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Birkhoff-Integral

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Das Birkhoff-Integral ist ein Integralbegriff, der 1935 von Garrett Birkhoff zur Integration von banachraumwertige Funktionen eingeführt wurde. Während das Bochner-Integral die direkte Verallgemeinerung des Lebesgueschen Integralbegriffs auf banachraumwertige Funktionen ist, stellt das Birkhoff-Integral in zweifacher Hinsicht eine Verallgemeinerung des Riemann-Integrals dar. Zum einen werden nun Funktionen betrachtet, welche über einem beliebigen <math>\textstyle\sigma</math>-endlichen Maßraum definiert sind. Des Weiteren werden nicht nur endliche Summen (die sog. Riemann-Summen) betrachtet, sondern unbedingt konvergente Reihen. Während jede Riemann-integrierbare Funktion auf dem <math>\mathbb R^n</math> Lebesgue-integrierbar ist, gilt andererseits, dass jede Bochner-integrierbare Funktion auf einem <math>\textstyle\sigma</math>-endlichen Maßraum Birkhoff-integrierbar sein muss.

Definition[Bearbeiten]

Es seien <math>\textstyle(\Omega,\mathcal A,\mu)</math> ein <math>\textstyle\sigma</math>-endlicher Maßraum und <math>\textstyle(B,\|\cdot\|)</math> ein Banachraum und <math>\textstyle f\colon\Omega\to B</math> eine Funktion. Als Vorbereitung auf die eigentliche Definition werden hier zunächst drei grundlegende Abkürzungen eingeführt:

  • Für eine Menge <math>\textstyle\emptyset\ne M\subseteq B</math> wird der Durchmesser definiert durch <math>\textstyle\mathrm{diam}(M):=\sup_{x,y\in M}\|x-y\|</math>.
  • Für eine Menge <math>\textstyle\emptyset\ne M\subseteq B</math> bezeichnet <math>\textstyle\mathrm{konv}(M)</math> die konvexe Hülle von <math>\textstyle M</math>.
  • Eine Teilmenge <math>\textstyle\Gamma</math> der <math>\textstyle\sigma</math>-Algebra <math>\textstyle\mathcal A</math> heißt abzählbare <math>\textstyle\mu</math>-Partition von <math>\textstyle\Omega</math>, wenn
    • <math>\textstyle\Gamma</math> eine abzählbare Partition von <math>\textstyle\Omega</math> ist und
    • jede Menge in <math>\textstyle\Gamma</math> endliches Maß hat, also gilt <math>\textstyle\forall M\in\Gamma: \mu(M)<\infty</math>.

Mit Hilfe dieser Begrifflichkeiten kann nun das Birkhoff-Integral sozusagen als Verallgemeinerung des Riemann-Integrals definiert werden. Zuerst wird der Begriff der Riemann-Summen über einer Partition des Definitionsbereichs verallgemeinert:

<math>\textstyle f</math> heißt unbedingt summierbar unter der abzählbaren <math>\textstyle\mu</math>-Partition <math>\textstyle\Gamma</math> von <math>\textstyle\Omega</math>, wenn gilt: <math>\textstyle\forall (b_{M})_{M\in\Gamma}\in\prod_{M\in\Gamma}f(M) \colon \sum_{M\in\Gamma}\mu(M)b_{M}</math> ist unbedingt konvergent.

Jede formal mögliche abzählbare Riemann-Summe über der <math>\textstyle\mu</math>-Partition muss also unbedingt konvergent sein. In der nächsten Definition werden dann alle Riemann-Summen-Werte dieser <math>\textstyle\mu</math>-Partition gesammelt:

<math>\sum_{M\in\Gamma}\mu(M)f(M):=\bigg\{\sum_{M\in\Gamma}\mu(M)b_{M}\,\Big|\,\forall\,M\in\Gamma:b_{M}\in f(M)\bigg\}</math>.

Man nennt <math>\textstyle f</math> (unbedingt) Birkhoff-integrierbar, wenn es eine Folge <math>\textstyle(\Gamma_i)_{i\in\mathbb{N}}</math> von abzählbaren <math>\textstyle\mu</math>-Partitionen gibt mit <math>\textstyle\forall\,i\in\mathbb{N}:f</math> ist unbedingt summierbar unter <math>\textstyle\Gamma_{i}</math> und zudem noch gilt

<math>\displaystyle\lim_{i\to\infty}\mathrm{diam}\bigg(\overline{\mathrm{konv}\Big(\sum_{M\in\Gamma_{i}}\mu(M)f(M)\Big)}\bigg)=0</math>.

Die Durchmesser der zur Partitionsfolge gehörigen Mengen der Riemann-Summen-Werte (zuvor konvex- und dann topologisch abgeschlossen) müssen also gegen Null konvergieren. Dann gibt es nämlich genau ein Element <math>\textstyle b</math> im Durchschnitt

<math>\bigcap_{i=1}^{\infty}\overline{{\rm konv}\Big(\sum_{M\in\Gamma_{i}}\mu(M)f(M)\Big)}</math>.

