Breit-Rabi-Formel

Die Breit-Rabi-Formel (nach Gregory Breit und Isidor Isaac Rabi (1931)<ref>Gregory Breit, Isidor Isaac Rabi: Measurement of Nuclear Spin. In: Physical Review Letters. Band 38, Nr. 11, November 1931, S. 2082–2083, doi:10.1103/PhysRev.38.2082.2. </ref>) beschreibt in der Atomphysik die Hyperfeinstruktur-Aufspaltung des Wasserstoffatoms und wasserstoffähnlicher Atome (mit Valenzelektron in der s-Schale)<ref>Florian Scheck: Quantum Physics. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-34563-0, S. 284. </ref> in Abhängigkeit eines externen Magnetfeldes. Ihr Nutzen besteht vor allem darin, dass sie auch im Übergangsbereich zwischen schwachen (Zeeman-Effekt) und starken Feldstärken (Paschen-Back-Effekt) quantitativ gültig ist. Dies ist beim Wasserstoffatom von besonderer Bedeutung, weil dessen Kern- und Hüllendrehimpuls schon bei geringen Flussdichten im Bereich <math>B\approx 0{,}05\,\mathrm{T}</math> entkoppeln.

Die Breit-Rabi-Formel ist ein Ausdruck für die Energieverschiebung eines Niveaus mit allgemeinem Kernspin <math>I</math> und magnetischer Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses <math>m_F</math>, jedoch einem vorgegebenen Hüllendrehimpuls <math>J=\tfrac{1}{2}</math>. Sie lautet:<ref> Blair, B.E. and Morgan, A.H.: Frequency and Time. U.S. Government Printing Office, 1972, ISBN 978-3-642-34563-0, S. 13–14. </ref><ref>Dieter Meschede (Hrsg.): Gerthsen Physik. 25. Auflage. Springer, 2015, S. 762. </ref>

<math>{W_{I\pm\frac{1}{2},m_F} = -\frac{A}{4} + g_Im_F\mu_\mathrm{K}B\pm\frac{A(2I+1)}{4}\sqrt{1 + \frac{8m_F\left(g_J\mu_\mathrm{B} - g_I\mu_\mathrm{K}\right)}{(2I + 1)^2A}B+\left(2\frac{g_J\mu_\mathrm{B} - g_I\mu_\mathrm{K}}{A(2I+1)}B\right)^2}}</math>

Dabei ist <math>A</math> die atomspezifische Hyperfeinstruktur-Kopplungskonstante, <math>\mu_\mathrm{B}</math> das Bohrsche und <math>\mu_\mathrm{K}</math> das Kernmagneton. <math>g_J</math> und <math>g_I</math> sind die Landé-Faktoren des Hüllendrehimpulses <math>J</math> bzw. Kernspins <math>I</math>.

Herleitung für den Grundzustand des Wasserstoffatoms

Die Drehimpulse werden hier mit den Drehimpulsquantenzahlen beschrieben, die dem Betrag eines Drehimpulses in Einheiten der reduzierten Planck-Konstante <math>\hbar</math> entsprechen. Das Wasserstoffatoms hat einen Kernspin <math display="inline">I=\frac{|\vec{I}|}{\hbar}=\frac{1}{2}</math>. Das einzige Elektron hat im Grundzustand (<math>l=0</math>) nur einen Spin-Drehimpuls, der gleichzeitig auch der gesamte Hüllendrehimpuls <math display="inline">J=\frac{|\vec{J}|}{\hbar}=\frac{1}{2}</math> ist. Kernspin und Hüllendrehimpuls koppeln gemäß der Drehimpulsalgebra zum Gesamtdrehimpuls <math>\vec{F}=\vec{I}+\vec{J}</math>. Die nun folgende Herleitung für diesen einfachsten Fall lässt sich für verschiedene Werte von <math>J</math> und <math>I</math> stark verallgemeinern. Das grundsätzliche Verfahren wird in der hier vorgestellten Form jedoch gut ersichtlich.

