Biegewelle
Biegewellen sind transversale Wellen, die sich in begrenzten Medien mit nichtverschwindender Schubspannung ausbreiten können, beispielsweise in Balken (Anwendungsfall: u. a. Triangel) und in Platten (Anwendungsfall: u. a. Glocken). Im Gegensatz zu Dehnwellen findet die periodische Auslenkung des Mediums senkrecht („transversal“) zur Ausbreitungsrichtung statt, so dass die Welle auch als periodische Änderung des Krümmungsradius beschrieben wird.
Wellengleichung[Bearbeiten]
Balken[Bearbeiten]
Die Wellengleichung einer Biegewelle auf einem Balken lautet in erster Ordnung nach der Euler-Bernoulli-Theorie:
- <math>\frac{\partial^2 z}{\partial t^2} + \frac{E \cdot I}{\rho \cdot A} \cdot \frac{\partial^4 z}{\partial x^4} = 0</math>
mit
- <math>z(\vec{x},t)</math> die transversale Auslenkung (in der Abb.: z senkrecht, x waagerecht)
- <math>t</math> die Zeit
- <math>E</math> der Elastizitätsmodul
- <math>I</math> das Flächenträgheitsmoment
- <math>E \cdot I</math> die Biegesteifigkeit
- <math>\rho</math> die Dichte des Balkens
- <math>A</math> die Balkenquerschnittsfläche.
Für eine Dimension (Ortsvariable <math>x</math>) ergibt sich aus dem harmonischen Lösungsansatz
- <math>z = z_0 \cdot e^{i(\omega t + k x)}</math>
mit
- der Amplitude <math>z_0</math>
- der Eulerschen Zahl <math>e</math>
- der imaginären Einheit <math>i</math>
- der Kreisfrequenz <math>\omega = 2\pi \cdot f</math>
- der Kreiswellenzahl <math>k</math>
die Dispersionsrelation:
- <math>k^2 = \sqrt{\frac{\rho \cdot A}{E \cdot I}} \cdot \omega.</math>
Die Phasengeschwindigkeit <math>c = \frac{\omega}{k}</math> ist damit stark von der Frequenz <math>f</math> (und damit auch von <math>\omega</math>) abhängig:
- <math>c = \sqrt{\omega} \cdot \sqrt[4\,]{\frac{E \cdot I}{\rho \cdot A} }</math>.
Platte[Bearbeiten]
Die entsprechende Gleichung für eine Biegewelle auf einer Platte lautet:
- <math>\frac{\partial^2 z}{\partial t^2} + \frac{E \, h^2}{12 \rho (1 - \mu^2)} \, \nabla ^ 4 z = 0</math>
mit den zusätzlichen Bezeichnungen
- <math>h</math> die Höhe der Platte
- <math>\mu</math> die Querkontraktionszahl
- <math>\nabla</math> der Nabla-Operator.
Diese Gleichung führt auf die Dispersionsrelation
- <math>k^2 = \frac{\sqrt{12}}{h} \cdot \sqrt{\frac{\rho \cdot (1 - \mu^2)}{E}} \cdot \omega</math>
und die Phasengeschwindigkeit:
- <math>c = \sqrt{\omega} \cdot \sqrt[4 \,]{\frac{h^2 \cdot E}{ 12 \cdot \rho \cdot (1 - \mu^2)}}.</math>
Gruppengeschwindigkeit[Bearbeiten]
In beiden Fällen ist die Gruppengeschwindigkeit <math>c_g = \frac{d\omega}{dk}</math> gerade doppelt so groß wie die Phasengeschwindigkeit:
- <math>c_g = 2 \cdot c</math>.
Literatur[Bearbeiten]
- Michael Möser: Technische Akustik. 7. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-71386-9 (google-books)