Affine Lie-Algebra
Eine affine Lie-Algebra ist in der Mathematik eine unendlichdimensionale Lie-Algebra, die auf kanonische Weise aus einer endlichdimensionalen Lie-Algebra konstruiert wird. Dies ermöglicht die Konstruktion affiner Kac-Moody-Algebren.
Definition[Bearbeiten]
Sei <math>\mathfrak{g}</math> eine endlich-dimensionale Lie-Algebra. Dann ist die zugehörige affine Lie-Algebra <math>\hat{\mathfrak{g}}</math> definiert als der Vektorraum
- <math>\hat{\mathfrak{g}}=\mathfrak{g}\otimes\Complex[t,t^{-1}]\oplus\Complex c</math>
mit der Kommutator-Relation
- <math>\left[a\otimes t^n+\alpha c,b\otimes t^m+\beta c\right]=\left[a,b\right]\otimes t^{n+m}+\langle a,b \rangle n\delta_{m+n,0}c</math>
für <math>a,b\in\mathfrak{g},\alpha,\beta\in\Complex,n,m\in\Z</math>. Hierbei bedeutet <math>\left[a,b\right]</math> die Lie-Klammer in <math>\mathfrak{g}</math>, <math>\langle a,b\rangle</math> die Killing-Form von <math>\mathfrak{g}</math> und <math>\Complex[t,t^{-1}]</math> ist die assoziative Algebra der Laurent-Polynome.
<math>c</math> ist ein Element des Zentrums der Liealgebra und <math>\Complex c</math> ist daher ein zentrales Ideal. Weiter hat man eine kurze exakte Sequenz
- <math>0\rightarrow \Complex c \rightarrow \hat{\mathfrak{g}} \rightarrow \mathfrak{g}\otimes\Complex[t,t^{-1}] \rightarrow 0</math>
von Lie-Algebren.<ref>Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman: Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, New York (1989) ISBN 0-12-267065-5, Kapitel 1.6: Affine Lie Algebras</ref>
Erweiterte affine Lie-Algebra[Bearbeiten]
Wir definieren durch die Formeln
- <math> d(c):=0 </math>
- <math> d(a\otimes f) := a\otimes (t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t})(f),\quad a\in \mathfrak{g}, f\in \Complex[t,t^{-1}]</math>
eine Derivation auf <math>\hat{\mathfrak{g}}</math>. Beachte dazu, dass durch den Differentialoperator <math>t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}</math> eine Derivation auf <math>\Complex[t,t^{-1}]</math> erklärt ist. Die erweiterte affine Lie-Algebra <math>\tilde{\mathfrak{g}}</math> entsteht aus <math>\hat{\mathfrak{g}}</math> durch Adjunktion dieser Derivation, das heißt
- <math>\tilde{\mathfrak{g}} := \Complex d \ltimes \hat{\mathfrak g}</math>,
wobei <math>\ltimes</math> für die semidirekte Summe steht. Die so konstruierte Algebra <math>\tilde{\mathfrak{g}}</math> heißt die zu <math>\mathfrak{g}</math> gehörige erweiterte affine Lie-Algebra oder einfach erweiterte affine Algebra.
Kac-Moody-Algebren affinen Typs[Bearbeiten]
Aus den bekannten endlich-dimensionalen einfachen Lie-Algebren An, Bn, Cn, Dn, E6, E7, E8, F4, G2 kann man mittels obiger Konstruktion die Kac-Moody-Algebren affinen Typs konstruieren, genauer die ungetwisteten Kac-Moody-Algebren affinen Typs. Weitere treten als Fixpunktalgebren gewisser Automorphismen auf, man spricht dann von getwisteten Kac-Moody-Algebren affinen Typs. Wir konstruieren im Folgenden sämtliche Kac-Moody-Algebren affinen Typs, die von unzerlegbaren verallgemeinerten Cartan-Matrizen herrühren. Dies sind sogenannte Realisierungen der abstrakt definierten Kac-Moody-Algebren, das heißt man erhält zu jeder Kac-Moody-Algebra affinen Typs mit unzerlegbarer, verallgemeinerter Cartan-Matrix einen konkreten Vektorraum mit einer Lie-Klammer wie oben angegeben, so dass diese Lie-Algebra der entsprechenden Isomorphieklasse angehört.<ref>Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 18: Realisations of affine Kac-Moody algebras</ref>
Ungetwistete Kac-Moody-Algebren affinen Typs[Bearbeiten]
Für <math>\mathfrak{g}</math> wählen wir in obiger Konstruktion die endlichdimensionalen einfachen Lie-Algebren <math>A_n</math>, <math>B_n</math>, <math>C_n</math>, <math>D_n</math>, <math>E_6</math>, <math>E_7</math>, <math>E_8</math>, <math>F_4</math>, <math>G_2</math>, wobei die angegebenen Typen die einfache Lie-Algebra bis auf Isomorphie charakterisieren. Dann bezeichnet man die erweiterten affinen Lie-Algebren daraus mit <math>\tilde{A}_n</math>, <math>\tilde{B}_n</math>, <math>\tilde{C}_n</math>, <math>\tilde{D}_n</math>, <math>\tilde{E}_6</math>, <math>\tilde{E}_7</math>, <math>\tilde{E}_8</math>, <math>\tilde{F}_4</math>, <math>\tilde{G}_2</math>. Es handelt sich um Kac-MoodyAlgebren affinen Typs mit unzerlegbaren verallgemeinerten Cartan-Matrizen. Wir geben neben diesen auch die zugehörigen Dynkin-Diagramme an.
