Antidiagonalmatrix

Vorlage:Hinweisbaustein Als Antidiagonalmatrix bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Gegendiagonale Null sind. Sie ist also von der Form

<math>A = \begin{pmatrix}

 0 &  \cdots & 0 & q_n \\ 
 \vdots & \scriptstyle\cdot^{\,\scriptstyle\cdot^{\,\scriptstyle\cdot}} & q_{n-1} & 0 \\
 0 & \scriptstyle\cdot^{\,\scriptstyle\cdot^{\,\scriptstyle\cdot}} & \scriptstyle\cdot^{\,\scriptstyle\cdot^{\,\scriptstyle\cdot}} & \vdots \\
 q_1 & 0 & \cdots & 0

\end{pmatrix}</math>.

Formale Definition

Eine <math>n\times n</math>-Matrix <math>A=(a_{ij})_{i,j=1,\ldots,n}</math> heißt antidiagonal, wenn für alle <math>i,j\in\left\{1,\ldots,n\right\}</math> mit <math>i+j\not=n+1</math> der <math>(i,j)</math>-Eintrag Null ist:

<math>i+j\not=n+1\Rightarrow a_{ij}=0</math>.

Beispiel

Ein Beispiel einer Antidiagonalmatrix ist

<math> \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>.

Eigenschaften

Die Determinante von

<math>A = \begin{pmatrix}

 0 &  \cdots & 0 & q_n \\ 
 \vdots & \scriptstyle\cdot^{\,\scriptstyle\cdot^{\,\scriptstyle\cdot}} & q_{n-1} & 0 \\
 0 & \scriptstyle\cdot^{\,\scriptstyle\cdot^{\,\scriptstyle\cdot}} & \scriptstyle\cdot^{\,\scriptstyle\cdot^{\,\scriptstyle\cdot}} & \vdots \\
 q_1 & 0 & \cdots & 0

\end{pmatrix}</math>

ist

<math>\det(A)=(-1)^{n \choose 2}q_1q_2\ldots q_n.</math>

Falls alle <math>q_i</math> von Null verschieden sind, dann ist <math>A</math> invertierbar und die zu <math>A</math> inverse Matrix ist

<math>A^{-1} = \begin{pmatrix}

 0 &  \cdots & 0 & \frac{1}{q_Vorlage:1} \\ 
 \vdots & \scriptstyle\cdot^{\,\scriptstyle\cdot^{\,\scriptstyle\cdot}} & \frac{1}{q_Vorlage:2} & 0 \\
 0 & \scriptstyle\cdot^{\,\scriptstyle\cdot^{\,\scriptstyle\cdot}} & \scriptstyle\cdot^{\,\scriptstyle\cdot^{\,\scriptstyle\cdot}} & \vdots \\
 \frac{1}{q_n} & 0 & \cdots & 0

\end{pmatrix}</math>-

Das Produkt zweier Antidiagonalmatrizen ist eine Diagonalmatrix. Das Produkt einer Antidiagonalmatrix mit einer Diagonalmatrix (oder umgekehrt) ist eine Antidiagonalmatrix.

Antidiagonalmatrizen sind persymmetrisch.