0146\,% </math>

der Lichtgeschwindigkeit. Rydberg-Elektronen bewegen sich im Bohrschen Modell daher bei großen Hauptquantenzahlen mit vergleichsweise geringer Geschwindigkeit. Gleichzeitig nimmt der Bahnradius mit <math>n^2</math> stark zu.

Übergangsfrequenzen und Korrespondenzprinzip

Rydberg-Zustände bieten ein besonders anschauliches Beispiel für das von Niels Bohr formulierte Korrespondenzprinzip. Dieses beschreibt den Zusammenhang zwischen der klassischen Physik und der Quantenphysik: Für große Quantenzahlen sollen die Vorhersagen der Quantenphysik in die entsprechenden Ergebnisse der klassischen Physik übergehen.

Ein klassisches Beispiel ist die Beziehung zwischen der quantenmechanischen Übergangsfrequenz eines Elektrons und seiner klassischen Umlauffrequenz im Bohrschen Atommodell. Im Bohrschen Modell besitzt ein Elektron auf der Bahn mit der Hauptquantenzahl <math>n</math> die Energie

<math>

E_n=-\frac{R_\infty hc}{n^2} =-\frac{1}{2}m_{\text{e}}c^2\alpha^2\frac{1}{n^2}, </math>

wobei <math>R_\infty</math> die Rydberg-Konstante, <math>h</math> das Plancksche Wirkungsquantum, <math>m_{\text{e}}</math> die Elektronenmasse, <math>c</math> die Lichtgeschwindigkeit und <math>\alpha=\tfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}\approx\tfrac{1}{137} </math> die Feinstrukturkonstante ist. Für die Rydberg-Konstante gilt<ref>David J. Griffiths: Quantenmechanik - Lehr- und Übungsbuch. 2. Auflage. Pearson Studium, München 2012, ISBN 978-3-86894-114-2, S. 304. </ref>

<math>

R_\infty=\frac{\alpha^2m_{\text{e}}c}{2h}\approx 1{,}097\,373\cdot10^7\,\mathrm{m}^{-1}. </math>

Betrachtet man den Übergang des Elektrons von der Bahn <math>n</math> auf die nächsttiefere Bahn <math>n-1</math>, so wird ein Photon mit der Energie

<math>h\nu_{n\to n-1}=E_n-E_{n-1}=R_\infty hc\left[\frac{1}{(n-1)^2}-\frac{1}{n^2}\right]. </math>

emittiert. Damit folgt für die Übergangsfrequenz

<math>

\nu_{n\to n-1}=R_\infty c\left[\frac{1}{(n-1)^2}-\frac{1}{n^2}\right]. </math>

Mit <math>n=50</math> beträgt die Frequenz <math>\nu_{50\to 49}</math> etwa 54,3 GHz. Für große Quantenzahlen <math>n\gg1</math> kann die Differenz <math>\tfrac{1}{(n-1)^2}-\tfrac{1}{n^2}\approx\tfrac{2}{n^3}</math> durch Entwicklung nach Potenzen von <math>1/n</math> angenähert werden. Somit ergibt sich im Grenzfall großer Quantenzahlen

<math>\nu_{n\to n-1}\approx\frac{2R_\infty c}{n^3}. </math>

Nun lässt sich dieselbe Frequenz aus der klassischen Bewegung des Elektrons auf der <math>n</math>-ten Bohrschen Bahn bestimmen. Die Umlauffrequenz ist

<math>f_{\text{Umlauf}}=\frac{v_n}{2\pi r_n}. </math>

Für den Bahnradius und die Bahngeschwindigkeit gelten im Bohrschen Modell

<math>r_n=a_\text{B}n^2,\qquad v_n=\frac{\alpha c}{n}, </math>

wobei <math>a_\text{B}</math> der Bohrsche Radius ist. Zwischen dem Bohrschen Radius und der Rydberg-Konstanten besteht die Beziehung

<math>

R_\infty a_\text{B}=\frac{\alpha}{4\pi}\quad \text{bzw.}\quad \frac{\alpha}{a_\text{B}}=4\pi R_\infty. </math> Damit erhält man für die klassische Umlauffrequenz