Dieses ist zudem unabhängig von der konkreten Wahl der Folge <math>\textstyle(\Gamma_i)_{i\in\mathbb{N}}</math> und als das (unbedingte) Birkhoff-Integral definiert man

<math>\int_\Omega f\,{\rm d}\mu:=b</math>.

Vergleich mit anderen Integralbegriffen[Bearbeiten]

  • Jede auf einem <math>\textstyle\sigma</math>-endlichen Maßraum definierte Bochner-integrierbare Funktion ist auch Birkhoff-integrierbar und die entsprechenden Integralwerte stimmen dann überein. Es gibt jedoch Birkhoff-integrierbare Funktionen, die nicht Bochner-integrierbar sind.
  • Wird die Definition des Riemann-Integrals direkt mittels Riemann-Summen auf banachraumwertige Funktionen verallgemeinert, so ist im Allgemeinen nicht mehr jede Riemann-integrierbare Funktion auch Bochner-integrierbar, aber dafür Birkhoff-integrierbar.
  • Ein Beispiel für eine nicht Bochner-integrierbare aber Birkhoff-integrierbare (sogar Riemann-integrierbare) Funktion ist:
Sei <math>\textstyle\;\ell^2\left([0,1]\right):=\left\{(x_i)_{i\in [0,1]} \in \R^{[0,1]}\;\Big|\;\sum_{i\in [0,1]} x_i^2 < \infty \right\}\,</math> versehen mit der Norm <math>\textstyle\|(x_i)_{i\in [0,1]}\|:=\sqrt{\left(\sum_{i\in [0,1]} x_i^2\right)}</math>, siehe allgemeiner <math>\textstyle\ell^p</math>-Raum und <math>\textstyle f \colon [0,1]\to\ell^2\left([0,1]\right);\,x\mapsto\chi_{\{x\}}</math>, wobei das Bild von <math>\textstyle x</math> unter <math>\textstyle f</math> gerade die Charakteristische Funktion von <math>\textstyle x</math> ist.
<math>\textstyle f</math> ist nicht Bochner-integrierbar, denn sonst wäre <math>\textstyle f</math> auch <math>\textstyle \mu</math>-messbar. Mit Hilfe des Messbarkeitssatz von Pettis folgt aber, dass <math>\textstyle f</math> nicht <math>\textstyle \mu</math>-messbar ist, denn <math>\textstyle f\left([0,1]\right)</math> ist nicht <math>\textstyle \mu</math>-fast überall separabel. Das Riemann-Integral und damit auch das Birkhoff-Integral von <math>\textstyle f</math> ist <math>\textstyle \mathfrak{0} \colon [0,1]\to\mathbb{R};\,x\mapsto 0</math>.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Das Birkhoff-Integral ist linear. Für zwei Birkhoff-integrierbare Funktionen <math>\textstyle f,g \colon\Omega\to B</math> und <math>\alpha,\beta\in\mathbb{K}</math> ist auch <math>\alpha f+\beta g</math> Birkhoff-integrierbar und es gilt:
<math>\int_{\Omega}\alpha f+\beta g\,{\rm d}\mu=\alpha\int_{\Omega}f\,{\rm d}\mu+\beta\int_{\Omega}g\,{\rm d}\mu</math>.
  • Für die Birkhoff-Integrierbarkeit von <math>\textstyle f \colon \Omega\to B</math> gibt es eine relativ neue äquivalente Charakterisierung, siehe M. Potyrala:
<math>f</math> ist genau dann Birkhoff-integrierbar mit <math>\textstyle x=\int_{\Omega}f\,{\rm d}\mu</math> wenn gilt
<math>\forall\,\varepsilon >0\,\exists\,</math> eine abzählbare <math>\textstyle\mu</math>-Partition <math>\textstyle\Gamma:f</math> ist unbedingt summierbar unter <math>\textstyle\Gamma</math> und <math>\textstyle\;\;\sup\Big\{\,\|y-x\|\,\Big|\,y\in\sum_{M\in\Gamma}\mu(M)f(M)\,\Big\}<\varepsilon</math>.
  • Es sei <math>\textstyle D</math> ein weiterer Banachraum, <math>f \colon \Omega\to B</math> Birkhoff-integrierbar und <math>\textstyle T \in L(B,D)</math> ein stetiger linearer Operator. Dann ist die Verkettung <math>\textstyle T\circ f \colon \Omega \to D</math> eine Birkhoff-integrierbare Funktion und es gilt:
<math>T \left(\int_\Omega f \mathrm{d} \mu \right) = \int_\Omega T\circ f \mathrm{d} \mu</math>.

Literatur[Bearbeiten]

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