2-Kategorie

Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie sind 2-Kategorien die einfachsten Beispiele höherer Kategorien.

Definition und Notation

Ausführlich

Eine strikte 2-Kategorie <math>\mathcal C</math> bringt folgende Daten mit:

• eine Klasse von 0-Morphismen <math>\mathcal C_0</math>,
• für je zwei 0-Morphismen <math>x,y \in \mathcal C_0</math> eine Ansammlung von 1-Morphismen <math>\mathcal C_1(x,y)</math>,
• für je zwei 0-Morphismen <math>x,y \in \mathcal C_0</math> und 1-Morphismen <math>f,g \in \mathcal C_1(x,y)</math> eine Klasse von 2-Morphismen <math>\mathcal C_2(f,g)</math>,
• für je drei 0-Morphismen <math>x,y,z\in\mathcal C_0</math> eine Kompositionsoperation für 1-Morphismen <math>\bullet\colon \mathcal C_1(y,z) \times \mathcal C_1(x,y) \to \mathcal C_1(x,z)</math>,
• für je zwei 0-Morphismen <math>x,y \in \mathcal C_0</math> und 1-Morphismen <math>f,g,h \in \mathcal C_1(x,y)</math> eine vertikale Kompositionsoperation <math>\circ\colon \mathcal C_2(g,h)\times \mathcal C_2(f,g) \to \mathcal C_2(f,h)</math>,
• für je drei 0-Morphismen <math>x,y,z \in \mathcal C_0</math> und 1-Morphismen <math>f,g \in \mathcal C_1(y,z)</math> und <math>h,i \in \mathcal C_1(x,y)</math> eine horizontale Kompositionsoperation <math>\bullet\colon\mathcal C_2(f,g) \times \mathcal C_2(h,i) \to \mathcal C_2(f \bullet h, g \bullet i)</math>,
• für jeden 0-Morphismus <math>x \in \mathcal C_0</math> einen ausgezeichneten 1-Morphismus <math>\mathrm{id}_x \in \mathcal C_1(x,x)</math>,
• für je zwei 0-Morphismen <math>x,y\in \mathcal C_0</math> und jeden 1-Morphismus <math>f \in \mathcal C_1(x,y)</math> einen ausgezeichneten 2-Morphismus <math>\mathrm{id}_f \in \mathcal C_2(f,f)</math>.

Wir schreiben <math>f \colon x \to y</math>, um zu deklarieren, dass <math>f</math> ein 1-Morphismus von <math>x</math> nach <math>y</math>, also Element von <math>\mathcal C_1(x,y)</math> ist, und <math>\alpha\colon f \Rightarrow g</math>, um zu deklarieren, dass <math>\alpha</math> ein 2-Morphismus von <math>f</math> nach <math>g</math>, also Element von <math>\mathcal C_2(f,g)</math> ist.

Diese Daten gehorchen folgenden Axiomen:

• <math>\mathrm{id}_y \bullet f = f = f \bullet \mathrm{id}_x</math> für alle 1-Morphismen <math>f\colon x \to y</math>,
• <math>f\bullet (g \bullet h) = (f \bullet g) \bullet h</math> für alle 1-Morphismen <math>f\colon y \to z, g\colon x \to y, h\colon w \to x</math>,
• <math>\mathrm{id}_g \circ \alpha = \alpha = \alpha \circ \mathrm{id}_f</math> für alle 2-Morphismen <math>\alpha\colon f \Rightarrow g</math>,
• <math>\alpha\circ (\beta \circ \gamma) = (\alpha \circ \beta) \circ \gamma</math> für alle <math>

   f,g,h,i\colon x \to y,
   \alpha\colon h \Rightarrow i, \beta\colon g \Rightarrow h, \gamma\colon f \Rightarrow g</math>,

• <math>\mathrm{id}_{\mathrm{id}_y} \bullet \alpha = \alpha = \alpha \bullet \mathrm{id}_{\mathrm{id}_x}</math> für alle <math>

  f,g\colon x \to y, 
  \alpha \colon f \Rightarrow g</math>,

• <math>\alpha \bullet (\beta \bullet \gamma) = (\alpha \bullet \beta) \bullet \gamma</math> für alle <math>

 f,g\colon w \to x, h,i\colon x \to y, j,k\colon y \to z, 
 \alpha\colon j \Rightarrow k, \beta\colon h \Rightarrow i, \gamma\colon f \Rightarrow g</math>,

• <math>(\alpha \circ \beta) \bullet (\gamma \circ \delta) = (\alpha \bullet \gamma) \circ (\beta \bullet \delta)</math> für alle <math>

 f,g,h\colon x \to y, i,j,k\colon y \to z, 
 \alpha\colon j \Rightarrow k, \beta\colon i \Rightarrow j,
 \gamma\colon g \Rightarrow h, \delta\colon f \Rightarrow g
 </math>.