<math>f_{\text{Umlauf}}=\frac{\alpha c/n}{2\pi a_\text{B}n^2}= \frac{\alpha c}{2\pi a_\text{B}n^3}=\frac{4\pi R_\infty c}{2\pi n^3}=\frac{2R_\infty c}{n^3}. </math>

Somit stimmen im Grenzfall großer Quantenzahlen die quantenmechanische Übergangsfrequenz und die klassische Umlauffrequenz überein:

<math>\nu_{n\to n-1}\underset{n\gg1}{\longrightarrow}f_{\text{Umlauf}}. </math>

Eine weitere interessante Konsequenz ergibt sich aus der Abhängigkeit des Bahnradius <math>r_n</math> und der Umlaufdauer <math>T_\text{Umlauf}=1/f_\text{Umlauf}</math> von der Hauptquantenzahl <math>n</math>. Da <math>r_n=a_\text{B}n^2 </math> und <math> f_{\text{Umlauf}}\propto\tfrac{1}{n^3}, </math> folgt für die Umlaufzeit <math>T_{\text{Umlauf}}</math>

<math>T_{\text{Umlauf}}\propto n^3\quad\text{bzw.}\quad T_{\text{Umlauf}}^2\propto n^6\propto r_n^3. </math>

Dies ist genau die Form des dritten Keplerschen Gesetzes. Im Bohrschen Atommodell zeigt sich somit eine bemerkenswerte formale Verbindung zwischen der Bewegung eines Elektrons im Coulomb-Potential und der klassischen Beschreibung von Planetenbahnen im Gravitationsfeld.

Verweildauer

Rydbergatome sind klassische Beispiele für eine Besetzungsinversion, weil die meisten oder sogar alle tieferen Zustände leer sind. Jedoch kann die Lebensdauer dieses Zustands groß sein, wenn es keine Zusammenstöße mit anderen Atomen gibt und der Bahndrehimpuls des Elektrons <math>l\mathord=n\mathord-1</math> maximal ist. Das Elektron kann seine Bahndrehimpulsquantenzahl durch Emission eines Photons nur um 1 verkleinern und muss daher auf die nächsttiefere Schale mit der Quantenzahl <math>n\mathord-1</math> springen. Der Energieunterschied <math>E_{n-1} - E_{n}</math> ist aber so gering, dass ein extrem langwelliges Photon erzeugt werden müsste, was stark behindert ist. Daher wurden die Spektrallinien von Rydbergatomen zuerst in stark verdünnten Sternatmosphären oder interstellaren Gasen entdeckt, wo die Atome während einer genügend langen Zeitdauer nicht mit einem anderen Atom zusammenstoßen. Kreisförmige Rydberg-Zustände zeichnen sich durch einen maximalen Drehimpuls <math>\ell = n-1</math> aus. In diesem Fall bewegt sich das Elektron auf einer nahezu kreisförmigen Bahn mit konstantem Abstand vom Kern. Die Beschleunigung ist dadurch wesentlich gleichmäßiger und betragsmäßig kleiner als im Perihel elliptischer Bahnen. Die hohe Stabilität von Rydberg-Zuständen mit hohen Bahndrehimpulsquantenzahlen <math>\ell\le n-1</math> beruht einerseits auf den Dipol-Auswahlregeln (<math>\Delta \ell = \pm 1</math>), die eine schrittweise Abregung entlang einer Kaskade von Zuständen <math>|n\rangle\rightarrow|n-1\rangle</math> mit sukzessiv abnehmendem Drehimpuls erzwingen. Dadurch sind direkte Übergänge eingeschränkt. Andererseits sind die Energiedifferenzen benachbarter Rydberg-Zustände klein

<math>\Delta E_{n\to n-1} \sim \frac{1}{n^3},</math>

was zu kleinen Übergangsfrequenzen führt. Nach der Larmor-Formel<ref>John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. 5. Auflage. de Gruyter, Berlin 1981, ISBN 3-11-008074-5, S. 768. </ref>