Der Hamiltonoperator der Hyperfeinstruktur mit einem B-Feld in z-Richtung ist:<ref>Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz: Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie. 1. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-30613-9, S. 362. </ref>

<math>\hat{H}_\mathrm{HFS}=A\frac{\vec{I}\cdot\vec{J}}{\hbar^2}+\left(g_J\mu_\mathrm{B}\frac{J_z}{\hbar}-g_I\mu_\mathrm{K}\frac{I_z}{\hbar}\right)B</math>

Dieser Hamilton-Operator wird nun in einer geeigneten Basis <math>|JIFm_F\rangle</math> diagonalisiert, die sich aus "guten Quantenzahlen" zusammensetzt; mit der Projektion des Drehimpulses <math>\vec{F}</math> auf die Richtung des Magnetfeldes <math display="inline">m_F=m_J+m_I</math> (magnetische Quantenzahl). Der erste Summand des obigen Hamiltonian ist in dieser Basis diagonal und lässt sich ausdrücken als

<math>A\frac{\vec{I}\cdot\vec{J}}{\hbar^2}=\frac{A}{2}\left(F(F+1)-I(I+1)-J(J+1)\right)</math>

Die <math>z</math>-Komponenten <math>I_z</math> und <math>J_z</math> lassen sich mit dem Wigner-Eckart-Theorem ebenfalls in Matrix-Form darstellen. Die Zeilen bzw. Spalten sind links bzw. oben mit Indizes versehen, die als <math>(F|m_F)</math> zu lesen sind. Abseits der Diagonalen sind fast alle Einträge null, außer denen mit <math>m_F=0</math>, die mischen.

<math>\frac{\langle JIF'm_F'|J_z|JIFm_F\rangle}{\hbar}=

\left( \begin{array}{c|cccc} & \left(0|0\right)&\left(1|-1\right)&\left(1|0\right)&\left(1|1\right) \\ \hline

\left(0|0\right)  &  0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\
\left(1|-1\right) &  0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\
\left(1|0\right)  & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\
 \left(1|1\right) &  0 & 0 & 0 & \frac{1}{2}

\end{array}

\right)

</math>

Analog folgt für die <math>z</math>-Komponente des Kernspins:

<math>\frac{\langle JIF'm_F'|I_z|JIFm_F\rangle}{\hbar}=

\left( \begin{array}{c|cccc} & \left(0|0\right)&\left(1|-1\right)&\left(1|0\right)&\left(1|1\right) \\ \hline

\left(0|0\right)  &  0 & 0 & -\frac{1}{2} & 0\\
\left(1|-1\right) &  0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\
\left(1|0\right)  & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\
 \left(1|1\right) &  0 & 0 & 0 & \frac{1}{2}

\end{array}

\right)

</math>

Addiert man alle drei einzeln in Matrix-Darstellung gebrachten Terme auf und setzt <math>I=J=\frac{1}{2}</math> sowie <math>g_J\approx 2</math> für das Wasserstoffatom ein, dann ergibt sich für den Hamiltonian:<ref>Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz: Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie. 1. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-30613-9, S. 367 ff. </ref>

<math>\hat{H}_\mathrm{HFS}=

\left(

 \begin{array}{c|cccc}

& \left(0|0\right)&\left(1|-1\right)&\left(1|0\right)&\left(1|1\right)\\\hline (0|0) & -\frac{3A}{4} & 0 & \left(\mu_\mathrm{B}+\frac{g_I}{2}\mu_\mathrm{K}\right)B & 0\\ (1|-1)& 0 & \frac{A}{4}-\left(\mu_\mathrm{B}-\frac{g_I}{2}\mu_\mathrm{K}\right)B & 0 & 0 \\ (1|0)& \left(\mu_\mathrm{B}+\frac{g_I}{2}\mu_\mathrm{K}\right)B & 0 & \frac{A}{4} & 0 \\ (1|1)& 0 & 0 & 0 & \frac{A}{4}+\left(\mu_\mathrm{B}-\frac{g_I}{2}\mu_\mathrm{K}\right)B

\end{array}
\right)

</math> Die Eigenwerte dieser Matrix ergeben unter Vernachlässigung quadratischer Terme in <math>\mu_\mathrm{K}</math> für allgemeine Werte für <math>I,F</math> und <math>m_F</math> gerade die oben genannte Breit-Rabi-Formel.

Einzelnachweise

<references />