Approximative Pivotstatistik

Eine approximative Pivotstatistik ist eine Folge von Funktionen in der mathematischen Statistik, die zur Konstruktion von approximativen Konfidenzbereichen verwendet wird. Sie bildet somit das asymptotische Pendant zur Pivotstatistik, welche zur Konstruktion von (nichtapproximativen) Konfidenzbereichen verwendet wird.

Definition

Rahmenbedingungen

Für <math> n \in \N </math> seien <math> (X_n, \mathcal A_n )</math> Messräume und <math> (P_{\vartheta,n})_{\vartheta \in \Theta} </math> Familien von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf <math> (X_n, \mathcal A_n) </math>. Sei <math> (\Gamma, \mathcal A_{\Gamma}) </math> ein weiterer Messraum sowie

<math> g \colon \Theta \to \Gamma </math>

die zu schätzende Funktion.

In den meisten Fällen handelt es sich bei den Messräumen und den Familien von Wahrscheinlichkeitsmaßen um <math>n</math>-fache Produktmodelle. Typisches Beispiel hierfür wäre <math> X_n=\R^n </math> und als Wahrscheinlichkeitsmaß ein entsprechendes Produktmaß <math> P^n_\vartheta </math> eines Wahrscheinlichkeitsmaßes <math> P_\vartheta </math> auf <math> \R </math>.

Formalisierung

Eine Folge von Statistiken <math> (T_n)_{n \in \N} </math> mit

<math>T_n \colon X_n \times \Gamma \to \Gamma </math>

heißt eine approximative Pivotstatistik für <math> g </math>, wenn gilt:

• Es existiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> Q </math> auf <math> (\Gamma, \mathcal A_{\Gamma}) </math>, so dass die Verteilung von <math> T_n( \cdot, g(\vartheta )) </math> für alle <math> \vartheta \in \Theta </math> gegen <math> Q </math> konvergiert. Es ist also

<math> P_\vartheta \circ T_n(\cdot, g(\vartheta))^{-1}\stackrel{\mathcal D}{\rightarrow} Q </math> für <math> n \to \infty </math> und für alle <math> \vartheta \in \Theta </math>.

• Für alle Mengen <math> B \in A_\Gamma </math> ist <math> \{ x \in X_n \mid T_n(x,g(\vartheta)) \in B \} </math> in <math> \mathcal A^n </math> enthalten.

Die zweite Bedingung garantiert, dass allen Mengen in <math> \mathcal A_\Gamma </math> sinnvoll Wahrscheinlichkeiten durch die Wahrscheinlichkeitsmaße <math> P_\vartheta </math> zugeordnet werden können, das heißt die Verteilung von <math> T_n(\cdot, g(\vartheta) ) </math> für alle <math> \vartheta </math> wohldefiniert ist.

Beispiel

Betrachte ein Bernoulli-Produktmodell, also

<math> X=\{0,1\} \text{ und } \mathcal A=\mathcal P\{0,1\} </math>

versehen mit der Bernoulli-Verteilung zum Parameter <math> \vartheta \in (0,1) </math>.

Das <math>n</math>-fache Produktmodell ist dann <math> (X^n, \mathcal A^n, (\operatorname{Ber}_\vartheta^n)_{\vartheta \in (0,1)} ) </math>. Geschätzt werden soll der Parameter der Bernoulli-Verteilung, also ist die zu schätzende Funktion

<math> g(\vartheta)=\vartheta </math>.

Sei <math> X= (X_1, X_2, \dots, X_n ) </math> die Stichprobenvariable. Die <math>X_i </math> sind unabhängig identisch verteilt und es ist

<math> T_n(X, \vartheta)= \sqrt n \left( \frac{\left(\tfrac 1n \sum_{i=1}^n X_i\right) - \vartheta}{\sqrt{\vartheta (1- \vartheta)}}\right) </math>

eine approximative Pivotstatistik, da sie nach dem Satz von Moivre-Laplace gegen die Standardnormalverteilung konvergiert. Es ist also <math> Q= \mathcal N(0,1) </math>.

Quellen

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 233–236, doi:10.1007/978-3-642-41997-3. 
• Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, S. 144–145, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.