<math>P=\frac{e^2a^2}{6\pi \varepsilon_0 c^3}=\Delta E_{n\to n-1}\cdot\Gamma_n</math>

ist die in der Zeit <math>T_n</math> abgestrahlte Leistung <math>P=\Delta E_{n\to n-1}/T_n</math> des beschleunigten Elektrons proportional zum Quadrat der Beschleunigung <math>a_n</math> und ebenso das Produkt aus der Energiedifferenz der benachbarten Rydberg-Zustände <math>\Delta E_{n\to n-1}</math> und der Rate der spontanen Emissionsrate <math>\Gamma_n=1/T_n</math>.<ref name="HarocheExploring257">Serge Haroche and Jean-Michel Raimond: Exploring the Quantum - Atoms, Cavities, and Photons. 1. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2006, ISBN 0-19-850914-6, S. 257. </ref> Auf das Elektron in der <math>n</math>-ten Bohrschen Bahn wirkt die Coulomb-Kraft <math>F_\text{Coul}</math> und erzeugt die Beschleunigung

<math>F_\text{Coul}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\,r_n^2}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\,a_\text{B}^2n^4}=m\,a_n\quad\Rightarrow\quad a_n\propto\frac{1}{n^4}</math>

Dies führt zu einer drastischen Reduktion der spontanen Emissionsrate.

<math>\Gamma_n \sim \frac{a_n^2}{\Delta E_{n\to n-1}}\sim \frac{n^3}{n^8}=\frac{1}{n^5}</math>

Die Rate der spontanen Emission<ref name="HarocheExploring257" />

<math>\Gamma_n = \frac{8\pi}{3}\frac{R_\infty c}{\alpha^3}\cdot \frac{1}{n^5}=\frac{1}{T_n}=\frac{1}{T_0\,n^5}</math>

verringert sich, was die Lebensdauer von <math>T_0= 0{,}09\text{ ns}</math> auf Werte im Bereich von 30 Millisekunden erhöht für hochangeregte kreisförmiger Rydberg-Zustände mit <math>n=50</math>.<ref>Serge Haroche: Licht - Eine Geschichte. 1. Auflage. Klett-Cotta, Stuttgart 2022, ISBN 978-3-608-11850-6, S. 370. </ref> Diese Zeit ist vergleichbar mit der Verweildauer von Photonen in supraleitenden Hohlraumresonatoren hoher Güte.

Niedrige <math>\ell</math> -Zustände entsprechen klassisch stark elliptischen Bahnen. Das Elektron nähert sich dabei im Perihel dem Atomkern stark an, wodurch es eine große Beschleunigung erfährt. Nach dem dritten Keplerschen Gesetz strahlt das Elektron alle <math>T_n\propto r_n^{3/2}\propto n^3</math> stark ab, sodass die spontane Emission zu diesen Zeiten stark erhöht ist. Entsprechend kurz ist die Rate der spontanen Emission

<math>\Gamma \propto \frac{1}{n^3},</math>

die typischerweise im Mikrosekundenbereich liegen, und damit niedriger als für kreisförmige Rydberg-Zustände.

Einfluss elektrischer Felder

Wir betrachten ein Wasserstoffatom in einem homogenen elektrischen Feld <math>\vec E</math>, das in <math>z</math>-Richtung angelegt ist und einen Anteil <math>e\,\vec E\cdot \vec z=e\,|\vec E|r</math> zum Potential beiträgt.<ref name="Fricke Rydbergatome"></ref> Es ergibt sich das effektive Potential

<math>V(r)=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\,r}-e|\vec E|r,</math>

wobei der erste Term das Coulomb-Potential und der zweite Term das Potential des äußeren elektrischen Feldes beschreibt. Das Maximum des Potentials erhält man aus

<math>\frac{\text{d} V}{\text{d}r}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r^2}-e|\vec E|=0.</math>

Hieraus folgt die Lage des Sattelpunktes <math>r_\text{s}=\sqrt{\tfrac{e}{4\pi\varepsilon_0|\vec E|}}.</math> mit der maximalen Potentialhöhe<ref name="Fricke Rydbergatome" />

<math>V_{\text{max}}=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r_{\text{s}}}-e|\vec E|r_{\text{s}}=

-2\sqrt{\frac{e^3|\vec E|}{4\pi\varepsilon_0}}.</math>

Die klassische Feldionisation beginnt, sobald das Maximum des Potentials unter die Energie des gebundenen Rydberg-Zustandes sinkt. Für den Wasserstoff lautet dessen Energie

<math>E_n=-\frac{{\text{Ry}}}{n^2}=-\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0a_\text{B}\,n^2},</math>

wobei <math>\text{Ry}=13{,}6\,\text{ eV}</math> die Rydberg-Energie und <math>a_\text{B}</math> der Bohr-Radius ist.