Per Anreicherung

Eine strikte 2-Kategorie ist eine <math>(\mathrm{Cat},\times)</math>-angereicherte Kategorie. Das heißt, eine strikte 2-Kategorie <math>\mathcal C</math> bringt folgende Daten mit:

• eine Klasse von 0-Morphismen <math>\mathcal C_0</math>,
• für je zwei 0-Morphismen <math>x,y \in \mathcal C_0</math> eine Kategorie <math>\mathrm{Hom}(x,y)</math>,
• für jeden 0-Morphismus <math>x \in \mathcal C_0</math> einen Funktor <math>i_x\colon 1 \to \mathrm{Hom}(x,x)</math>,
• für je drei 0-Morphismen <math>x,y,z \in \mathcal C_0</math> einen Funktor <math>c_{x,y,z}\colon \mathrm{Hom}(y,z) \times \mathrm{Hom}(x,y) \to \mathrm{Hom}(x,z)</math>,

und diese gehorchen folgenden Axiomen für alle <math>w,x,y,z \in \mathcal C_0</math>:

• <math>c_{x,y,y} \circ (i_y \times \mathrm{id}) = \pi_2 \colon 1 \times \mathrm{Hom}(x,y) \to \mathrm{Hom}(x,y)</math>,
• <math>c_{x,x,y} \circ (\mathrm{id} \times i_x) = \pi_1\colon \mathrm{Hom}(x,y)\times 1 \to \mathrm{Hom}(x,y)</math>,
• <math>c_{w,y,z} \circ (\mathrm{id}\times c_{w,x,y}) = c_{w,x,z} \circ (c_{x,y,z} \times \mathrm{id}) \colon \mathrm{Hom}(y,z)\times \mathrm{Hom}(x,y)\times \mathrm{Hom}(w,x) \to \mathrm{Hom}(w,z)</math>.

Bezug zur ausführlichen Definition

Die Objekte eines <math>\mathrm{Hom}(x,y)</math> sind die 1-Morphismen in <math>\mathcal C</math>. Die Pfeile eines <math>\mathrm{Hom}(x,y)</math> sind die 2-Morphismen in <math>\mathcal C</math>.

Die Wirkung der Funktoren <math>c_{x,y,z}</math> auf Objekte ergibt die Komposition von 1-Morphismen. Die Kategorienstruktur der <math>\mathrm{Hom}(x,y)</math> ergibt die vertikale Komposition von 2-Morphismen. Die Wirkung der Funktoren <math>c_{x,y,z}</math> auf Pfeile ergibt die horizontale Komposition von 2-Morphismen.

Notation

Häufig wird anstelle des infix-<math>\bullet</math> für die Komposition von 1-Morphismen und die horizontale Komposition von 2-Morphismen einfach Juxtaposition verwendet, natürlicherweise mit stärkerer Bindung als das infix-<math>\circ</math> für die vertikale Komposition: <math>\alpha \beta = \alpha \bullet \beta; fg = f \bullet g</math>. Des Weiteren schreibt man die Identität <math>\mathrm{id}_f\colon f \Rightarrow f</math> auf dem 1-Morphismus <math>f</math> häufig auch als <math>f</math>, und die Identität <math>\mathrm{id}_x\colon x \to x</math> auf dem 0-Morphismus <math>x</math> häufig auch als <math>x</math>.

Begriffsübertragung

Diverse Begriffsbildungen über Kategorien, Funktoren und natürliche Transformationen kann man in jede 2-Kategorie übertragen.

