Borel-Isomorphie

Als Borel-Isomorphie wird eine Beziehung zwischen zwei Messräumen in der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet. Sind zwei Messräume Borel-isomorph, so sind sie aus maßtheoretischer Sicht gleich. Das erlaubt es, Argumentationen und Strukturen von dem einen Raum auf den anderen Raum zu übertragen.

Definition

Gegeben seien zwei Messräume <math> (S, \mathcal B(S)), (T, \mathcal B(T)) </math>, wobei als σ-Algebra jeweils die entsprechende Borelsche σ-Algebra gewählt sei.

Dann heißen die beiden Messräume Borel-isomorph, wenn es eine Funktion

<math> f \colon (S, \mathcal B(S)) \to (T, \mathcal B(T)) </math>

gibt, die folgende Eigenschaften besitzt:

• <math> f </math> ist bijektiv
• <math> f </math> ist bimessbar

Dabei heißt eine Funktion <math> f </math> bimessbar, wenn sowohl <math> f </math> als auch die Umkehrfunktion <math> f^{-1} </math> messbar sind.

Borel-Räume

→ Hauptartikel: Standard-Borel-Raum

Wichtiges Beispiel für Borel-Isomorphie sind die sogenannten Borel-Räume. Dies sind Messräume, die Borel-isomorph zu einer Borel-messbaren Teilmenge der reellen Zahlen (versehen mit der entsprechenden Spur-<math> \sigma </math>-Algebra der Borelschen σ-Algebra auf <math> \R </math>) sind.

Belege

• Olav Kallenberg: Random Measures, Theory and Applications. Springer, Switzerland 2017, doi:10.1007/978-3-319-41598-7.