Biquadrat
Als Biquadrat wird in der Mathematik das „Quadrat des Quadrates“ bezeichnet, also die vierte Potenz einer Zahl, beispielsweise <math>(5^2)^2=5^4</math>.<ref>Biquadrat. Abgerufen am 25. Oktober 2013.</ref>
Biquadratische Gleichungen sind polynomiale Gleichungen, in denen ein Biquadrat als höchste Potenz auftaucht. Spezieller wird zusätzlich oft noch gefordert, dass eine biquadratische Gleichung nur gerade Exponenten aufweist: <math>ax^4 + cx^2 + e = 0 , \quad a\ne 0</math>
Identitäten[Bearbeiten]
Für Biquadrate gilt die Identität von Ferrari, die auf eine Publikation des Mathematikers Francesco Ferrari aus dem Jahre 1909 zurückgeht und besagt, dass für beliebige komplexe Zahlen <math>\,\ a,b,c \in \C </math> stets folgendes gilt:<ref name="MW-01"> Eric W. Weisstein: Diophantine Equation--4th Powers. In: MathWorld (englisch). & Eric W. Weisstein: Ferrari's Identity. In: MathWorld (englisch). </ref>
- <math>
(a^2+2ac-2bc-b^2)^4 +(b^2-2ab-2ac-c^2)^4+ (c^2+2ab+2bc-a^2)^4 = 2(a^2+b^2+c^2-ab+ac+bc)^4 </math>
Gleichwertig ist damit eine von S. Ramanujan gefundene Identität, der zufolge für <math> a+b+c=0 </math> stets
<math> 2(ab+bc+ca)^4 = a^4(b-c)^4 + b^4(c-a)^4 + c^4(a-b)^4 </math>
gilt.
Einzelnachweise[Bearbeiten]
<references />