| Typ | Verallgemeinerte Cartan-Matrix | Dynkin-Diagramm |
|---|---|---|
| <math>\tilde{A}_n, \, n\ge 1</math> | <math> \begin{pmatrix}
2 & -1 & & & & & -1 \\ -1 & 2 & -1 & & & & \\ & -1 & . & . & & & \\ & & . & . & . & & \\ & & & . & . & -1 & \\ & & & & -1 & 2 & -1 \\ -1 & & & & & -1 & 2 \\ \end{pmatrix} </math> || | |
| <math>\tilde{B}_n, \, n\ge 3</math> | <math> \begin{pmatrix}
2 & & -1 & & & & \\ & 2 & -1 & & & & \\ -1 & -1 & 2 & -1 & & & \\ & & -1 & . & . & & \\ & & & . & . & -1 & \\ & & & & -1 & 2 & -1 \\ & & & & & -2 & 2 \\\end{pmatrix} </math> || | |
| <math>\tilde{C}_n, \, n\ge 2</math> | <math> \begin{pmatrix}
2 & -1 & & & & & \\ -2 & 2 & -1 & & & & \\ & -1 & . & . & & & \\ & & -1 & . & -1 & & \\ & & & . & . & -1 & \\ & & & & -1 & 2 & -2 \\ & & & & & -1 & 2 \\ \end{pmatrix} </math> |
|
| <math>\tilde{D}_n, \, n\ge 4</math> | <math> \begin{pmatrix}
2 & & -1 & & & & \\ & 2 & -1 & & & & \\ -1 & -1 & . & . & & & \\ & & -1 & . & -1 & & \\ & & & . & . & -1 & -1 \\ & & & & -1 & 2 & \\ & & & & -1 & & 2 \\\end{pmatrix} </math> || | |
| <math>\tilde{E}_6</math> | <math> \begin{pmatrix}
2 & & & & -1 & & \\ & 2 & -1 & & & & \\ & -1 & 2 & -1 & & & \\ & & -1 & 2 & -1 & -1 & \\ -1 & & & -1 & 2 & & \\ & & & -1 & & 2 & -1 \\ & & & & & -1 & 2 \\\end{pmatrix} </math> || | |
| <math>\tilde{E}_7</math> | <math> \begin{pmatrix}
2 & & & & & & & -1 \\ & 2 & -1 & & & & & \\ & -1 & 2 & -1 & & & & \\ & & -1 & 2 & -1 & & & \\ & & & -1 & 2 & -1 & -1 & \\ & & & & -1 & 2 & & \\ & & & & -1 & & 2 & -1 \\ -1 & & & & & & -1 & 2 \\ \end{pmatrix} </math> || | |
| <math>\tilde{E}_8</math> | <math> \begin{pmatrix}
2 & -1 & & & & & & & \\ -1 & 2 & -1 & & & & & & \\ & -1 & 2 & -1 & & & & & \\ & & -1 & 2 & -1 & & & & \\ & & & -1 & 2 & -1 & & & \\ & & & & -1 & 2 & -1 & -1 & \\ & & & & & -1 & 2 & & \\ & & & & & -1 & & 2 & -1 \\ & & & & & & & -1 & 2 \\\end{pmatrix} </math> || | |
| <math>\tilde{F}_4</math> | <math> \begin{pmatrix}
2 & -1 & & & \\ -1 & 2 & -1 & & \\ & -1 & 2 & -1 & \\ & & -2 & 2 & -1 \\ & & & -1 & 2 \\\end{pmatrix} </math> || | |
| <math>\tilde{G}_2</math> | <math> \begin{pmatrix}
2 & -1 & \\ -1 & 2 & -1 \\ & -3 & 2 \\\end{pmatrix} </math> || |
Beachte, dass die Matrixgröße, das heißt die Zeilen- bzw. Spaltenzahl, um eins größer ist als der Index des Typnamens. Genauso verhält es sich mit der Anzahl der Knoten des zugehörigen Dynkin-Diagramms.