Die kritische Feldstärke erhält man aus der Bedingung <math>V_\text{max}=E_n,</math> also<ref name="Fricke Rydbergatome" />

<math>2\sqrt{\frac{e^3|\vec E_\text{krit}|}{4\pi\varepsilon_0}}=\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0a_\text{B}n^2}\quad\Rightarrow\quad |\vec E_\text{krit}|=\frac{e}{64\pi\varepsilon_0a_\text{B}^2}\frac{1}{n^4}.</math>

Mit <math>\tfrac{e}{4\pi\varepsilon_0a_\text{B}^2}=5{,}14\cdot10^{11}\text{ V/m}</math> ergibt sich

<math>|\vec E_\text{krit}|=\frac{5{,}14\cdot10^{11}}{16\,n^4}\text{ V/m}=\frac{3{,}21\cdot10^{10}}{n^4}\text{ V/m}.</math>

Für ein typisches kreisförmiges Rydberg-Atom mit <math>n=50</math> erhält man<ref name="Demtroeder205" />

<math>|\vec E_\text{krit}|\simeq5{,}1\cdot10^{3}\text{ V/m}=51\text{ V/cm}.</math>

Die kritische Feldstärke nimmt somit mit der vierten Potenz der Hauptquantenzahl ab,

<math>|\vec E_\text{krit}|\propto n^{-4},</math>

sodass hochangeregte Rydberg-Atome bereits durch vergleichsweise schwache elektrische Felder ionisiert werden können. Dieses starke <math>n^{-4}</math>-Gesetz wird in Experimenten zur selektiven Feldionisation von Rydberg-Atomen ausgenutzt.<ref name="Haroche337">Serge Haroche: Licht - Eine Geschichte. 1. Auflage. Klett-Cotta, Stuttgart 2022, ISBN 978-3-608-11850-6, S. 337. </ref>

Beispiel

Im Wasserstoffatom ist die 1s-Schale die Valenzschale. Für das H₂-Molekül lassen sich aus den 1s-Atomorbitalen der beiden Atome die Molekülorbitale <math>\sigma</math> und <math>\sigma *</math> konstruieren. Jedoch lassen sich auch aus den im Atom unbesetzten 2s-, 2p-, 3s-, ...-Atomorbitalen derartige Molekülorbitale aufbauen, die dann als Rydberg-Zustände bezeichnet werden.

Als zirkuläre Rydberg-Atome (circular Rydberg Atom) werden Rydberg-Atome (Hauptquantenzahl <math>n \geq 10</math>) mit maximalem Wert des Bahndrehimpulses <math>l</math> und maximalem Wert <math>m</math> von dessen Projektion auf eine Quantisierungsachse (magnetische Quantenzahl) genannt. Die Atome sind quasiklassisch, die Wellenfunktion hat die Form eines dünnen Torus auf der klassischen Kreisbahn der Bohrschen Atomtheorie mit Radius <math>a_\text{B} n^2</math> (mit dem Bohrradius <math>a_\text{B}</math>).<ref>M. Gross, J. Hare, P. Goy, Serge Haroche: The Physics of Circular Atoms and the Measurement of the Rydberg Constant, in: Frequency Standards and Metrology, Proceedings of the Fourth Symposium, Ancona, Italy, September 5 – 9, 1988, Springer 1989, S. 356–361, doi:10.1007/978-3-642-74501-0_61</ref>

Kreisförmige Rydberg-Atome

Als kreisförmige Rydberg-Atome (Circular Rydberg Atoms) werden Rydberg-Atome (Hauptquantenzahl <math>n \geq 10</math>) mit maximalem Bahndrehimpuls <math>\ell = n-1</math> und maximaler Projektion <math>|m| = \ell</math> auf eine Quantisierungsachse (magnetische Quantenzahl) bezeichnet. Die Atome sind quasiklassisch und ihre Wellenfunktion hat die Form eines dünnen Torus auf der klassischen Kreisbahn der Bohrschen Atomtheorie mit Radius <math>a_\text{B} n^2</math> (mit dem Bohrradius <math>a_\text{B}</math>).<ref>M. Gross, J. Hare, P. Goy, Serge Haroche: The Physics of Circular Atoms and the Measurement of the Rydberg Constant, in: Frequency Standards and Metrology, Proceedings of the Fourth Symposium, Ancona, Italy, September 5 – 9, 1988, Springer 1989, S. 356–361, doi:10.1007/978-3-642-74501-0_61</ref>

