Torische Varietät

Eine torische Varietät ist eine spezielle algebraische Varietät und damit ein Objekt aus der algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik. Das Studium torischer Varietäten wird auch als torische Geometrie bezeichnet. Torische Varietäten haben die Besonderheit, dass eine enge Verbundenheit zur konvexen Geometrie besteht.

Definitionen[Bearbeiten]

Algebraischer Torus[Bearbeiten]

Ein algebraischer Torus <math>T</math> über <math>\Complex</math> ist eine algebraische Gruppe, die isomorph zu einer algebraischen Gruppe der Form <math>\Complex^\ast\times\dotsb\times\Complex^\ast</math> ist.<ref>Oda: Lectures on Torus Embeddings and Applications. 1978, 1.1 Algebraic tori.</ref>

Die Charaktere von <math>T</math> sind Morphismen <math>\chi \colon T \rightarrow \mathbb{C}^*</math>, die gleichzeitig Gruppenhomomorphismen sind. Die Charaktere bilden eine freie abelsche Gruppe <math>M</math>. Analog dazu sind die 1-Parameter Untergruppen von <math>T</math> definiert als die Morphismen <math>\lambda \colon \Complex^* \rightarrow T</math>, die Gruppenhomorphismen sind. Diese bilden ebenfalls eine freie abelsche Gruppe <math>N</math> und es gibt eine natürliche bilineare Abbildung <math>\langle~,~\rangle \colon M \times N \rightarrow \mathbb{Z} </math> mit welcher man <math>N</math> mit <math>\text{Hom}_\mathbb{Z}(M,\mathbb{Z})</math> und <math>M</math> mit <math>\text{Hom}_\mathbb{Z}(N,\mathbb{Z})</math> identifizieren kann. Man erhält einen kanonischen Isomorphismus <math>N \otimes_\mathbb{Z} \Complex^* \cong T </math> via <math>u \otimes t \mapsto \lambda^u(t) </math>.

Im Falle <math>T=(\Complex^*)^n</math> lässt sich zeigen, dass alle Charaktere von der Form

<math>\chi^m \colon (\Complex^*)^n \rightarrow \Complex^*, (t_1,\dots, t_n)\mapsto t_1^{a_1}\cdots t_n^{a_n}

\text{ mit } m=(a_1,\dots a_n)\in \mathbb{Z}^n</math>

und alle 1-Parameter Untergruppen von der Form

<math>\lambda^u \colon \Complex^* \rightarrow (\Complex^*)^n, t \mapsto (t^{b_1},\dots, t^{b_n})

\text{ mit } u=(b_1,\dots b_n)\in \mathbb{Z}^n</math>

sind. In diesem Fall gilt <math>M \cong \mathbb{Z}^n</math> und <math>N \cong \mathbb{Z}^n</math> und die bilineare Abbildung ist das Skalarprodukt.<ref>David Cox, John Little, Hal Schenck: Toric Varieties. 2010, S. 10 f. </ref>

Torische Varietäten als torische Einbettungen[Bearbeiten]

Eine torische Varietät ist eine irreduzible algebraische Varietät <math>X</math>, die einen algebraischen Torus <math>T</math> als eine Zariski-offene Teilmenge enthält, sodass die Gruppenverknüpfung des Torus sich zu einer algebraischen Gruppenoperation <math>T\times X\to X</math> des Torus auf der ganzen Varietät fortsetzen lässt. Hierbei meint algebraisch, dass die Gruppenoperation durch einen Morphismus algebraischer Varietäten gegeben ist.<ref>Cox: Toric varieties. 2011, Theorem 3.1.1.</ref>

Bei manchen Autoren wird zusätzlich verlangt, dass eine torische Varietät normal ist.<ref>Fulton: Introduction to Toric Varieties. 1993, Definition in 1.1.</ref> Dabei heißt eine algebraische Varietät normal, falls in jedem Punkt der Varietät der lokale Ring ein normaler Ring ist.

Konstruktionen affiner torischer Varietäten[Bearbeiten]

Aus obiger abstrakten Definition ist nicht ersichtlich wie die Verbindung zur konvexen Geometrie entstehen. Im folgenden Abschnitt sind drei äquivalente Konstruktionen affiner torischer Varietäten aufgeführt. Das heißt, man erhält jede affine torische Varietät durch jede der folgenden Konstruktionen.

