Choquet-Rand

Der Choquet-Rand, benannt nach Gustave Choquet, ist ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren. Es handelt sich dabei um einen Rand einer kommutativen Banachalgebra, der stets im Schilow-Rand enthalten ist.

Definition

Es sei <math>X</math> ein kompakter Hausdorffraum und <math>C(X)</math> die Banachalgebra der stetigen Funktionen <math>X\rightarrow \Complex</math> mit der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math>. Eine Funktionenalgebra über <math>X</math> ist eine Unteralgebra <math>A\subset C(X)</math>, die die konstanten Funktionen enthält und die Punkte trennt, das heißt, für zwei verschiedene Punkte <math>x,y\in X</math> gibt es ein <math>f\in A</math> mit <math>f(x) \not= f(y)</math>.

Es sei weiter <math>\|\cdot \|</math> eine Algebrennorm auf <math>A</math>, <math>A^*</math> sei der zugehörige Dualraum und schließlich

<math>A_1^*:= \{f\in A \mid \|f\| = f(1) = 1\}</math>

der sogenannte Zustandsraum von <math>A</math>, wobei mit 1 hier auch die konstante Funktion 1 bezeichnet sei, die ja definitionsgemäß in <math>A</math> enthalten ist und dort die Rolle eines Einselements spielt. Dies ist eine konvexe, schwach-*-kompakte Menge in <math>A^*</math> und besitzt daher nach dem Satz von Krein-Milman viele Extremalpunkte. Es sei <math>\mathrm{ext}(A_1^*)</math> die Menge dieser Extremalpunkte.

Für jedes <math>x\in X</math> ist die Punktauswertung <math>\delta_x\colon A\rightarrow \Complex,\, \delta_x(f) := f(x)</math> offenbar ein Element aus <math>A_1^*</math>. Wir interessieren uns nun für diejenigen Punkte <math>x\in X</math>, für die <math>\delta_x</math> sogar ein Extremalpunkt des Zustandsraums ist:

<math>\chi A := \{x\in X \mid \delta_x \in \mathrm{ext}(A_1^*)\}</math>     heißt Choquet-Rand von <math>A</math>.<ref>Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Definition 9.4.2</ref>

Ist <math>A</math> eine beliebige kommutative Banachalgebra mit Einselement und ist <math>X_A</math> ihr Gelfand-Raum, so definiert man <math>\chi A</math> als den Choquet-Rand der Funktionenalgebra der Gelfand-Transformierten in <math>C(X_A)</math>. Die letzte Definition kann in konstruierten Fällen in Konflikt zur ersten geraten, denn ist eine kommutative Banachalgebra <math>A</math> auch als eine Funktionenalgebra in einer Algebra <math>C(X)</math> realisiert, so muss <math>X</math> nicht notwendigerweise der Gelfand-Raum von <math>A</math> sein.

Der Choquet-Rand ist ein Rand

Ist <math>X</math> ein kompakter Hausdorffraum und <math>A\subset C(X)</math> eine Funktionenalgebra, gilt<ref>Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Korollar 9.4.1</ref>

• <math>\chi A \not= \emptyset </math>, der Choquet-Rand ist nicht leer.
• <math>\chi A</math> ist ein Rand für <math>A</math>
• <math>\overline{\chi A} = \partial A</math>, das heißt, der Choquet-Rand liegt dicht im Schilow-Rand.