In Serge Haroches Experimenten bilden die kreisförmigen Rydberg-Zustände effektiv ein Zweiniveausystem, wobei der Übergang <math>n=50\;\leftrightarrow \;n=51</math> im Mikrowellenbereich liegt und eine Frequenz von 51 Gigahertz besitzt.<ref name="Haroche340" /> Für die konkret in der Cavity-QED verwendeten Zustände mit <math>n=50</math> und <math>n=51</math> ergeben sich somit die Quantenzahlen

<math>(n,\ell,m) = (50,49,49), \qquad (51,50,50).</math>

In den Cavity-QED-Experimenten wird der Übergang mit einer elektromagnetischen Resonatormode gekoppelt. Aufgrund ihrer langen Lebensdauer, ihrer großen Dipolmatrixelemente und der gut kontrollierbaren Mikrowellenübergänge sind die kreisförmigen Rydberg-Zustände ein wichtiges experimentelles Werkzeug zur Untersuchung der Wechselwirkung zwischen Atomen und einzelnen elektromagnetischen Feldmoden.<ref>Serge Haroche and Jean-Michel Raimond: Exploring the Quantum - Atoms, Cavities, and Photons. 1. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2006, ISBN 0-19-850914-6, S. 251. </ref>

Die kreisförmigen Rydberg-Zustände lauten<ref>Serge Haroche and Jean-Michel Raimond: Exploring the Quantum - Atoms, Cavities, and Photons. 1. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2006, ISBN 0-19-850914-6, S. 253. </ref>

<math>\psi_{n,n-1,n-1}(r,\theta,\phi)=\frac{1}{\sqrt{\pi a_\text{B}^3}}\frac{1}{n^n n!}\,\text{e}^{-r/(na_\text{B})}

\left(-\frac{r}{a_\text{B}}\sin\theta\,\text{e}^{i\phi}\right)^{n-1}.</math>

Die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte <math>p_{n,n-1}</math> ist proportional zu<ref>Friedhelm Kuypers: Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020, ISBN 978-3-527-41380-5, S. 280. </ref>

<math>p_{n,n-1}\propto r^2|\psi_{n,n-1,n-1}|^2\propto r^{2n}\,\text{e}^{-2r/(na_\text{B})}</math>

und besitzt ihr Maximum bei<ref>Friedhelm Kuypers: Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020, ISBN 978-3-527-41380-5, S. 283. </ref>

<math>r=n^2a_\text{B},\qquad\theta=\tfrac{\pi}{2},</math>

Damit ist sie auf einen schmalen Ring in der Äquatorebene konzentriert. Für große Hauptquantenzahlen <math>n\gg1</math> konzentriert sich die Elektronenwahrscheinlichkeit immer stärker auf die klassische Kreisbahn des Bohrschen Atommodells. Aus diesem Grund werden kreisförmige Rydberg-Zustände als die klassischsten Zustände des Wasserstoffatoms angesehen.

Rydberg-Atom-Maser

Ein besonders anschauliches Beispiel für die Wechselwirkung von Rydberg-Atomen mit einem quantisierten elektromagnetischen Feld ist der Rydberg-Atom-Maser. Dabei durchqueren hochangeregte Atome einen Mikrowellenresonator und wechselwirken mit einer einzelnen Resonatormode.