Beispiel: der Begriff der Adjunktion von Funktoren: Es sei <math>\mathcal C</math> eine beliebige 2-Kategorie, und <math>C,D \in \mathcal C_0</math> 0-Morphismen in <math>\mathcal C</math>, und <math>F \colon C \to D, G \colon D \to C</math>. Dann heißt <math>F</math> rechtsadjungiert zu <math>G</math> und <math>G</math> linksadjungiert zu <math>F</math> (notiert <math>G \dashv F</math>), wenn es 2-Morphismen <math>\eta\colon \mathrm{id}_D \Rightarrow F \bullet G</math> und <math>\varepsilon\colon G \bullet F \Rightarrow \mathrm{id}_C</math> in <math>\mathcal C</math> gibt mit

• <math>(\varepsilon \bullet \mathrm{id}_G) \circ (\mathrm{id}_G \bullet \eta) = \mathrm{id}_G</math> und
• <math>(\mathrm{id}_F \bullet \varepsilon) \circ (\eta \bullet \mathrm{id}_F) = \mathrm{id}_F</math>.

In kürzerer Form: <math>G \dashv F</math>, wenn es <math>\eta\colon D \Rightarrow FG</math> und <math>\varepsilon\colon GF \Rightarrow C</math> gibt mit

• <math>\varepsilon G \circ G \eta = G</math> und
• <math>F \varepsilon \circ \eta F = F</math>.

Beispiele

• Relationen zwischen Mengen bilden eine strikte 2-Kategorie <math>\mathrm{Rel}</math>:

• <math>\mathrm{Rel}_0</math> ist die Klasse aller Mengen,
• <math>\mathrm{Rel}_1(X,Y)</math> ist die Klasse der Relationen von <math>X</math> nach <math>Y</math>,
• Elemente von <math>\mathrm{Rel}_2(R,S)</math> mit <math>R,S\in \mathrm{Rel}_1(X,Y)</math> sind "Zeugen" für <math>R \le S</math>, wobei <math>\leq</math> auf den jeweiligen <math>\mathrm{Rel}_1(X,Y)</math> definiert ist durch <math>R \le S \iff \forall x \in X, y\in Y\colon xRy \implies xSy</math>,
• die Komposition von 1-Morphismen ist die Komposition von Relationen,
• die vertikale Komposition von 2-Morphismen bezeugt die Transitivität der jeweiligen <math>\le</math>,
• die horizontale Komposition von 2-Morphismen bezeugt die Monotonie der Kompositionsoperation von Relationen bzgl. <math>\le</math> in beiden Argumenten,
• fasst man Funktionen in üblicher Weise als spezielle Relationen auf, dann sind in dieser 2-Kategorie Funktionen genau die linksadjungierten, also jene 1-Morphismen zu denen es ein einen rechtsadjungierten 1-Morphismus gibt.

• Sei <math>{\mathcal Grp}</math> die Kategorie der Gruppen und Gruppenhomomorphismen. Diese wird eine 2-Kategorie mit den Konjugationsabbildungen als 2-Isomorphismen durch

<math>Mor_2(f_0,f_1)=\left\{h\in H\colon f_1(g)=hf_0(g)h^{-1}\ \forall\ g\in G\right\}</math>

für alle <math>f_0,f_1\in Mor(G,H)</math>.

• Sei <math>{\mathcal Top}</math> die Kategorie der topologischen Räume und stetigen Abbildungen. Diese wird eine 2-Kategorie mit den Homotopien als 2-Homomorphismen durch

<math>Mor_2(f_0,f_1)=\left\{H\colon X\times\left[0,1\right]\to Y\colon H(x,i)=f_i(x)\ \forall\ x\in X, i\in\left\{0,1\right\}\right\}</math>

für alle <math>f_0,f_1\in Mor(X,Y)</math>.

• Sei <math>{\mathcal Cat}</math> die Kategorie der Kategorien und Funktoren. Diese wird eine 2-Kategorie mit den natürlichen Transformationen als 2-Morphismen durch

<math>Mor_2({\mathcal F}_0,{\mathcal F}_1)=\left\{\left\{\alpha_{C}\colon {\mathcal F}_0(C)\to{\mathcal F}_1(C)\right\}_{C\in{\mathcal C}}\colon \alpha_{C^\prime}\circ F(f)=G(f)\circ\alpha_C\ \forall C,C^\prime\in Ob({\mathcal C}),f\in Mor(C,C^\prime)\right\}</math>

für alle <math>{\mathcal F}_0,{\mathcal F}_1\in Mor({\mathcal C},{\mathcal D})</math>.

Weblinks

• 2-category (nlab)