Choquet-Integral
Der französische Mathematiker Gustave Choquet ist der Schöpfer des nach ihm benannten Choquet-Integrals.<ref>Choquet, G. (1953). Theory of capacities. Ann.Inst.Fourier, Grenoble, 131-295 doi:10.5802/aif.53</ref> Im Unterschied zum Lebesgue-Integral, das die Integration auf beliebigen Maßräumen definiert, werden für das Choquet-Integral keine Maße, sondern lediglich Kapazitäten benutzt. Choquet-Integrale benötigt man z. B. in der Entscheidungstheorie, der kooperativen Spieltheorie, der Nutzenstheorie, der Datenverarbeitung (zur Konstruktion von Aggregationsfunktionen).
Idee[Bearbeiten]
Sei <math>U</math> die Grundmenge, <math>f \colon U \to [0,\infty)</math> eine nichtnegative reellwertige Funktion und <math>\lambda</math> ein Maß. Das Lebesgue-Integral <math>\textstyle \int fd\lambda</math> sei wohldefiniert. Dann hat das Lebesgue-Integral folgende Darstellung als Riemann-Integral:
- <math>\int fd\lambda = \int\limits_{0}^\infty \lambda(\{y|f(y)\ge x\})dx</math>.
Wenn man in dieser Darstellung das Maß <math>\lambda</math> durch eine Kapazität <math>\mu</math> ersetzt, hat man bereits die Definition des Choquet-Integrals für nichtnegative Funktionen.
Definition[Bearbeiten]
Sei nun <math>f|U\to\R</math> eine reellwertige Funktion, <math>\mathcal F(U)</math> eine Menge von Teilmengen von <math>U</math> und <math>\mu</math> eine Kapazität. Die Funktion <math>f</math> sei messbar, d. h.
- <math>\forall x\in\R:\quad \{y|f(y)\ge x\}\in \mathcal F(U)</math>.
Dann ist das Choquet-Integral von <math>f</math> bzgl. <math>\mu</math> folgendermaßen durch Riemann-Integrale definiert: <ref>Denneberg, D. (1994): Non-additive Measure and Integral. Kluwer, Dordrecht</ref>
- <math>\int fd\mu:=\int\limits_{0}^\infty \mu(\{y|f(y)\ge x\})dx + \int\limits_{-\infty}^0 [\mu(\{y|f(y)\ge x\})-\mu(U)]dx</math>.
Für positive <math>f</math> reduziert sich dies auf
- <math>\int fd\mu=\int\limits_{0}^\infty \mu(\{y|f(y)\ge x\})dx</math>.
Eigenschaften[Bearbeiten]
Siehe z. B.<ref>Grabisch, M., Murofushi, T. and M. Sugeno (eds) (2000). Fuzzy Measures and Integrals - Theory and Applications. Physica Verlag</ref> Für <math>f\le g</math> gilt <math>\int fd\mu \le \int gd\mu\quad</math> (Monotonie). Für <math>\alpha \ge 0</math> ist <math>\int \alpha fd\mu = \alpha\int fd\mu\quad</math> (positive Homogenität).
I.allg. ist das Choquet-Integral nicht additiv, d. h.
- <math>\int(f+g)d\mu \ne \int fd \mu + \int gd\mu</math>
Wenn <math>\mu</math> 2-monoton ist, dann ist das Choquet-Integral superadditiv, d. h.
- <math>\int (f+g)d\mu \ge \int fd\mu + \int gd\mu</math>.
Wenn <math>\mu</math> 2-alternierend ist, dann ist das Choquet-Integral subadditiv, d. h. in der letzten Ungleichung gilt <math>\le</math>.
Diskretes Choquet-Integral[Bearbeiten]
Siehe z. B.<ref name="G">Grabisch,M., Marichal,J.-L., Mesiar,R. and E. Pap (2009): Aggregation Functions. Cambridge University Press</ref> Sei <math>U=\{1,\dots,n\}</math> und <math>f|U\to [0,\infty)</math> eine nichtnegative Funktion mit den Werten <math>f(i)=y_i,i=1,\dots,n</math>. Bezeichne <math>y_{(1)},\dots,y_{(n)}</math> die der Größe nach geordneten Funktionswerte, d. h.
- <math>0\le y_{(1)}\le y_{(2)}\le \dots \le y_{(n)}</math>.
Da im diskreten Fall das definierende Riemann-Integral zu einer Summe entartet, ergibt sich
- <math>\int fd\mu = \sum_{i=1}^n (y_{(i)}-y_{(i-1)})\mu(\{j|f(j)\ge y_{(i)}\}) = \sum_{i=1}^n y_{(i)}[\mu(A_{(i)})-\mu(A_{(i+1)})]</math>;
- <math>y_{(0)}=0;\quad A_{(i)}=\{(i),(i+1),\dots,(n)\};\quad A_{(1)}=U; \quad A_{(n+1)}=\empty</math>.
Anwendung[Bearbeiten]
Diskrete Choquet-Integrale sind ein flexibles Mittel zur Aggregation interagierender Kriterien, siehe <ref name="G"/>. In diesem Fall ist <math>U=\{1,\dots,n\}</math> eine Menge von <math>n</math> Kriterien mit den Ausprägungen <math>f(i)=y_i</math>. Diese Kriterien sollen durch geeignete Mittelbildung zusammengefasst (aggregiert) werden zu einem (globalen) Kriterium <math>y</math>. Das diskrete Choquet-Integral bildet ein solches Mittel:
- <math>y=\sum_{i=1}^n w_{(i)} y_{(i)}\quad \text{mit den Gewichten}\quad w_{(i)}=\mu(A_{(i)})-\mu(A_{(i+1)})</math>
Durch superadditive (subadditive) <math>\mu</math> können Synergieeffekte (Redundanzeffekte) zwischen den Kriterien berücksichtigt werden.
Weblinks[Bearbeiten]
Einzelnachweise[Bearbeiten]
<references />