Cartan-Unteralgebra

In der Mathematik, speziell in der Theorie der Lie-Algebren, werden Cartan-Unteralgebren unter anderem in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren und in der Theorie der symmetrischen Räume verwendet. Der Rang einer Lie-Algebra (oder der zugehörigen Lie-Gruppe) ist definiert als die Dimension der Cartan-Unteralgebra. Ein Beispiel einer Cartan-Unteralgebra ist die Algebra der Diagonalmatrizen.

Definition

Es sei <math>\mathfrak{g}</math> eine Lie-Algebra. Eine Unteralgebra <math>\mathfrak{a}\subset \mathfrak{g}</math> ist eine Cartan-Unteralgebra, wenn sie nilpotent und selbstnormalisierend ist, das heißt, wenn

• <math>\underbrace{[\mathfrak a,[\mathfrak a,[\dotsb,[\mathfrak a,}_n\mathfrak a]\dotsb]]]=0</math>  für ein <math>n\in\N</math> und
• <math>\forall Y\not\in\mathfrak{a}\ \exists X\in\mathfrak{a}:\ \left[X,Y\right]\not\in\mathfrak{a}</math>

gilt.

Beispiele

Eine Cartan-Unteralgebra von

<math>\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(n,\Complex)=\left\{A\in \mathrm{Mat}(n,\Complex):\mathrm{Spur}(A)=0\right\}</math>

ist die Algebra der Diagonalmatrizen

<math>\mathfrak{a}_0=\left\{\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n):\lambda_1+\ldots+\lambda_n=0\right\}</math>.

Jede Cartan-Unteralgebra <math>\mathfrak{a}\subset \mathfrak{sl}(n,\Complex)</math> ist zu <math>\mathfrak{a}_0</math> konjugiert.

Dagegen hat <math>\mathfrak{sl}(2,\R)</math> zwei nicht-konjugierte Cartan-Unteralgebren, nämlich

<math>\mathfrak{a}_1=\R \left(\begin{array}{cc}1&0\\

0&-1\end{array}\right)</math> und

<math>\mathfrak{a}_2=\R \left(\begin{array}{cc}0&1\\

1&0\end{array}\right)</math>.

Existenz und Eindeutigkeit

Eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem unendlichen Körper besitzt stets eine Cartan-Unteralgebra.

Für eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem Körper mit Charakteristik <math>0</math> gilt, dass alle Cartan-Unteralgebren dieselbe Dimension haben.

Für eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind alle Cartan-Unteralgebren zueinander konjugiert, und zwar unter der Gruppe, welche von den Automorphismen <math>\exp(\mathrm{ad}(X))</math> erzeugt wird (für <math>X</math> in der Lie-Algebra und <math>\mathrm{ad}(X)</math> nilpotent).

Eigenschaften

Wenn <math>\mathfrak{g}</math> eine halbeinfache Lie-Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist, dann ist jede Cartan-Unteralgebra <math>\mathfrak{a}\subset\mathfrak{g}</math> abelsch und die Einschränkung der adjungierten Darstellung <math>\mathrm{ad}\colon\mathfrak{g}\to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g})</math> auf <math>\mathfrak{a}</math> ist simultan diagonalisierbar mit <math>\mathfrak{a}</math> als Eigenraum zum Gewicht <math>0</math>. Das heißt, es gibt eine Zerlegung

<math>\mathfrak{g}=\mathfrak{a}\oplus\bigoplus_{\alpha\in\mathfrak{a}^*}\mathfrak{g}_\alpha</math>

mit

<math>\mathrm{ad}(X)(Y)=\left[X,Y\right]=\alpha(X)Y \quad \forall X\in\mathfrak{a},Y\in \mathfrak{g}_\alpha</math>

und

<math>\mathfrak{g}_\alpha\not=0\Longrightarrow \alpha(X)\not=0 \quad \forall X\in\mathfrak{a}</math>.

Im Beispiel

<math>\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(n,\Complex)=\left\{A\in \mathrm{Mat}(n,\Complex):\mathrm{Spur}(A)=0\right\},</math>

<math> \mathfrak{a}=\left\{\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n):\lambda_1+\ldots+\lambda_n=0\right\}</math>

ist, wenn <math>e_{ij}</math> die Elementarmatrix mit Eintrag <math>1</math> an der Stelle <math>(i,j)</math> und Einträgen <math>0</math> sonst bezeichnet

<math>\mathfrak{g}=\mathfrak{a}\oplus\bigoplus_{i\not=j}\Complex e_{ij}=\mathfrak{a}\oplus\bigoplus_{\alpha\in\mathfrak{a}^*}\mathfrak{g}_\alpha</math>

mit <math>\Complex e_{ij}=\mathfrak{g}_\alpha</math> für

<math>\alpha(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)=\lambda_i-\lambda_j</math>.

Literatur

• Élie Cartan: Sur la structure des groupes de transformations finis et continus. Thèse, Paris 1894.
• Anthony W. Knapp: Lie groups beyond an introduction. (Progress in Mathematics, 140). Second edition. Birkhäuser, Boston, MA 2002, ISBN 0-8176-4259-5.