Beziehung zum Bishop-Rand

Ist <math>X</math> ein kompakter Hausdorffraum und <math>A\subset C(X)</math> eine abgeschlossene Funktionenalgebra, so stimmt der Bishop-Rand mit dem Choquet-Rand überein und ist eine G_δ-Menge.<ref>E. Bishop: A minimal boundary for function algebras, Pacific Journal of Mathematics (1959), Band 9, Seiten 629–642</ref><ref>Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Theorem 9.7.2</ref><ref>R. R. Phelps: Lectures on Choquet's Theorem, van Nostrand (1966), Korollar 8.2</ref>

Beispiele

• Ist <math>X</math> ein kompakter Hausdorffraum, so ist <math>\chi C(X) = X</math> und stimmt daher mit dem Schilow-Rand überein. Es gibt Beispiele für Räume <math>X</math>, für die der Bishop-Rand von <math>C(X)</math> leer ist, z. B. <math>X=[0,1]^{\R}</math>.<ref>Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Beispiel 9.3.5</ref>
• Das Standardbeispiel und Vorbild für die Entwicklung des Randbegriffs ist die Diskalgebra <math>A(\mathbb{D}) \subset C(\mathbb{D})</math> auf dem Einheitskreis <math>\mathbb{D}:=\{z\in \Complex \mid |z|\le 1\}</math>. Hier stimmen ebenfalls Choquet-Rand und Schilow-Rand überein und sind gleich dem topologischen Rand <math>\partial \mathbb{D}:=\{z\in \Complex \mid |z| = 1\}</math>.

Datei:BeispielZumRandEinerBanachalgebra.png

X ist die Vereinigung aus Kreisscheibe und im Nullpunkt aufgesetzter Strecke

• Wir geben nun eine Funktionenalgebra an, für die der Choquet-Rand nicht abgeschlossen ist. Dazu sei

<math>X := \mathbb{D} \cup [0,1]\cdot e_3 \subset \R^3</math> mit der Relativtopologie.

<math>X</math> ist ein kompakter Raum und <math>C(X)</math> enthält die Funktionenalgebra

<math>A:=\{f\in C(X) \mid f|_{\mathrm{int}(\mathbb{D})} \text{ ist holomorph }\}</math>,

wobei <math>\mathrm{int}(\mathbb{D})</math> das Innere des Einheitskreises bezeichne. Für den Schilow-Rand <math>\partial A </math> zeigt man

<math>\partial A = \partial \mathbb{D} \cup [0,1]\cdot e_3 </math>.

Im Artikel zum Bishop-Rand wurde begründet, dass dieser gleich

<math>\partial \mathbb{D} \cup (0,1]\cdot e_3 = \partial A \setminus \{(0,0,0)\}</math>

ist. Nach obiger Beziehung zwischen Bishop-Rand und Choquet-Rand ist das aber auch gleich dem Choquet-Rand, der in diesem Beispiel also echt im Schilow-Rand enthalten ist. Wie nach obigem Satz nicht anders zu erwarten, ist hier <math>\overline{\chi A} = \partial A</math>.

Darstellende Maße

Der Choquet-Rand lässt sich durch sogenannte darstellende Maße charakterisieren, was die Verbindung zur Choquet-Theorie schlägt. Für einen kompakten Hausdorffraum <math>X</math> sei <math>M(X)</math> Banachraum der regulären komplexen Maße auf <math>X</math> mit der totalen Variation als Norm. Ein Maß <math>\mu \in M(X)</math> heißt ein darstellendes Maß für ein <math>\varphi \in A^*</math>, falls

<math>\|\varphi\| = \|\mu\|</math>   und   <math>\varphi(f) = \int_Xf(x)\mathrm{d}\mu(x)</math>   für alle   <math>f\in A</math>.

Ist zum Beispiel <math>\varphi = \delta_x</math>, so ist das Einpunktmaß <math>\varepsilon_x</math> ein darstellendes Maß, denn

<math>\|\delta_x\|=1=\|\varepsilon_x\|</math>   und   <math>\delta_x(f) = f(x) = \int_X f(y)\mathrm{d}\varepsilon_x(y)</math>.

