51-Eck

Regelmäßiges 51-Eck

Das 51-Eck oder Pentakontahenagon ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon). Es ist bestimmt durch einundfünfzig Punkte und deren einundfünfzig Verbindungen namens Strecken, Seiten oder Kanten.

Das – im Folgenden ausschließlich beschriebene – regelmäßige 51-Eck ist ein nicht überschlagenes Polygon mit 51 gleich langen Seiten auf einem gemeinsamen Umkreis. Es ist nach Carl Friedrich Gauß und Pierre-Laurent Wantzel ein konstruierbares Polygon, da die Anzahl seiner Seiten als Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen (<math>51=2^0 \cdot 3 \cdot 17</math>) darstellbar ist.

Dieser Artikel behandelt im Folgenden das regelmäßige 51-Eck.

Größen[Bearbeiten]

Größen eines regelmäßigen 51-Ecks
Innenwinkel	<math> \begin{align} \alpha &= \frac {n-2}{n} \cdot 180 ^ \circ = \frac {49}{51} \cdot 180 ^ \circ \\ \alpha & \approx 172{,}941176^\circ \end{align}</math>	Datei:01-51-Eck-Größen.svg
Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel)	<math> \begin{align} \mu & = \frac {360^\circ}{51} \\ \mu & \approx 7{,}058823^\circ \end{align}</math>
Seitenlänge	<math> \begin{align} a &= R \cdot 2 \cdot\sin\left(\frac{180^\circ}{51}\right) \\ a&\approx 0{,}1231218\cdot R \end{align}</math>
Umkreisradius	<math> \begin{align} R &= \frac{a}{2 \cdot\sin\left(\frac{180^\circ}{51}\right)} \\ R&\approx \frac{a}{0{,}123121} \end{align}</math>
Inkreisradius	<math> \begin{align} r &= R \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{51}\right) \\ r&\approx 0{,}998103 \cdot R \end{align}</math>
Höhe	<math> \begin{align} h & = R + r = R \cdot\left(1+\cos\left(\frac{180^\circ}{51}\right)\right) \\ h &\approx 1{,}998103\cdot R \end{align}</math>
Flächeninhalt	<math> \begin{align} A & = 51\cdot R^2 \cdot\sin\left(\frac{180^\circ}{51}\right) \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{51}\right) \\ A& \approx 3{,}133651 \cdot R^2 \end{align}</math>

Innenwinkel[Bearbeiten]

Der Innenwinkel <math>\alpha</math> wird von zwei benachbarten Seitenkanten eingeschlossen. In der allgemeinen Formel für regelmäßige Polygone steht die Variable <math>n</math> für die Anzahl der Eckpunkte des Polygons. In diesem Fall ist für die Variable die Zahl <math>51</math> einzusetzen.

<math> \alpha = \frac {n-2}{n} \cdot 180 ^ \circ = \frac {51-2}{51} \cdot 180 ^ \circ = \frac {49}{51} \cdot 180 ^ \circ \approx 172{,}941176^\circ</math>

Zentriwinkel[Bearbeiten]

Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel <math>\mu</math> wird von zwei benachbarten Umkreisradien <math>R</math> eingeschlossen. In der allgemeinen Formel ist für die Variable <math>n</math> die Zahl <math>51</math> einzusetzen.

<math> \mu = \frac {360^\circ}{n} = \frac {360^\circ}{51} \approx 7{,}058823^\circ </math>

Seitenlänge und Umkreisradius[Bearbeiten]

Das 51-Eck ist in einundfünfzig gleichschenklige Dreiecke sogenannte Teildreiecke teilbar. Aus der Hälfte eines solchen Teildreiecks, sprich aus einem rechtwinkligen Dreieck mit der Kathete (halbe Seitenlänge) <math>\frac{a}{2}</math>, der Hypotenuse (Umkreisradius) <math>R</math> und dem halben Zentriwinkel <math>\frac{\mu}{2}</math> erhält man mithilfe der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck die Seitenlänge <math>a</math> wie folgt