1. Konstruktion[Bearbeiten]

Es sei <math>T</math> ein Torus mit Charaktergitter <math>M</math>. Man betrachte eine endliche Teilmenge <math>\mathfrak{A}=\{m_1,\dots,m_s\}\subseteq M</math> mit den zugehörigen Charakteren <math>\chi^{m_i} \colon T \rightarrow \Complex^*</math>. Definiere die Abbildung

<math>\Phi_{\mathfrak{A}}:T \rightarrow \Complex^s, \quad \Phi_{\mathfrak{A}}(t)=

(\chi^{m_1}(t),\dots,\chi^{m_s}(t))</math>

und <math>Y_{\mathfrak{A}} </math> als den Zariski-Abschluss von <math>\text{Im}(\Phi_{\mathfrak{A}})</math>. Dann ist <math>Y_{\mathfrak{A}} </math> eine affine torische Varietät, deren Torus das von <math>\mathfrak{A}</math> erzeugte Untergitter <math>\mathbb{Z} \mathfrak{A}</math> als Charaktergitter besitzt. Die Dimension von <math>Y_{\mathfrak{A}} </math> ist gleich dem Rang des Gitters <math>\mathbb{Z} \mathfrak{A}</math>.<ref>David Cox, John Little, Hal Schenck: Toric Varieties. 2010, S. 20. </ref>

2. Konstruktion[Bearbeiten]

Polyedrische Gitterkegel[Bearbeiten]

Sei <math>N</math> ein Gitter, das heißt eine freie abelsche Gruppe von endlichem Rang. Ein konvexer rationaler polyedrischer <math>N</math>-Kegel ist ein konvexer Kegel im Vektorraum <math>N_\R=N \otimes_\Z \R </math>, der von endlich vielen Vektoren aus <math>N</math> erzeugt wird. Im Folgenden sprechen wir kurz von einem <math>N</math>-Kegel.

Jedem <math>N</math>-Kegel <math>\sigma</math> kann ein dualer Kegel <math>\sigma^\vee</math> zugeordnet werden. Dazu betrachtet man zum dualen Gitter <math>M=Hom(N,\Z)</math> den dualen Vektorraum <math>M_\R= M\otimes_\Z \R</math> und definiert <math>\sigma^\vee = \{u \in M | \langle u,v \rangle \geq 0 ~\forall v\in \sigma \}</math>.

Torische Varietäten aus Gitterkegeln[Bearbeiten]

Einem <math>N</math>-Kegel <math>\sigma</math> wird zunächst sein dualer Kegel <math>\sigma^\vee</math> zugeordnet. Zu diesem betrachtet man die kommutative Halbgruppe <math>S_\sigma=\sigma^\vee\cap M</math>. Es stellt sich heraus (Lemma von Gordan<ref>Cox: Toric varieties. 2011, Proposition 1.2.17.</ref>), dass diese Halbgruppe endlich erzeugt ist und die Monoidalgebra <math>\Complex[S_\sigma]</math> daher eine endlich erzeugte kommutative <math>\Complex</math>-Algebra ist. Das Maximalspektrum <math>U_\sigma :=\text{Specm}(\Complex[S_\sigma])</math> dieser Algebra hat dann die Struktur einer affinen torischen Varietät.

Der Torus von <math>U_\sigma</math> ist <math>T_N:=N \otimes_\mathbb{Z} \Complex^*</math>genau dann, wenn <math>\sigma</math> ein spitzer Kegel ist.<ref>David Cox, John Little, Hal Schenck: Toric Varieties. 2010, S. 30. </ref> Des Weiteren lässt sich zeigen, dass <math>U_\sigma</math> dann sogar normal ist.<ref>David Cox, John Little, Hal Schenck: Toric Varieties. 2010, S. 37. </ref>

3. Konstruktion[Bearbeiten]

Sei <math>L \subseteq \mathbb{Z}^s</math>ein Untergitter.

Ein Ideal der Form <math>I_L=\langle x^\alpha-x^\beta :\alpha,\beta\in\mathbb{N}^s \text{ und } \alpha-\beta \in L \rangle</math> heißt Gitterideal.
Gitterideale, die Primideale sind, heißen torische Ideale.