In einem frühen Experiment von Serge Haroche und Mitarbeitern wurden Natriumatome in hochangeregte Rydberg-Zustände präpariert. Dabei wurde insbesondere der Übergang zwischen den benachbarten Zuständen<ref name="Haroche340" />

<math>

n=23\longrightarrow n=22 </math>

genutzt. Die Übergangsfrequenz liegt bei etwa

<math>

\nu\approx340\,\mathrm{GHz}. </math>

Die zugehörige Wellenlänge beträgt

<math>

\lambda=\frac{c}{\nu} \approx0{,}88\,\mathrm{mm}. </math>

Der Mikrowellenübergang kann mit einer Resonatormode gekoppelt werden, deren Frequenz auf den atomaren Übergang abgestimmt ist. Bei einem Resonator mit zwei parallelen, reflektierenden Spiegeln kann sich entlang der Resonatorachse eine stehende elektromagnetische Welle ausbilden. Für einen Resonator der Länge <math>L</math> gilt im einfachsten Fall die Resonanzbedingung

<math>

L=j\frac{\lambda}{2}, \qquad j=1,2,3,\ldots, </math>

wobei <math>j</math> die Zahl der halben Wellenlängen zwischen den Spiegeln bezeichnet. Wenn ein Rydberg-Atom den Resonator durchquert, finden bevorzugt Übergänge zwischen den Rydberg-Zuständen statt, wenn die Resonatorfrequenz und die atomare Übergangsfrequenz übereinstimmen. Überraschenderweise finden diese Übergänge bereits ohne Mikrowellenfeld im Resonator statt.<ref name="Haroche340" /> Befindet sich das Atom im angeregten Zustand, kann es durch stimulierte Emission ein Photon derselben Moden erzeugen. Auf diese Weise entsteht ein Maser, also ein Mikrowellenäquivalent zum Laser.

Mikromaser und Cavity QED

Neben Serge Haroche haben insbesondere Herbert Walther und Dieter Meschede die Wechselwirkung einzelner Rydberg-Atome mit einem einzelnen elektromagnetischen Feldmodus experimentell untersucht. Dabei entstand das Konzept des Mikromasers, bei dem einzelne, hochangeregte Rydberg-Atome nacheinander einen nahezu verlustfreien Mikrowellenresonator durchqueren. Die hohe Güte des Resonators ermöglicht es, die Wechselwirkung zwischen den Atomen und dem quantisierten Resonatorfeld über längere Zeiträume zu beobachten.

In einem Experiment von Herbert Walther, Dieter Meschede und ihren Mitarbeitern wurden ⁸⁵Rubidium-Atome in hochangeregte 63p-Rydberg-Zustände versetzt. Dabei wurde der Übergang zwischen den benachbarten Zuständen 63p_3/2 und 61d_3/2 genutzt. Die Übergangsfrequenz liegt bei etwa 21,5 GHz.<ref>Wolfgang P. Schleich: Quantum Optics in Phase Space. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2001, ISBN 3-527-29435-X, S. 18. </ref>

Ein verdünnter Strahl dieser hochangeregten Rydberg-Atome durchquert einen Mikrowellenresonator hoher Güte. Befindet sich die Resonatormode im Resonanzverhältnis zu einem atomaren Übergang, kann ein angeregtes Atom seine Energie durch stimulierte Emission an das Resonatorfeld abgeben. Die nachfolgenden Atome wechselwirken mit dem dadurch verstärkten Feld und können ebenfalls zur Feldverstärkung beitragen. Aufgrund der langen Lebensdauer des Resonatorfeldes kann sich so auch bei einer mittleren Atomzahl kleiner als eins ein kohärentes Mikrowellenfeld aufbauen. Der Ein-Atom-Maser kann somit selbst dann arbeiten, wenn sich im Resonator im Mittel weniger als ein Atom befindet.

Weblinks

• Michael Komma: Kreisförmige Rydbergatome - Grafische Modellierung, Stand: 2013
• Ernst Leitner und Ulrich Finckh: Klassische Atommodelle: Rydbergatome (LEIFI).
• F. Camargo et al.: Riesenatom nimmt neutrale Nachbaratome in seine Hülle auf und bindet sie. Originalartikel: Creation of Rydberg Polarons in a Bose Gas. In: Physical Review Letters 120, 083401 – 22. Februar 2018. doi:10.1103/PhysRevLett.120.083401.
• Nikola Šibalić und Charles S Adams: Rydberg Physics, IOP Publishing (2018). doi:10.1088/978-0-7503-1635-4

Literatur

• Thomas Francis Gallagher: Rydberg Atoms, Cambridge UP 2005
• H. Dittmar-Ilgen: Erzeugung und Manipulation klassischer Elektron-Orbitale; Naturwissenschaftliche Rundschau 4/2006, S. 206 (H. Maeda; Science 307, 1757 (2005))

Einzelnachweise

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