<math> \begin{align} a

&= R \cdot 2 \cdot\sin\left(\frac{\mu}{2}\right)\\ &= R \cdot 2 \cdot\sin\left(\frac{180^\circ}{51}\right)\\ a&\approx 0{,}1231218 \cdot R, \end{align}</math>

durch Umformen erhält man den Umkreisradius <math>R</math>

<math> \begin{align} R

&= \frac{a}{2 \cdot\sin\left(\frac{180^\circ}{51}\right)} \\ R&\approx \frac{a}{0{,}1231218} \end{align}</math>

Inkreisradius[Bearbeiten]

Der Inkreisradius <math>r </math> ist die Höhe eines Teildreiecks, senkrecht zur Seitenlänge <math>a</math> des 51-Ecks. Wird zur Berechnung wieder das gleiche rechtwinklige Dreieck wie bei der Seitenlänge verwendet, gilt für den Inkreisradius <math>r</math>

<math> \begin{align} r

&= R \cdot \cos\left(\frac{\mu}{2}\right) = R \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{51}\right) \\ r&\approx 0{,}998103 \cdot R \end{align}</math>

Höhe[Bearbeiten]

Die Höhe <math>h</math> eines regelmäßigen 51-Ecks ergibt sich aus der Summe von Inkreisradius <math>r</math> und Umkreisradius <math>R</math>.

<math>h = R + r = R + R \cdot\cos\left(\frac{180^\circ}{51}\right) = R \cdot\left(1+\cos\left(\frac{180^\circ}{51}\right)\right)</math>

<math>h\approx 1{,}998103\cdot R</math>

Flächeninhalt[Bearbeiten]

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich allgemein <math> A_\Delta = \frac {1}{2} a \cdot h_a </math>. Für die Berechnung des 51-Ecks werden die Ergebnisse der Seitenlänge <math>a</math> und des Inkreisradius <math>r</math> herangezogen, worin <math>r</math> für die Höhe <math>h_a</math> eingesetzt wird.

<math>a = R \cdot 2 \cdot\sin\left(\frac{180^\circ}{51}\right)</math>

<math> h_a = r = R \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{51}\right)\;</math> daraus folgt für die Fläche eines Teildreiecks

<math> \begin{align} A_\Delta

&= \frac {1}{2} \cdot R \cdot 2 \cdot\sin\left(\frac{180^\circ}{51}\right) \cdot R \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{51}\right) \end{align}\;</math> zusammengefasst ergibt sich

<math>A_\Delta = R^2 \cdot\sin\left(\frac{180^\circ}{51}\right) \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{51}\right)</math>

<math>A_\Delta\approx 0{,}0614441 \cdot R^2</math>

und für die Fläche des gesamten 51-Ecks

<math> A = 51 \cdot A_\Delta = 51\cdot R^2 \cdot\sin\left(\frac{180^\circ}{51}\right) \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{51}\right)</math>

<math>A \approx 3{,}133651 \cdot R^2</math>

Konstruktion[Bearbeiten]

Wie oben in Regelmäßiges 51-Eck beschrieben, ist das 51-Eck als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar. Da sich die Anzahl seiner Ecken aus der Multiplikation der beiden Fermatschen Primzahlen <math>3</math> und <math>17</math> ergibt, kann das regelmäßige 51-Eck durch eine Erweiterung einer bereits bekannten Konstruktion des Siebzehnecks gefunden werden. Die zwei Polygone Dreieck und Siebzehneck (deren Anzahl der Seiten entspricht den Fermatschen Primzahlen <math>3</math> bzw. <math>17</math>) werden im gemeinsamen Umkreis mit einem gemeinsamen Eckpunkt übereinander gelegt, so wie dies z. B. Johannes Kepler in seinem Werk WELT-HARMONIK in der Konstruktion des Fünfzehnecks aufzeigt<ref>Johannes Kepler: WELT-HARMONIK. XLIV. Satz., Seite des Fünfzehnecks, Seite 44. In: Google Books. R. OLDENBURG VERLAG 2006, übersetzt und eingeleitet von MAX CASPAR 1939, S. 401, abgerufen am 21. Februar 2018. </ref>.

