Strahl (Geometrie)
Ein Strahl bzw. eine Halbgerade ist in der Geometrie eine gerade Linie, die auf einer Seite durch einen Anfangspunkt begrenzt ist und sich auf der anderen Seite ins Unendliche erstreckt.<ref>Adolf Heß: Planimetrie mit Einem Abriß über die Kegelschnitte. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 1920, ISBN 978-3-662-42107-9, S. 1.</ref> Man kann sich den Strahl durch die Bewegung eines Punktes vorstellen, die im Anfangspunkt beginnt und ohne Richtungsänderung auf einer Geraden erfolgt, ähnlich wie ein Lichtstrahl.<ref>I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, 2001, ISBN 3-8171-2005-2, S. 132.</ref>
Der Strahl unterscheidet sich von der Strecke dadurch, dass er nur auf einer Seite begrenzt ist, wohingegen die Strecke beidseitig begrenzt ist. Die Gerade unterscheidet sich vom Strahl dadurch, dass sie beidseitig unbegrenzt ist.
Bezeichnungen und Eigenschaften[Bearbeiten]
Ein Strahl ist eindeutig bestimmt durch seinen Anfangspunkt <math>A</math> und einen weiteren Punkt <math>B</math> auf dem Strahl, der seine Richtung spezifiziert; man spricht auch vom Strahl mit dem Ursprung <math>A</math> in Richtung <math>B</math>.<ref name=":0">Helmut Koch: Einführung in die Mathematik. Springer, Berlin / Heidelberg 2002, ISBN 3-540-43022-9, S. 157.</ref> Er wird häufig mit <math>[AB</math> oder <math>\overrightarrow{AB} </math> bezeichnet, wobei die erste Schreibweise zum Ausdruck bringt, dass der Strahl durch den Punkt <math>A</math> begrenzt wird, sich aber über den Punkt <math>B</math> hinaus erstreckt. Gehört der Anfangspunkt zum Strahl, so spricht man von einer abgeschlossenen Halbgeraden, ansonsten von einer offenen Halbgeraden.<ref name=":1">Ralf Benölken, Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp: Leitfaden Geometrie. 7. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2018, ISBN 978-3-658-23377-8, S. 90.</ref>
Jeder Punkt <math>A</math> auf einer Geraden <math>g</math> zerlegt die Gerade in zwei komplementäre Strahlen <math>h_1</math> und <math>h_2</math> mit gemeinsamem Anfangspunkt <math>A</math>.<ref name=":1" /><ref>Basiswissen Schule Mathematik: 5. bis 10. Klasse. 4. Auflage. Duden Schulbuchverlag, Berlin / Mannheim / Zürich 2010, ISBN 978-3-411-71504-6, S. 208.</ref> Somit lässt sich ein Strahl als Teil einer Geraden auffassen,<ref>Halbgerade. In: Lexikon der Mathematik. Springer Spektrum, 2017, ISBN 978-3-662-53503-5, S. 356.</ref> was die alternative Bezeichnung Halbgerade rechtfertigt.
Für eine logisch strenge Definition eines Strahls im Rahmen eines Axiomensystems gibt es zwei Möglichkeiten: Ist die Gerade mit einem Durchlaufsinn (Orientierung) versehen, so lässt sich die eine Halbgerade definieren als die Menge aller Punkte, die vor <math>A</math> liegen und die andere Halbgerade als die Menge aller Punkte, die hinter <math>A</math> liegen.<ref>Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: Elemente der Geometrie. 4. Auflage. Spektrum, Heidelberg 2007, ISBN 978-3-8274-1697-1, S. 3.</ref> Mit Hilfe der Zwischen-Relation („… liegt zwischen … und …“) hingegen lässt sich die Halbgerade <math>[AB</math> definieren als die Menge aller Punkte <math>X</math> auf der Geraden <math>AB</math>, für die <math>A</math> nicht zwischen <math>B</math> und <math>X</math> liegt.<ref name=":0" />
Analytische Darstellung[Bearbeiten]
In der analytischen Geometrie entspricht die Halbgerade <math>[AB</math> der Menge aller Punkte <math>X</math>, deren Ortsvektor <math>\vec{X}</math> gegeben ist durch
- <math>\vec{x} = \vec{a} + \lambda (\vec{b} - \vec{a})</math> mit <math>\lambda \ge 0</math>.
Dabei sind <math>\vec{a}</math> und <math>\vec{b}</math> die Ortsvektoren der Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. <math>\lambda</math> ist der (reelle) Parameter dieser Parametergleichung. Zur Definition einer offenen Halbgeraden schränkt man den Parameter auf echt positive Werte ein.
Einzelnachweise[Bearbeiten]
<references />