Austauschbare σ-Algebra

Die austauschbare σ-Algebra ist ein spezielles Mengensystem in der Stochastik, dessen Elemente invariant unter gewissen Permutationen sind. Austauschbare σ-Algebren treten beispielsweise im Kontext von austauschbaren Familien von Zufallsvariablen oder dem 0-1-Gesetz von Hewitt-Savage auf.

Definition

Gegeben sei ein stochastischer Prozess <math> X=(X_n)_{n \in \N } </math>, wobei jedes <math> X_n </math> Werte in <math> E </math> habe. Sei

<math> \mathbf F_n:=\{f \, | \, f: E^{\N} \to \R \text{ ist messbar und n-symmetrisch } \} </math>

die Menge aller messbaren n-symmetrischen Abbildungen.

Definiere

<math> \mathcal S_n :=\sigma ( \mathbf F_n ) </math>

die von diesen Funktionen erzeugte σ-Algebra. Dann ist

<math> \mathcal E_n :=X^{-1}(\mathcal S_n) </math>

die σ-Algebra aller unter Permutationen der ersten <math>n</math> Indizes des stochastischen Prozesses invarianten Ereignisse. Die austauschbare σ-Algebra ist dann definiert als

<math> \mathcal E = \bigcap_{n=1}^\infty \mathcal E_n </math>

und somit die σ-Algebra aller unter Permutationen endlich vieler Indizes des stochastischen Prozesses invarianten Ereignisse.

Beziehung zur terminalen σ-Algebra

Die terminale σ-Algebra ist stets in der austauschbaren σ-Algebra enthalten, denn mit der Darstellung für die terminale σ-Algebra

<math> \mathcal T = \bigcap_{n \in \N} \sigma (X_{n+1}, X_{n+2}, \dots) </math>

ist immer

<math> \sigma (X_{n+1}, X_{n+2}, \dots) \subset \mathcal E_n </math>

und damit

<math> \mathcal T = \bigcap_{n \in \N} \sigma (X_{n+1}, X_{n+2}, \dots) \subset \bigcap_{n \in \N} \mathcal E_n = \mathcal E </math>.

Es lassen sich auch Beispiele konstruieren, bei denen die austauschbare σ-Algebra Mengen enthält, die nicht in der terminalen σ-Algebra enthalten sind. Die austauschbare σ-Algebra ist dann echt größer als die terminale σ-Algebra. Dies ist z. B. dann der Fall, wenn <math>|E|>1</math> ist, da dann ein <math>B\in \mathcal{B}(E)\setminus \{\emptyset, E\}</math> existiert und <math>S=\sum \limits_{i=1}^{\infty}\mathbf{1}_{B}(X_i)</math> zwar <math>\mathcal{E}</math>-messbar ist, aber <math>\{S=s\}\notin \mathcal{T}</math> für <math>s\in \mathbb{N}</math>. Hier ist die Inklusion strikt.

Umgekehrt lässt sich zeigen, dass für eine austauschbare Familie von Zufallsvariablen <math> X=(X_1, X_2, \dots ) </math> zu jeder Menge <math> A \in \mathcal E </math> ein terminales Ereignis <math> B \in \mathcal T </math> existiert, so dass <math> P(A \,\triangle\, B)=0 </math> (der umgekehrte Schluss ist wegen <math> \mathcal T \subset \mathcal E </math> trivial). Zu jeder Menge aus der austauschbaren σ-Algebra existiert also eine Menge in der terminalen σ-Algebra, so dass die Differenz eine Nullmenge wird.

Daraus lässt sich sofort das 0-1-Gesetz von Hewitt-Savage ableiten, nämlich dass die austauschbare σ-Algebra einer unabhängig identisch verteilten Folge von Zufallsvariablen eine P-triviale σ-Algebra ist. Nach dem kolmogorowschen Null-Eins-Gesetz ist dann nämlich die terminale σ-Algebra P-trivial und aufgrund des obigen Ergebnisses auch die austauschbare σ-Algebra.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 237–247, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.