Äquivalenz (Matrix)

Die Äquivalenz im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der <math>m \times n</math>-Matrizen.

Beispielsweise sind reelle quadratische Matrizen <math>A,\,B\in\R^{n\times n}</math> äquivalent, wenn es invertierbare Matrizen <math>S,\,T\in\R^{n\times n}</math> gibt, so dass

<math>B = SAT</math>

gilt. Insbesondere sind <math>A</math> und <math>B</math> äquivalent, wenn sie denselben Rang besitzen.

Die genaue Definition unten benutzt allgemeiner Darstellungen von linearen Abbildungen der Matrizen und erlaubt auch andere Körper als die reellen Zahlen als Grundlage sowie nicht quadratische Matrizen.

Definition

Zwei Matrizen <math>A</math> und <math>B</math> über dem Körper <math>\mathbb K</math> heißen äquivalent, wenn es eine lineare Abbildung

<math>f\colon \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^m</math> gibt und es Basen <math>B_1, B_2</math> von <math>\mathbb{K}^n</math> und <math>C_1, C_2</math> von <math>\mathbb{K}^m</math> gibt, so dass

<math>A ={}_{B_1}M(f)_{C_1} </math> und

<math>B ={}_{B_2}M(f)_{C_2} </math> gelten,

d. h., <math> A </math> ist eine Darstellung von <math>f</math> bezüglich der Basen <math>B_1 </math> von <math>\mathbb{K}^n</math> und <math>C_1 </math> von <math>\mathbb{K}^m</math>, und <math> B </math> ist eine Darstellung von <math>f</math> bezüglich der Basen <math>B_2 </math> von <math>\mathbb{K}^n</math> und <math>C_2</math> von <math>\mathbb{K}^m</math>.

Äquivalente Aussage

Zur Aussage „die <math>m \times n</math>-Matrizen <math>A</math> und <math>B</math> sind äquivalent über dem Körper <math>\mathbb K</math>“ ist folgende Aussage äquivalent:

• Es gibt eine invertierbare <math>m \times m</math>-Matrix <math>S</math> und eine invertierbare <math>n \times n</math>-Matrix <math>T</math> über <math>\mathbb K</math>, so dass <math>B = SAT</math> gilt.

Aussagen über äquivalente Matrizen

• Zwei reguläre Matrizen vom gleichen Typ sind äquivalent.
• Zwei Matrizen vom gleichen Typ und demselben Rang sind äquivalent.

Äquivalente Matrizen und ähnliche Matrizen

Ein Spezialfall von äquivalenten Matrizen sind die ähnlichen Matrizen.

Literatur

• Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 4. Auflage. Vieweg, 1985, ISBN 3-528-37235-4. S. 101 und S. 163

Siehe auch

• Ähnlichkeit (Matrix)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Equivalent Matrix. In: MathWorld (englisch).