Sei <math>I</math> ein torisches Ideal. Dann ist <math>V(I)</math> eine affine torische Varietät.

Für eine torische Varietät <math>Y_\mathfrak{A}</math>, die wie in der 1. Konstruktion gegeben ist. Dann gibt es eine induzierte Abbildung <math>\hat{\Phi}_\mathfrak{A}:\Z^s \rightarrow M, \quad e_i\mapsto m_i</math>. Der Kern dieser Abbildung <math>L:=\text{ker}(\hat{\Phi}_\mathfrak{A})</math> ist ein Untergitter von <math>\Z^s</math> und es gilt: <math>I_L=I(Y_\mathfrak{A})</math>.<ref>David Cox, John Little, Hal Schenck: Toric Varieties. 2010, S. 14 ff. </ref>

Beispiele[Bearbeiten]

Neilsche Parabel als affine torische Varietät[Bearbeiten]

Die Neilsche Parabel <math>C=V(x^3-y^2)\subseteq\Complex^2 </math> ist eine affine torische Varietät. Denn sie enthält den Torus <math>\Complex^*</math> als offene Teilmenge:

<math>C \setminus \{0\}=C\cap(\Complex^*)^2=\{(t^2,t^3):t\in\Complex^*\}\cong \Complex^*</math>.<ref>David Cox, John Little, Hal Schenck: Toric Varieties. 2010, S. 12.</ref>

Für <math>\mathfrak{A}=\{2,3\}\subset \mathbb{Z}</math> und

<math>\Phi_\mathfrak{A}\colon \Complex^*\rightarrow \Complex^2,\quad t\mapsto (t^2,t^3) </math>

erhält man: <math>C=Y_\mathfrak{A}=\overline {\text{Im}(\Phi_\mathfrak{A})} </math>.

Betrachtet man die von <math>\mathfrak{A} </math> erzeugte affine Halbgruppe <math>S=\mathbb{N}\mathfrak{A}=\{0,2,3,\dots\} </math>, dann gilt <math>\text{Specm}(\Complex[S])=C </math>. Da <math>C </math> allerdings nicht normal ist, kann <math>S </math> nicht von der Form <math>S=\sigma^\vee\cap\mathbb{Z} </math> sein, wobei <math>\sigma </math> ein spitzer Kegel ist.<ref>David Cox, John Little, Hal Schenck: Toric Varieties. 2010, S. 18. </ref>

Das Verschwindungsideal <math>(x^3-y^2)\in \Complex[x,y]</math> ist ein torisches Ideal zu dem von <math>(3,0),(0,2)\in \mathbb{Z}^2 </math> erzeugten Gitter.<ref>David Cox, John Little, Hal Schenck: Toric Varieties. 2010, S. 16. </ref>

Torische Varietät zu einem Kegel[Bearbeiten]

Es sei der Kegel <math>\sigma=\text{cone}(e_1,e_2,e_1+e_2+2e_3)\subseteq\R^3</math> gegeben. Dann ist der duale Kegel gegeben durch <math>\sigma^\vee=\text{cone}(e_3,2e_1-e_3,2e_2-e_3)</math>. Nun bestimmt man die Erzeuger der affinen Halbgruppe

<math>S=\sigma^\vee\cap\Z^3</math>. Also eine Menge <math>\mathfrak{A}</math>, sodass <math>\N\mathfrak{A}=\sigma^\vee\cap \Z^3</math> gilt.

Man erhält

<math>\mathfrak{A}= \left\{ \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0\\ \end{array}\right)

\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0\\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1\\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -1\\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -1\\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ -1\\ \end{array}\right) \right\}</math>.

Damit ist die torische Varietät <math>V</math> zum Kegel <math>\sigma</math> gegeben als <math>V=\text{Specm}(\C[S])=\overline{\text{Im}(\Phi_\mathfrak{A})}</math>, wobei

<math>\Phi_\mathfrak{A}:(\C^*)^3 \rightarrow \C^6, \quad (t_1,t_2,t_3)\mapsto (t_1,t_2,t_3,t_1t_2t_3^{-1},t_1^2 t_3^{-1},t_2^2 t_3^{-1})</math>.