Getwistete Kac-Moody-Algebren affinen Typs[Bearbeiten]
Die weiteren Kac-Moody-Algebren affinen Typs können als Unteralgebren ungetwisteter Kac-Moody-Algebren konstruiert werden, genauer als Fixpunktalgebra eines Automorphismus. Im Folgenden sei <math>\sigma: \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{g}</math> der Automorphismus, der zu einem der nebenstehend abgebildeten Graphautomorphismen der Dynkin-Diagramme zu <math>A_n</math>, <math>D_n</math> und <math>E_6</math> gehört. Eine Besonderheit tritt bei <math>D_4</math> auf, hier gibt es einen zusätzlichen Automorphismus der Ordnung 3, alle anderen Automorphismen haben offenbar die Ordnung 2. Dazu konstruieren wir nun Automorphismen <math>\tau</math> auf den erweiterten affinen Lie-Algebren, indem wir definieren:
- <math>\tau(a \otimes t^m) = e^{2\pi \mathrm{i} m/\mathrm{ord}(\sigma)}\cdot \sigma(a)\otimes t^m</math>
- <math>\tau(c)=c,\quad \tau(d)=d</math>
Der skalare Faktor ist eine <math>\mathrm{ord}(\sigma)</math>-te Einheitswurzel. Würde man statt dieser einfach 1 verwenden, so erhielte man auch Automorphismen, die aber nicht das Gewünschte leisten. Wegen der Einheitswurzel spricht man von getwisteten Automorphismen und nennt daher auch die Fixpunktalgebren
- <math> \mathfrak{g}^\tau := \{x\in \mathfrak{g}\mid \tau(x)=x \}</math>
getwistete Algebren. Mittels dieser Konstruktion können die restlichen Kac-Moody-Algebren affinen Typs mit den Standardbezeichnungen <math>\tilde{B}_n^t</math>, <math>\tilde{C}_n^t</math>, <math>\tilde{F}_4^t</math>, <math>\tilde{G}_2^t</math>, <math>\tilde{A}_1'</math>, <math>\tilde{C}_n'</math> konstruiert werden. Man verwendet dieselben Namen für die zugehörigen verallgemeinerten Cartan-Matrizen sowie für die zugehörigen Dynkin-Diagramme. Das hochgestellte t steht nicht für einen Automorphismus, sondern für Matrixtransposition.
Man erhält folgende Aufstellung:
| Typ | Fixpunktalgebra | Verallgemeinerte Cartan-Matrix | Dynkin-Diagramm |
|---|---|---|---|
| <math>\tilde{B}_n^t, \, n\ge 3</math> | <math>\tilde{A}_{2n-1}^\tau </math> | <math> \begin{pmatrix}
2 & & -1 & & & & \\ & 2 & -1 & & & & \\ -1 & -1 & . & . & & & \\ & & -1 & . & -1 & & \\ & & & . & . & -1 & \\ & & & & -1 & 2 & -2 \\ & & & & & -1 & 2 \\\end{pmatrix} </math> || | |
| <math>\tilde{C}_n^t , \, n\ge 2</math> | <math>\tilde{D}_{n+1}^\tau </math> | <math> \begin{pmatrix}
2 & -2 & & & & & \\ -1 & 2 & -1 & & & & \\ & -1 & . & -1 & & & \\ & & . & . & . & & \\ & & & -1 & . & -1 & \\ & & & & -1 & 2 & -1 \\ & & & & & -2 & 2 \\\end{pmatrix} </math> || | |
| <math>\tilde{F}_4^t</math> | <math>\tilde{E}_{6}^\tau </math> | <math> \begin{pmatrix}
2 & -1 & & & \\ -1 & 2 & -1 & & \\ & -1 & 2 & -2 & \\ & & -1 & 2 & -1 \\ & & & -1 & 2 \\\end{pmatrix} </math> || | |
| <math>\tilde{G}_2^t</math> | <math>\tilde{D}_{4}^\tau </math> | <math> \begin{pmatrix}
2 & -1 & \\ -1 & 2 & -3 \\ & -1 & 2 \\ \end{pmatrix} </math> |
|
| <math>\tilde{A}_1'</math> | <math>\tilde{A}_{2}^\tau </math> | <math> \begin{pmatrix}
2 & -1 \\ -4 & 2 \\ \end{pmatrix} </math> || | |
| <math>\tilde{C}_n', \, n\ge 2</math> | <math>\tilde{A}_{2n}^\tau </math> | <math> \begin{pmatrix}
2 & -2 & & & & & \\ -1 & 2 & -1 & & & & \\ & -1 & . & -1 & & & \\ & & . & . & . & & \\ & & & . & . & -1 & \\ & & & & -1 & 2 & -2 \\ & & & & & -1 & 2 \\\end{pmatrix} </math> || |
Für die Größen der Matrizen und Dynkin-Diagramme gilt das für die ungetwisteten Algebren Gesagte. Ferner beachte, dass <math>\tilde{D}_{4}^\tau </math> in obiger Liste zweimal vorkommt. Es handelt sich bei den zwei Fällen um verschiedene Automorphismen <math>\tau</math>, für <math>\tilde{G}_2^t</math> wird der Autorphismus des oben genannten Sonderfalls für <math>D_4</math> verwendet, für <math>\tilde{D}_{n+1}^\tau </math> mit <math>n=3</math> ist es der Automorphismus, der nur die zwei Enden des Dynkin-Diagramms austauscht.
Einzelnachweise[Bearbeiten]
<references />