Borwein-Integral
In der Mathematik bezeichnet Borwein-Integral Integralterme, die Produkte der Sinc-Funktion enthalten und deren ungewöhnliche Eigenschaften erstmals 2001 von den Mathematikern David Borwein und Jonathan Borwein vorgestellt wurden.
Folgen dieser Integrale sind bekannt dafür, dass sie scheinbare Muster beinhalten, die sich dann aber als falsch herausstellen.
Einfache Folge[Bearbeiten]
Die einfachste Folge sind folgende Integrale, die für die ersten sieben Glieder exakt <math>\pi/2</math>, danach aber minimal kleinere Werte liefert.
- <math>
\begin{align} & A_1 = \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \, \mathrm dx = \pi/2 \\[10pt] & A_2 = \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \frac{\sin(x/3)}{x/3} \, \mathrm dx = \pi/2 \\[10pt] & A_3 = \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \frac{\sin(x/3)}{x/3} \frac{\sin(x/5)}{x/5} \, \mathrm dx = \pi/2 \end{align} </math>
Dieses Muster wiederholt sich bis
- <math> A_7 = \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \frac{\sin(x/3)}{x/3} \cdots \frac{\sin(x/13)}{x/13} \, \mathrm dx = \pi/2</math>
Das folgende Glied lautet aber:
- <math>
\begin{align} A_8 & = \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \frac{\sin(x/3)}{x/3} \cdots \frac{\sin(x/13)}{x/13} \frac{\sin(x/15)}{x/15} \, \mathrm dx \\[10pt]
& = \frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}\pi \\[10pt]
& = \frac{\pi}{2} - \frac{6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}\pi \\[10pt]
& \simeq \frac{\pi}{2} - 2{,}310057 \cdot 10^{-11} \ {\color{red}<}\ \frac{\pi}{2} \ .
\end{align} </math>
Auch die folgenden Glieder <math>A_9, A_{10}, \ldots</math> weichen immer weiter von <math>\pi / 2</math> ab. Der Grenzwert <math>A_\infty</math> liegt bei etwa <math>\,\pi / 2 - 3{,}52 \cdot 10^{-5}</math>.
- Hinweis
Man beachte <math>1/3 + 1/5 + \ldots + 1/13 = 0{,}9551\ldots \leq 1</math>, aber <math>1/3 + 1/5 + \ldots + 1/13 + 1/15 = 1{,}0218\ldots \not\leq 1</math>.
Längere Folge[Bearbeiten]
Wem das noch nicht gereicht hat, die Folge behält dieses Verhalten wesentlich länger bei:
- <math>
\begin{align} & A_{1\;} = \int_0^\infty 2 \cos(x) \frac{\sin(x)}{x} \, \mathrm dx = \pi/2 \\[10pt] & A_{2\;} = \int_0^\infty 2 \cos(x) \frac{\sin(x)}{x} \frac{\sin(x/3)}{x/3} \, \mathrm dx = \pi/2 \\[10pt] & A_{3\;} = \int_0^\infty 2 \cos(x) \frac{\sin(x)}{x} \frac{\sin(x/3)}{x/3} \frac{\sin(x/5)}{x/5} \, \mathrm dx = \pi/2 \end{align} </math> Dieses Muster wiederholt sich hier bis
- <math>A_{56} = \int_0^\infty 2 \cos(x) \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/111)}{x/111} \, \mathrm dx = \pi/2,</math>
aber nicht mehr bei diesem Glied
- <math>A_{57} = \int_0^\infty 2 \cos(x) \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/111)}{x/111}\frac{\sin(x/113)}{x/113} \, \mathrm dx \; \simeq \frac{\pi}{2} - 2{,}332429\cdot10^{-138} \ {\color{red}<}\ \frac{\pi}{2} \ .</math>
- Hinweis
Man beachte <math>1/1 + 1/3 + \ldots + 1/111 = 2{,}9944\ldots < 3</math>, aber <math>1/1 + 1/3 + \ldots + 1/111 + 1/113 = 3{,}0032\ldots > 3</math>.
Noch längere Folge[Bearbeiten]
Diese Folge reißt erst nach 14419 Gliedern aus.
- <math>
\begin{align} & A_1 = \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \, \mathrm dx = \pi/2 \\[10pt] & A_2 = \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \frac{\sin(x/11)}{x/11} \, \mathrm dx = \pi/2 \\[10pt] & A_3 = \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \frac{\sin(x/11)}{x/11} \frac{\sin(x/21)}{x/21} \, \mathrm dx = \pi/2 \end{align} </math>
Dieses Muster wiederholt sich bis
- <math> A_{14418} = \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \frac{\sin(x/11)}{x/11} \cdots \frac{\sin(x/144171)}{x/144171} \, \mathrm dx = \pi/2</math>
Das folgende Glied lautet aber:
- <math> A_{14419} = \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \frac{\sin(x/11)}{x/11} \cdots \frac{\sin(x/144171)}{x/144171} \frac{\sin(x/144181)}{x/144181} \, \mathrm dx \ {\color{red}<}\ \frac{\pi}{2} \ .</math>
- Hinweis
Man beachte <math>1/11 + 1/21 + \ldots + 1/144171 = 0{,}999995990\ldots \leq 1</math>, aber <math>1/11 + 1/21 + \ldots + 1/144171 + 1/144173 = 1{,}000002925\ldots \not\leq 1</math>.
Allgemeine Formel[Bearbeiten]
Für eine Folge reeller Zahlen, <math>a_0, a_1, a_2,\ldots</math> kann eine geschlossene Form von
- <math>\int_0^\infty \prod_{k=0}^n \frac{\sin(a_kx)}{a_kx} \, \mathrm dx</math>
gegeben werden.<ref>David Borwein, Jonathan M. Borwein: Some remarkable properties of sinc and related integrals. In: The Ramanujan Journal. Band 5, 2001, S. 73–89.</ref> Die geschlossene Form befasst sich mit Summen der <math>a_k</math>. Für ein n-Tupel <math>\gamma = (\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n)\in\{\pm 1\}^n</math> sei <math>b_{\gamma}:=a_0+\gamma_1a_1+\gamma_2a_2+\cdots+\gamma_na_n</math>. Ein solches <math> b_\gamma </math> ist eine „alternierende Summe“ der ersten <math>a_k</math>. Setze <math>\varepsilon_\gamma=\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_n=\pm 1</math>. Dann ist
- <math>\int_0^\infty \prod_{k=0}^n \frac{\sin(a_kx)}{a_kx} \, \mathrm dx = \frac{\pi}{2a_0} C_n </math>,
wobei
- <math>C_n := \frac 1 {2^nn!\prod_{k=1}^na_k} \sum_{\gamma\in\{\pm 1\}^n} \varepsilon_\gamma b_\gamma^n \sgn(b_\gamma) </math>
Falls <math>a_0 > |a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n| </math> gilt <math>C_n=1 </math>.
Einzelnachweise[Bearbeiten]
<references />