Es lässt berechnen, dass das Verschwindungsideal von folgender Form ist: <math>I(V)=\langle x_3x_4-x_1x_2,x_3x_5-x_1^2,x_3x_6-x_2^2 \rangle \subset \C[x_1,\dots,x_6]</math>.<ref>David Cox, John Little, Hal Schenck: Toric Varieties. 2010, S. 34. </ref>

Konstruktion projektiver torischer Varietäten[Bearbeiten]

Es sei <math>\pi \colon \Complex^{s-1}\setminus\{0\}\rightarrow \mathbb{P}^{s-1}_\Complex </math> die Quotientenabbildung. Wie im affinen Fall betrachtet man eine Torus <math>T </math> mit Charaktergitter <math>M </math> und eine endliche Teilmenge <math>\mathfrak{A}=\{m_1,\dots,m_s\}\subseteq M</math>. Die Abbildung <math>\Phi_\mathfrak{A} </math> kann auch als Abbildung nach <math>(\C^*)^s </math> aufgefasst werden:

<math>\Phi_\mathfrak{A}:T \rightarrow (\C^*)^s, \quad t \mapsto (\chi^{m_1}(t),\dots ,\chi^{m_s}(t)) </math>.

Dann ist Zariski-Abschluss des Bildes der Abbildung <math>\pi \circ \Phi_\mathfrak{A} </math> eine projektive torische Varietät <math>X_\mathfrak{A}:=\overline{\text{Im}(\pi\circ\Phi_\mathfrak{A})}\subseteq \mathbb{P}^{s-1}_\Complex </math>.<ref>David Cox, John Little, Hal Schenck: Toric Varieties. 2010, S. 55. </ref>

Verschwindungsideal projektiver torischer Varietäten[Bearbeiten]

Sei <math>X_\mathfrak{A} </math> wie oben gegeben und <math>\hat{\Phi}_\mathfrak{A}:\Z^s \rightarrow M, \quad e_i\mapsto m_i</math> die induzierte Abbildung zwischen den Gitter, <math>L:=\text{ker}(\hat{\Phi}_\mathfrak{A})</math> der Kern dieser Abbildung. <math>I_L </math> ist genau dann das Verschwindungsideal von <math>X_\mathfrak{A} </math>, falls <math>I_L </math> homogen ist.<ref>David Cox, John Little, Hal Schenck: Toric Varieties. 2010, S. 56. </ref>

Torische Varietäten aus Gitterpolytopen[Bearbeiten]

Sei <math>M </math> ein Gitter. Ein Polytop <math>P </math> heißt Gitterpolytop, falls es die konvexe Hülle einer Teilmenge <math>S\subseteq M </math> ist, also

<math>P=\text{conv}(S)= \left\{\sum_{u\in S}\lambda_u u: \lambda_u\geq0, \sum_{u\in S}\lambda_u=1 \right\} </math>.

Ein Gitterpolytop heißt sehr ampel, wenn für alle Ecken <math>m\in P</math> die Halbgruppe <math>S=\N(P\cap M- m)=\N\{m'-m:m'\in P\cap M\} </math> gesättigt ist, d. h., aus <math>ks\in S</math> folgt schon <math>s\in S</math> für jedes <math>0\neq k\in \N</math>.

Für ein sehr amples Gitterpolytop <math>P\subseteq M </math> mit <math>\text{dim}(P)=\text{rang}(M) </math> wählt man <math>\mathfrak{A}:=P\cap M </math> und erhält eine torische Varietät <math>X_{\mathfrak{A}} </math>.<ref>David Cox, John Little, Hal Schenck: Toric Varieties. 2010, S. 74. </ref> Für ein allgemeines Gitterpolytop <math>P' </math> von maximaler Dimension lässt sich zeigen, dass ein <math>k\in \N </math> existiert, sodass <math>k P' </math> sehr ampel ist. Die torische Varietät zu <math>P' </math> ist dann definiert als <math>X_{(kP')\cap M} </math>.<ref name=":0">David Cox, John Little, Hal Schenck: Toric Varieties. 2010, S. 82. </ref>

Eigenschaften projektiver torischer Varietäten[Bearbeiten]

Sei <math>P=\text{conv}(m_1,\dots,m_s)\subseteq M\otimes_\Z\R</math> ein Gitterpolytop von maximaler Dimension und <math>X_{P\cap M}\subseteq \mathbb{P}^{s-1} _\Complex</math> die zugehörige Varietät. Bezeichne mit <math>\Complex^{s-1}\cong U_i=\mathbb{P}^{s-1}_\Complex \setminus V(x_i)</math> die affinen Karten von <math>\mathbb{P}^{s-1}_\C</math>.