Es könnte aber weitere darstellende Maße geben. Ist zum Beispiel <math>A=A(\mathbb{D}) \subset C(\mathbb{D})</math> die Diskalgebra, so gilt für alle <math>f\in A(\mathbb{D})</math> nach der cauchyschen Integralformel

<math>\delta_0(f) = f(0) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial \mathbb{D}}\frac{f(z)}{z}\mathrm{d}z = \int _{\mathbb{D}} f(z) \mathrm{d}\mu(z)</math>

mit einem auf <math>\partial \mathbb{D}</math> konzentrierten Maß <math>\mu</math>. In diesem Fall ist das darstellende Maß also nicht eindeutig. Ein ähnliches Argument zeigt, dass das darstellende Maß für kein <math>\delta_z, \, |z|<1</math> eindeutig ist. Eine Eindeutigkeit des darstellenden Maßes liegt nur für Funktionale <math>\delta_z</math> mit <math>|z|=1</math> vor. Diese Situation gilt auch im allgemeinen Fall, genauer gilt folgender Satz:<ref>Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Theorem 9.6.7</ref>

Ist <math>X</math> ein kompakter Hausdorffraum und <math>A\subset C(X)</math> eine Funktionenalgebra, so sind folgende Aussagen über <math>x\in X</math> äquivalent:

• <math>x\in \chi A</math>
• Das darstellende Maß für <math>\delta_x</math> ist eindeutig bestimmt.

Abgeschlossene Funktionenalgebren

Fordert man von der Funktionenalgebra <math>A\subset C(X)</math> zusätzlich, dass diese bezüglich der Supremumsnorm abgeschlossen ist, so sind folgende Aussagen über ein <math>x\in X</math> äquivalent:<ref>Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Theorem 9.7.1</ref>

• <math>x\in \chi A</math>
• Zu <math>0<\alpha < \beta <1</math> und jeder offenen Umgebung <math>U</math> von <math>x</math> gibt es ein <math>f \in A</math> mit <math>\|f\|_\infty = 1</math>, <math>|f(x)|>\beta</math> und <math>|f(y)|<\alpha</math> für alle <math>y\in X\setminus U</math>.
• Zu jeder offenen Umgebung <math>U</math> von <math>x</math> gibt es ein <math>f \in A</math> mit <math>\|f\|_\infty = 1</math>, <math>\textstyle |f(x)|>\frac{3}{4}</math> und <math>\textstyle|f(y)|<\frac{1}{4}</math> für alle <math>y\in X\setminus U</math>.
• Zu jeder offenen Umgebung <math>U</math> von <math>x</math> gibt es ein <math>f \in A</math> mit <math>\|f\|_\infty = 1 = |f(x)|</math> und <math>\textstyle|f(y)|< 1</math> für alle <math>y\in X\setminus U</math>.
• Es gibt eine Familie <math>(f_\alpha)_{\alpha \in I}</math> in <math>A</math> mit <math>\textstyle \{x\} = \bigcap_{\alpha \in I}\{y\in X \mid |f_\alpha(y)| = \|f\|_\infty\}</math>.

Anwendung

Mit Hilfe des Choquet-Randes kann man folgenden auf Robert Phelps zurückgehenden Satz beweisen:

Es seien <math>X</math> ein kompakter Hausdorffraum und <math>A\subset C(X)</math> eine Funktionenalgebra. Ist <math>T\colon A\rightarrow A</math> eine lineare uns surjektive Isometrie mit <math>T(1)=1</math>, so ist <math>T</math> multiplikativ, das heißt, es gilt <math>T(fg)=T(f)T(g)</math> für alle <math>f,g\in A</math>.

Das zentrale Argument im Beweis besteht darin, die Multiplikativität von Punktauswertungen <math>\delta_x</math> für Punkte <math>x</math> aus dem Choquet-Rand zu verwenden. Damit zeigt man, dass <math>T(fg)</math> und <math>T(f)T(g)</math> auf allen Punkten des Choquet-Randes übereinstimmen und daher gleich sein müssen, denn der Choquet-Rand ist ein Rand. Das ist im unten genannten Lehrbuch von R. Larsen ausgeführt.<ref>Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Theorem 9.5.1</ref>

Einzelnachweise

<references />