Als Basis für die Konstruktion kann prinzipiell eine der drei in Siebzehneck beschriebenen Methoden ausgewählt werden. Aus Gründen des sehr geringen erforderlichen Aufwands wird die Methode von Duane W. DeTemple,<ref>Duane W. DeTemple: Die Seite Vorlage:Webarchiv/styles.css hat keinen Inhalt.Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygon Constructions. (Memento vom 11. August 2011 im Internet Archive). The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 2 (Feb., 1991), S. 101–104 (Modul:JSTOR * Modul:JSTOR:170: attempt to index field 'wikibase' (a nil value)) aufgerufen am 16. Februar 2018.</ref> aus dem Jahr 1991, verwendet.

Vorüberlegungen[Bearbeiten]

Datei:01 51-Eck Basis 17-Eck.svg

Bild 1: Siebzehneck nach DeTemple, Vorüberlegungen (gepunktete Linien)

In der Zeichnung des Siebzehnecks nach Duane W. DeTemple (Bild 1) ist gut erkennbar, die Mittelsenkrechte der Länge <math>|\overline{QO}|</math> ab <math>Q'</math> schneidet nicht nur den Kreisbogen <math>c_2,</math> sondern auch den Umkreis. Wird dieser Schnittpunkt als <math>P_{34}</math> markiert, liegt er direkt neben dem Eckpunkt <math>P_{11}.</math> Damit ergibt sich der Zentriwinkel <math>P_{34}OP_0</math> mit der Winkelweite <math>120^\circ</math> eines gleichseitigen Dreiecks, der quasi zum Zentriwinkel des Siebzehnecks <math>P_0OP_1</math> geometrisch im Uhrzeigersinn addiert ist.

Folglich gilt für

Zentriwinkel <math>\theta_1</math> des Kreissektors <math>P_{11}OP_0</math>

<math>\theta_1 = \frac{6}{17}\cdot 360^\circ = 127{,}0588235294117647\ldots ^\circ,</math>

Zentriwinkel <math>\theta_2</math> des Kreissektors <math>P_{11}OP_{34}</math>

<math>\theta_2 = \frac{6}{17}\cdot 360^\circ - 120^\circ = 7{,}0588235294117647\ldots ^\circ,</math> wegen

Zentriwinkel <math>\mu</math> des 51-Ecks

<math>\mu = \frac {360^\circ}{51} = 7{,}0588235294117647\ldots ^\circ</math> gilt auch

<math>\theta_2 = \mu .</math>

Somit ist die Strecke <math>\overline{P_{11}P_{34}}</math> eine Seitenlänge <math>a</math> und <math>P_{34}</math> ein Eckpunkt des gesuchten 51-Ecks.

Die Position des Eckpunktes <math>P_{34}</math> des 51-Ecks ergibt sich auch aus der Anzahl der Seitenlängen <math>a_A</math> die im Zentriwinkel <math>120^\circ</math> enthalten sind

<math>a_A =\frac{120^\circ}{\mu} = \frac{\frac{120^\circ}{1}}{\frac{360^\circ}{51}} = \frac{51}{3} = 17,</math> daraus folgt

ausgehend von dem nicht mitgezählten Eckpunkt <math>P_0,</math> entspricht der im Uhrzeigersinn 17. Eckpunkt dem Eckpunkt <math>P_{34}</math> der gegen den Uhrzeigersinn abgezählt ist.

Der 17. Eckpunkt des 51-Ecks liegt demnach, bezogen auf die Länge der Mittelachse <math>|\overline{QP_0}|</math>, genau gegenüber dem 34. Eckpunkt.

Konstruktionsbeschreibung[Bearbeiten]

Die, im Vergleich zum Original, geänderten Bezeichner im Bild 2 entsprechen denen der heute üblichen.

Datei:51-Eck-Carlyle-Kreise.svg

Bild 2: Erweiterung der Konstruktion des 17-Ecks nach Duane W. DeTemple zur Konstruktion des 51-Ecks durch Ergänzung der Ecken des gleichseitigen Dreiecks (<math>P_{0}</math> - <math>P_{17}</math> - <math>P_{34}</math>) und Abtragen der dann noch fehlenden Punkte