Es gilt: <math>X_{P\cap M}\cap U_i = U_{\sigma_i}=\text{Specm}(\Complex[\sigma_i^\vee \cap M]) </math>, wobei <math>\sigma_i=\text{cone}(P\cap M -m_i)^\vee \subseteq N \otimes \R</math>.<ref>David Cox, John Little, Hal Schenck: Toric Varieties. 2010, S. 75. </ref> Man erhält also für jede Ecke des Polytops einen affinen Teil der projektiven Varietät. Betrachtet man den sogenannten normal fan zum Polytop <math>P</math> enthält dieser bereits alle Informationen über die Struktur von <math>X_{P\cap M}</math>, ohne dass eine Einbettung in <math>\mathbb{P}^{s-1}_\Complex</math> nötig wäre. Dies führt zum Begriff der abstrakten Varietät.<ref name=":0" />
Die Varietät <math>X_{P\cap M}</math> ist genau dann glatt, wenn <math>P</math> ein glattes Polytop ist. Dabei heißt ein Polytop <math>P</math> glatt, wenn die Erzeuger der Strahlen <math>\text{cone}(E-v)</math> eine Teilmenge einer Basis von <math>M</math> bilden, wobei <math>E</math> eine Seite von <math>P </math> ist, die <math>v</math> enthält.<ref>David Cox, John Little, Hal Schenck: Toric Varieties. 2010, S. 86. </ref>

Siehe auch[Bearbeiten]

Tropische Geometrie

Literatur[Bearbeiten]

Monographien und Lehrbücher[Bearbeiten]

David A. Cox, John B. Little, Henry K. Schenck: Toric varieties. American Mathematical Society, Providence 2011, ISBN 978-0-8218-4819-7.
Günter Ewald: Combinatorial convexity and algebraic geometry. Springer, New York 1996, ISBN 0-387-94755-8.
William Fulton: Introduction to toric varieties. Princeton University Press, Princeton, NJ. 1993, ISBN 0-691-03332-3.
Tadao Oda: Convex bodies and algebraic geometry : an introduction to the theory of toric varieties. Springer, Berlin, 1988, ISBN 3-540-17600-4, SUB Göttingen.
Tadao Oda: Lectures on Torus Embeddings and Applications. Springer, Berlin 1978, ISBN 3-540-08852-0.
George R. Kempf, Finn Faye Knudsen, David B. Mumford, B. Saint-Donat: Toroidal Embeddings I. Springer, Berlin 1973, ISBN 978-3-540-06432-9.

Originalpublikationen[Bearbeiten]

Jean-Luc Brylinski: Eventails et variétés toriques. In: Séminaire sur les singularités des surfaces Springer, Berlin 1980, ISBN 3-540-09746-5.
V.I. Danilov: The geometry of toric varieties. Russian Math. Surveys 33:2, 1978, S. 97–154 (PDF; 2,9 MB).

Vorlesungen und Vorlesungsskripte[Bearbeiten]

Jürgen Hausen: A video course on toric varieties. Tübingen 2020, (Toric Varieties auf YouTube, PDF).
David A. Cox: Lectures on Toric Varieties. Hanoi 2005, (PDF).
David A. Cox: What is a Toric Variety? Workshop on Algebraic Geometry and Geometric Modeling, Vilnius 2003, (PDF Skript, PDF Folien).
Ludger Kaup: Vorlesungen über Torische Varietäten. Konstanzer Schriften in Mathematik und Informatik, Nr. 130, Fassung vom Frühjahr 2002, ISSN 1430-3558, (PDF).
Jean-Paul Brasselet: Introduction to toric varieties. Impa, Marseille 2001, (PDF).
David A. Cox: Minicourse on Toric Varieties. Buenos Aires 2001, (PDF).

Einzelnachweise[Bearbeiten]