π-System

Vorlage:Hinweisbaustein Ein <math>\pi</math>-System, auch durchschnittstabiles Mengensystem oder kurz schnittstabiles System genannt, ist ein spezielles Mengensystem, das im axiomatischen Aufbau der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Maßtheorie verwendet werden kann.

Definition

Gegeben sei ein Mengensystem <math>\mathcal{S}\subset\mathcal{P}(\Omega)</math>, also eine Teilmenge der Potenzmenge einer Grundmenge <math>\Omega</math>. <math>\mathcal S</math> heißt ein <math>\pi</math>-System, durchschnittstabiles Mengensystem oder schnittstabiles System, wenn für beliebige zwei Mengen <math>A, B</math> aus dem Mengensystem <math>\mathcal S</math> gilt, dass <math>A \cap B \in \mathcal S</math> ist.

Beispiele

Für eine beliebige Grundmenge <math>\Omega</math> sei das Mengensystem

<math>\mathcal S := \{ A \subset \Omega \mid |A| < \infty \}</math>

aller endlichen Teilmengen gegeben. Für zwei beliebige <math>A, B \in \mathcal S</math> ist nun <math>|A \cap B| \leq \min(|A|,|B|)</math>, der Schnitt endlicher Mengen ist immer endlich. Also ist auch <math>A \cap B \in \mathcal S</math>, es handelt sich somit um ein schnittsstabiles System.

Eigenschaften

• Ist das Mengensystem stabil unter Komplementbildung, so ist es genau dann durchschnittsstabil, wenn es vereinigungsstabil ist. Dies folgt direkt aus den de Morganschen Gesetzen.
• Ist das Mengensystem <math> \mathcal S</math> stabil unter Differenzmengenbildung, dann ist es auch ein π-System. Dies folgt aus <math>A\cap B = A\setminus (A\setminus B) \in \mathcal S</math>.

Verwendung

Durchschnittsstabile Mengensysteme treten an einigen Stellen in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik auf. So ist die Durchschnittsstabilität eine wichtige Voraussetzung an den Erzeuger einer σ-Algebra, um nur auf diesem Erzeuger die stochastische Unabhängigkeit der Zufallsvariablen überprüfen zu müssen.

Wichtigste Anwendung ist der sogenannte dynkinsche π-λ Satz. Ist <math>\mathcal S</math> ein <math>\pi</math>-System, dann stimmen die von <math>\mathcal S</math> erzeugte <math>\sigma</math>-Algebra und das erzeugte Dynkin-System überein, es gilt also

<math>\sigma(\mathcal S) = \delta(\mathcal S)</math>.

Siehe auch

• Σ-Algebra
• Dynkin-System
• Monotone Klasse

Literatur

• Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, S. 20, doi:10.1007/978-3-663-01244-3. 
• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2., überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1992, ISBN 3-11-013626-0. 
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.