Chudnovsky-Algorithmus

Der Chudnovsky-Algorithmus ist eine von den Chudnovsky-Brüdern im Jahre 1988<ref>David Chudnovsky, Gregory Chudnovsky: Approximation and complex multiplication according to Ramanujan. In: Ramanujan revisited: proceedings of the centenary conference. 1988. </ref> entwickelte iterative Methode zur Berechnung beliebig vieler Nachkommastellen der Kreiszahl π. Jede Iteration liefert durchschnittlich 14,82 (falsch, es sind exakt 3*log(53360), also ca. 14.1816) weitere Dezimalstellen.<ref>FH Graubünden: Algorithmus, Informationen über die Weltrekordberechnung 2021, abgerufen am 26. März 2022</ref> Der Algorithmus basiert auf der Konvergenz einer verallgemeinerten hypergeometrischen Reihe:<ref name="baruah"></ref>

<math> \frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k(6k)!(545140134k + 13591409)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}.\!</math>

Dieser Algorithmus wurde seitdem für die meisten Weltrekordberechnungen eingesetzt, siehe Rekorde der Berechnung von π.

Entwicklung

Heegner-Punkte können dabei helfen, sehr schnell konvergente Reihen zu finden, die gegen die Kreiszahl <math>\pi</math> konvergieren. Vorläufer solcher Reihentypen waren schon von Srinivasa Ramanujan zu Beginn des 20. Jahrhunderts entdeckt worden. Die Brüder David und Gregory Chudnovsky nutzten schließlich die Punkte <math>\tau = \tfrac{1 + i\sqrt{n}}{2}</math> mit natürlichen Zahlen <math>n</math>, um die Arbeiten von Ramanujan weiterzuführen. Dabei fanden sie eine für die j-Funktion <math>j(\tau) := 1728J(\tau)</math> und all diese Heegner-Punkte gültige Reihenidentität

<math> \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{1}{6} (1 - s_2(\tau)) + k \right) \frac{(6k)!}{(3k)!(k!)^3} \frac{1}{j(\tau)^k} = \frac{\sqrt{-J(\tau)}}{\pi} \frac{1}{\sqrt{n(1-J(\tau))}},</math>

die den durch Eisensteinreihen definierten Term

<math> s_2(\tau) = \frac{E_4(\tau)}{E_6(\tau)} \left( E_2(\tau) - \frac{3}{\pi \mathrm{Im}(\tau)}\right)</math>

beinhaltet.<ref>Nayandeep Deka Baruah, Bruce Berndt, Heng Huat Chan: Ramanujan’s series for <math>1/\pi</math>: A survey. Mathematics Student, S. 576.</ref> Dabei bezeichnet <math>k!</math> die Fakultät von <math>k</math>. Daraus konnte nach Einsetzen des Heegner-Punkts <math>\tau = \tfrac{1 + i\sqrt{163}}{2}</math> der Chudnovsky-Algorithmus entwickelt werden, mit Hilfe dessen die Kreiszahl <math>\pi</math> extrem schnell auf viele Nachkommastellen berechnet werden kann. Er nutzt aus, dass der Wert <math>j\left(\tfrac{1 + i\sqrt{163}}{2}\right)</math> ganzzahlig ist. Über die Methoden, wie man <math>j(\tau)</math> allgemein berechnet, kann man bereits diese und weitere Kuriositäten beobachten. Man weiß wegen der Fourier-Entwicklung <math>j(\tau) = e^{-2\pi i \tau} + 744 + 196\, 884e^{2\pi i \tau} + \dotsb</math>, dass für Werte <math>\tau</math> mit größerem Imaginärteil die Zahl <math>j(\tau)</math> bereits sehr nahe an <math>e^{-2\pi i \tau} + 744</math> liegt. In der Tat findet man<ref name="Bruinier_73">Jan Hendrik Bruinier, Gerard van der Geer, Günter Harder, Don Zagier: The 1-2-3 of Modular Forms. Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, S. 73.</ref>

<math> e^{\pi \sqrt{163}} = 262\,537\,412\,640\,768\,743{,}\,999\,999\,999\,999\,250 \ldots.</math>

Ein ausführlicher Beweis dieser Formel findet sich hier:<ref>Lorenz Milla: Ein ausführlicher Beweis der Chudnovsky-Formel mit elementarer Funktionentheorie. 2018, arxiv:1809.00533. </ref>

Diese ist ähnlich der Ramanujan-Formel zur Ermittlung von π<ref name="baruah" /> und ist ein Beispiel der Ramanujan-Sato-Reihen.

Einzelnachweise

<references />