Der Alternantensatz, oder auch Alternantensatz von Tschebyschev, (im englischen "Equioscillation theorem")<ref>Approximation Theory and Approximation Practice. Trerethen, Lloyd N., SIAM-Verlag, Kapitel 10, 2018 ISBN 978-93-86235-44-2</ref> gibt in der Approximationstheorie eine notwendige und hinreichende Bedingung für die beste Approximation einer stetigen Funktion durch Polynome. Er wird dem russischen Mathematiker Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow zugeschrieben.<ref>Leçons sur l’approximation des fonctions d’une variable réelle. Gauthier-Villars, Paris 1919, 1952, S. 75, archive.org</ref>
Sei <math>[a,b]</math> ein Intervall <math>\subset\R</math> und <math>f\colon[a,b]\to \R</math> eine stetige Funktion. Unter allen Polynomen eines Grades <math>\le n</math>, minimiert das Polynom <math>p</math> die Supremumsnorm <math> \| f - p \| _\infty </math> dann und nur dann, wenn es <math>n+2</math> Extremstellen <math>a \le x_0 < x_1 < \cdots < x_{n+1} \le b</math> gibt, so dass
<math>f(x_i) - p(x_i) = \sigma (-1)^i E</math> für alle <math>i=0,\ldots,n+1</math>
<math>E</math> ist der Minimalabstand (oder Approximationsfehler) von <math>f</math> zu <math>\mathcal{P}_n</math>, dem Raum der algebraischen Polynome vom Grad kleiner oder gleich <math>n</math>. Ein Polynom <math>p\in\mathcal{P}_n</math> mit Minimalabstand zu <math>f</math> heißt Proximum oder beste Approximation an <math>f</math> bezüglich <math>\mathcal{P}_n</math>.<ref>Der Alternantensatz gilt auch für wesentlich allgemeinere Räume, bspw. für trigonometrische Polynome (s. a. Proximum#Alternanten-Kriterium in Tschebyschow-Systemen).</ref>
Datei:Sqrt uniform approximation.svgBeste Approximation der Quadratwurzelfunktion durch eine lineare Funktion: Die maximale Differenz 1/8 wird dreimal mit wechselndem Vorzeichen angenommen
Nach dem Alternantensatz ist das Polynom <math>p(x) = x + \tfrac{1}{8}</math> dasjenige Polynom vom Grad kleiner oder gleich <math>n = 1</math>, das die Quadratwurzelfunktion <math>f\colon [0,1] \to \R</math>, <math>f(x) = \sqrt{x}</math> auf dem Intervall <math>[a,b] = [0,1]</math> bezüglich der Supremumsnorm am besten approximiert. Da nämlich <math>f</math> und damit auch die Fehlerfunktion <math>f-p</math> streng konkav ist, nimmt letztere an den Intervallgrenzen <math>x_0:=0</math> und <math>x_2:=1</math> jeweils ein lokales Minimum an, ferner ein Maximum <math>x_1</math> im Inneren von <math>[0,1]</math>. Dieses bestimmt sich durch Nullsetzen der Ableitung <math>f'-p'=\tfrac1{2 \sqrt{x_1}}-1</math> zu <math>x_1=\tfrac14</math>. Nun ist mit <math>E:=\tfrac{1}{8}</math> an diesen Extremstellen <math>f(0) - p(0) = -E,\ f(\tfrac{1}{4}) - p(\tfrac{1}{4}) = +E,\ f(1) - p(1) = -E</math>, ist also erstens <math>E=\max_{0\le x\le 1} | f(x) - p(x) |=\| f - p \|_\infty</math> und zweitens <math>f(x_i) - p(x_i) = \sigma (-1)^i E</math> mit <math>\sigma = -1</math>.
Die Funktion <math> f(x) = \frac1{r-x}</math> mit einem <math> r>1 </math> wird im Intervall <math> [-1,1] </math> für jedes <math> n\in\N_0 </math> durch das Polynom
<math> p_n(x) := \frac1{r-x} - E_n V_n </math>
vom Grad <math> n </math> optimal approximiert.
Dabei ist <math> E_n:=\frac{\bigl(r-\sqrt{r^2-1}\bigr)^n}{r^2-1} </math> sowie <math> V_n(x) := \cos(n\varphi + \psi) </math> gesetzt
und <math> \varphi </math> durch <math> \cos \varphi := x </math> sowie <math> \psi </math> durch <math> \tan \frac{\psi}2 := \sqrt \frac{r+1}{r-1} \tan \frac{\varphi}2 </math> implizit definiert.
Bemerkung
Die (besten) Polynome <math> p_n(x) </math> konvergieren für wachsendes <math>n</math> (gleichmäßig und) mit linearer Konvergenzgeschwindigkeit gegen die Funktion <math>f</math>.
Beweisskizze
Polynomeigenschaft: Durch Umrechnungen u. a. über Tschebyschow-Polynome erster und zweiter Art erweist sich die Funktion <math>q(x) := 1 - (r-x) \, E_n V_n </math> im Zähler von <math> p_n(x) = \frac1{r-x} - E_n V_n </math> als ein Polynom vom Grade <math> n+1</math>. Damit ist <math> p_n(x) </math> zunächst eine gebrochenrationale Funktion. Ferner hat <math>q(x) </math> die Nullstelle<math>r</math>, so dass sich der Faktor <math>(x-r)</math> von <math>q(x)</math> abspalten und mit dem Nenner <math> (r-x) </math> von <math> p_n(x) </math> wegkürzen lässt. Am Ende ist <math> p_n(x) </math> ein Polynom vom Grad <math>n</math>. Datei:ApproxWith4Degrees.svgBeste Approximation der Funktion <math>\tfrac{1}{37/12-x}</math> (rot) durch Polynome vom Grad 0, 1 und 2. Die Maximalabweichungen sind durch senkrechte Balken dargestellt, die in alternierender Richtung von der Funktion abstehen. Beim Grad 3 würden die Fehlerbalken unter die Pixelgrenze fallen.
Beste Approximation: Die angegebenen Relationen definieren eine monotone und bijektive Abbildung
zwischen zwei offenen Intervallen, bei der unter den Vielfachen von <math>\pi</math> (und damit den Extremstellen des Kosinus) genau die Werte <math>\pi,2\pi,\ldots,n\pi</math> getroffen werden. (Dabei sind die jeweiligen Hauptwerte der Arkusfunktionen genommen worden.) Fügt man die Intervallgrenzen <math> x_0 = 1 </math> mit <math> n\varphi + \psi = 0 </math> und <math> x_{n+1} = -1 </math> mit <math> n\varphi + \psi = (n+1)\pi </math> hinzu, dann hat man die <math> n+2 </math> Alternanten <math>x_0 > \dots > x_i > \dots > x_{n+1}</math>, für die die Fehlerfunktion <math> f(x) - p_n(x) = E_n \cos(n\varphi + \psi) </math> genau <math> n+2 </math> mal alternierend den jeweiligen Extremwert <math> (-1)^i E_n </math> annimmt.
Die ersten 4 Approximationen für <math>r=\tfrac{37}{12}</math>
