Bers-Schnitt
In der Mathematik sind Bers-Schnitte (engl. Bers slices) die Bilder gewisser Einbettungen des Teichmüller-Raums in den Raum der quasifuchsschen Gruppen. Sie haben oft eine fraktale Gestalt.
Bers-Schnitte und die mit ihrer Hilfe definierte skinning map spielen eine Rolle in vielen Beweisen der niedrig-dimensionalen Geometrie, zum Beispiel in Thurstons Beweis der Geometrisierung von Haken-Mannigfaltigkeiten.
Konstruktion[Bearbeiten]
Sei <math>S</math> eine geschlossene Fläche und <math>\Gamma</math> die zugehörige Flächengruppe. Man bezeichnet mit <math>{\mathcal{T}}(\Gamma)</math> den Teichmüller-Raum von <math>S</math> und mit <math>QF(\Gamma)</math> den Raum aller derjenigen Homomorphismen <math>\Gamma\to PSL(2,\Complex)</math>, deren Bild eine quasifuchssche Gruppe ist.
Simultane Uniformisierung gibt eine Bijektion
- <math>QF(\Gamma)={\mathcal{T}}(\Gamma)\times {\mathcal{T}}(\Gamma)</math>.
Für ein fixiertes <math>X\in {\mathcal{T}}(\Gamma)</math> heißt dann die
- <math> {\mathcal{T}}(\Gamma)\times\left\{X\right\}</math>
entsprechende Teilmenge von <math>QF(\Gamma)</math> der (zu <math>X</math> gehörende) Bers-Schnitt.
Bers-Kompaktifizierung[Bearbeiten]
Mittels der Einbettung von <Math>QF(\Gamma)</Math> in den Modulraum <Math>AH(\Gamma)</Math> der markierten hyperbolischen Mannigfaltigkeiten homotopieäquivalent zu <Math> S\times\left[0,1\right]</Math> kann man den Bers-Schnitt in diesen Modulraum einbetten. Sein Bild ist relativ kompakt, seine Kompaktifizierung heißt Bers-Kompaktifizierung des Teichmüller-Raums.
Kerckhoff und Thurston haben bewiesen, dass die Wirkung der Abbildungsklassengruppe auf der Bers-Kompaktifizierung des Teichmüller-Raums nicht stetig ist. Insbesondere stimmt die Bers-Kompaktifizierung nicht mit Thurstons Kompaktifizierung des Teichmüller-Raums überein.
Skinning map[Bearbeiten]
Für eine geometrisch endliche hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit <Math>M</math> gibt ihr konformer Rand einen Punkt im Teichmüller-Raum <math>{\mathcal{T}}(\partial M)</math>. Andererseits ist das Bild <math>\Gamma</math> von <math>\pi_1\partial M\to\pi_1M</math> eine quasifuchssche Gruppe und gibt somit einen Punkt in <math>QF(\Gamma)={\mathcal{T}}(\Gamma)\times {\mathcal{T}}(\Gamma)</math>. Die so definierte Abbildung
- <math>{\mathcal{T}}(\Gamma)\to{\mathcal{T}}(\Gamma)\times {\mathcal{T}}(\Gamma)</math>
ist auf der ersten Komponente die Identitätsabbildung, ist also von der Form
- <math>X\to (X,\sigma_M(X))</math>.
Die Abbildung
- <math>\sigma_M\colon {\mathcal{T}}(\Gamma)\to {\mathcal{T}}(\Gamma)</math>
heißt skinning map.
Thurstons Bounded Image Theorem besagt, dass das Bild der skinning map endlichen Durchmesser hat. Es ist ein wesentlicher Schritt beim Beweis der Hyperbolisierung von Haken-Mannigfaltigkeiten.
Literatur[Bearbeiten]
- Lipman Bers: Uniformization, moduli, and Kleinian groups. Bull. London Math. Soc. 4 (1972), 257–300. pdf
- Komori-Sugawa: Bers embedding of the Teichmüller space of a once-punctured torus. Conform. Geom. Dyn. 8 (2004), 115–142 pdf
- Komori-Sugawa-Wada-Yamashita: Drawing Bers embeddings of the Teichmüller space of once-punctured tori. Experiment. Math. 15 (2006), no. 1, 51–60. pdf