Angeordnete Gruppe

In der Gruppentheorie, einer Teildisziplin der Mathematik, ist eine angeordnete Gruppe (engl. left-orderable group) eine Gruppe zusammen mit einer totalen Ordnung „<math><</math>“, die mit der durch die Multiplikation gegebenen Linkstranslation verträglich ist. Bekannte Beispiele sind die Gruppen der ganzen und reellen Zahlen.

Definition

Sei <math>G</math> eine Gruppe. Eine links-invariante Anordnung auf <math>G</math> ist eine totale Ordnung, so dass für alle <math>a,b,c\in G</math> gilt:

<math>a<b\Longleftrightarrow ca<cb</math>.

Eine angeordnete Gruppe ist eine Gruppe mit einer links-invarianten Ordnung.

Äquivalent kann man eine links-invariante Ordnung charakterisieren durch eine disjunkte Zerlegung

<math>G=P\cup N\cup \left\{Id\right\}</math>

mit <math>P \cdot P\subset P</math> und <math>P^{-1}=N</math>.

Die Anordnung ergibt sich aus der Zerlegung via

<Math>a<b\Longleftrightarrow a^{-1}b\in P</Math>.

Beispiele

• <math>\mathbb Z</math> und <math>\mathbb R</math> sind angeordnete Gruppen.
• Wenn es in einer Gruppe Torsionselemente (d. h. Elemente endlicher Ordnung) gibt, dann kann die Gruppe keine links-invariante Anordnung haben.
• Jede torsionsfreie abelsche Gruppe ist eine angeordnete Gruppe.
• Freie Gruppen sind angeordnet.
• <math>SL(2,\R)</math> und <math>SL(2,\mathbb Z\left[\frac{1}{p}\right])</math> besitzen keine links-invariante Anordnung.
• Satz von Dehornoy: Zopfgruppen sind angeordnet.
• Satz von Rourke-Wiest: Abbildungsklassengruppen von Flächen mit nichtleerem Rand sind angeordnet.
• Satz von Boyer-Rolfsen-Wiest: Fundamentalgruppen <math>\pi_1M</math> von kompakten, <math>P^2</math>-irreduziblen 3-Mannigfaltigkeiten <math>M</math> mit <math>b_1(M)>0</math> sind angeordnet.
• Wenn <math>K</math> und <math>H</math> angeordnete Gruppen sind und

<math>0\rightarrow K\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0</math>

eine kurze exakte Sequenz ist, dann besitzt <math>G</math> eine links-invariante Anordnung, die mit der von <math>K</math> kompatibel ist und für die die Abbildung <math>G\rightarrow H</math> monoton ist.

• Satz von Burns-Hale: Eine Gruppe <math>G</math> besitzt eine links-invariante Anordnung, wenn es zu jeder endlich erzeugten Untergruppe <math>H\subset G</math> einen surjektiven Homomorphismus <math>\phi:H\rightarrow L_H</math> auf eine angeordnete Gruppe <math>L_H\not=1</math> gibt. Insbesondere besitzt <math>G</math> eine links-invariante Anordnung, wenn für jede endlich erzeugte Untergruppe <math>H\subset G</math> gilt: <math>H^1(H,\mathbb Z)\not=0</math>.
• Die universelle Überlagerung von <math>SL(2,\mathbb R)</math> ist eine angeordnete Gruppe, obwohl <math>H^1(H,\mathbb Z)=0</math> für alle ihre endlich erzeugten Untergruppen <Math>H</Math> gilt.
• Eine abzählbare Gruppe besitzt eine links-invariante Anordnung dann und nur dann, wenn sie isomorph zu einer Untergruppe von <math>Homeo^+(\mathbb R)</math>, der Gruppe der orientierungs-erhaltenden Homöomorphismen des <math>\mathbb R^1</math>, ist.
• Satz von Hölder: Eine Gruppe besitzt eine links-invariante archimedische Anordnung dann und nur dann, wenn sie isomorph zu einer Untergruppe von <math>\mathbb R</math> ist.

Bi-invariante Anordnungen

Eine rechts-invariante Anordnung auf einer Gruppe <math>G</math> ist eine totale Ordnung, so dass für alle <math>a,b,c\in G</math> gilt:

<math>a<b\Longleftrightarrow ac<bc</math>.

Jede angeordnete Gruppe besitzt auch eine rechts-invariante Anordnung, die aber im Allgemeinen nicht mit der links-invarianten Anordnung übereinstimmt.

Eine bi-invariante Anordnung ist eine Anordnung, die gleichzeitig links- und rechts-invariant ist. Zum Beispiel besitzen torsionsfreie abelsche Gruppen oder die reine Zopfgruppe eine bi-invariante Anordnung.

Siehe auch

• Geordnete abelsche Gruppe

Literatur

• Robert G. Burns, V. W. D. Hale: A note on group rings of certain torsion-free groups. In: Canadian Mathematical Bulletin. Bd. 15, Nr. 3, 1972, S. 441–445, doi:10.4153/CMB-1972-080-3.
• Danny Calegari: Circular groups, planar groups, and the Euler class. In: Cameron Gordon, Yoav Rieck (Hrsg.): Proceedings of the Casson Fest (Arkansas and Texas 2003) (= Geometry & Topology Monographs. Bd. 7, ISSN 1464-8989). University of Warwick – Mathematics Institute, Coventry 2004, S. 431–491, doi:10.2140/gtm.2004.7.431.
• Patrick Dehornoy, Ivan Dynnikov, Dale Rolfsen, Bert Wiest: Why are braids orderable? (= Panoramas et Synthèses. Bd. 14). Société Mathématique de France, Paris 2002, ISBN 2-85629-135-X.

Weblinks

• Clay, Rolfsen: Ordered groups and topology
• Deroin, Neves, Rivas: Groups, Orders and Dynamics