Zeichnen einer Geraden <math>x</math> (analytisch eine X-Achse) und bestimmen eines Punktes <math>M_1</math> darauf, den späteren Mittelpunkt des Polygons (analytisch ein Koordinatenursprung).
Zeichnen eines Kreises als Umkreis (analytisch ein Einheitskreis) <math>C_1</math> um <math>M_1</math>. Es ergeben sich zwei Schnittpunkte, den Eckpunkt <math>P_0</math> des Polygons und der Gegenpunkt <math>B</math>.
Errichten der Senkrechten <math>y</math> (analytisch eine Y-Achse) auf der Gerade <math>x</math> in <math>M_1</math>. Es ergibt sich der Schnittpunkt <math>Y_0</math>.
Halbierung der Strecke <math>\overline{B M_1}</math> in <math>M_2</math>.
Errichten der Senkrechte auf der Geraden in <math>M_2</math>. Die beiden Schnittpunkte mit <math>C_1</math> sind die Eckpunkte <math>P_{17}</math> und <math>P_{34}</math> des 51-Ecks.
Zeichnen des Kreisbogens <math>C_2</math> um <math>M_2</math> mit dem Radius <math>|\overline{M_2 P_0}|</math>. Der Schnittpunkt mit der Senkrechten ist <math>M_{Cc1}</math>.
Nun wird um <math>M_{Cc1}</math> der erste Carlyle-Kreis <math>C_{C1}</math> durch den Punkt <math>Y_0</math> gezogen; die Schnittpunkte sind <math>X_{Cc1,1}</math> und <math>X_{Cc1,2}</math>.
Die Strecke <math>\overline{M_1 X_{Cc1,1}}</math> wird halbiert. Man erhält <math>M_{Cc2}</math>.
Zeichnen eines zweiten Carlyle-Kreises <math>C_{C2}</math> um <math>M_{Cc2}</math> durch <math>Y_0</math>. Die Schnittpunkte mit x sind die Punkte <math>X_{Cc2,1}</math> und <math>X_{Cc2,2}</math> (letzterer nicht eingezeichnet, da er nicht weiter benötigt wird).
Die Strecke <math>\overline{M_1 X_{Cc1,2}}</math> wird halbiert. Man erhält <math>M_{Cc3}</math>.
Zeichnen eines dritten Carlyle-Kreises <math>C_{C3}</math> um <math>M_{Cc3}</math> durch <math>Y_0</math>. Die Schnittpunkte mit x sind die Punkte <math>X_{Cc3,1}</math> und <math>X_{Cc3,2}</math> (letzterer ebenfalls nicht eingezeichnet, da er nicht weiter benötigt wird).
Abtragen der Strecke <math>\overline{M_1 X_{Cc2,1}}</math> auf <math>y</math> von <math>Y_0</math> aus ab. Man erhält Punkt <math>Y_1</math>
Verbinden der Punkte <math>Y_1</math> und <math>X_{Cc3,1}</math> mit einer Strecke.
Halbieren der Strecke <math>\overline{Y_1 X_{Cc3,1}}</math>. Man erhält Punkt <math>M_{Cc4}</math>.
Zeichnen eines vierten Carlyle-Kreises <math>C_{C4}</math> um <math>M_{Cc4}</math> durch <math>Y_0</math>. Die Schnittpunkte mit x sind die Punkte <math>X_{Cc4,1}</math> und <math>X_{Cc4,2}</math> (letzterer nicht beschriftet, da er nicht weiter benötigt wird).
Zeichnen eines Kreisbogens um <math>X_{Cc4,1}</math> mit dem Umkreisradius <math>|\overline{M_1 B}|</math>. Die Schnittpunkte mit dem Umkreis <math>C_1</math> sind die zwei zu <math>P_0</math> benachbarten Punkte des 17-Ecks und damit die Punkte <math>P_3</math> und <math>P_{48}</math> des 51-Ecks.
Durch wiederholtes Abtragen der Strecke <math>\overline{P_0 P_3}</math> auf dem Umkreis <math>C_1</math>, beginnend mit <math>P_0</math>, erhält man die fehlenden Punkte eines regelmäßigen 17-Ecks. Bis hierhin entspricht die Konstruktion der des 17-Ecks.
Durch wiederholtes Abtragen der Strecke <math>\overline{P_0 P_3}</math> auf dem Umkreis <math>C_1</math>, ausgehend von den Punkten <math>P_{17}</math> (blau) und <math>P_{34}</math> (rot), erhält man alle noch fehlenden Eckpunkte des 51-Ecks, welche miteinander zum 51-Eck verbunden werden können.