Deformationsinvarianten

Die Deformationsinvarianten <math>I_1, I_2, I_3</math> bezeichnen in der Kontinuumsmechanik die drei Hauptinvarianten des rechten oder linken Cauchy-Green Deformationstensors. Sie stellen die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms bei Hauptachsentransformation des Strecktensors dar. Gleichzeitig lassen sie sich nach dem Satz von Vieta auch durch die Hauptstreckungen <math>\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3</math> ausdrücken:

<math>\begin{array}{lclcl}

I_1 &=& \mathrm{Spur}(\mathbf{b}) &=& \lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2\\ I_2 &=& \mathrm{Spur}(\mathbf{b}^{-1}) \, \det(\mathbf{b}) &=& \lambda_1^2 \, \lambda_2^2 + \lambda_1^2 \, \lambda_3^2 + \lambda_2^2 \, \lambda_3^2\\ I_3 &=& \det(\mathbf{b}) &=& \lambda_1^2 \, \lambda_2^2 \, \lambda_3^2 \end{array}</math>

mit

• <math>\mathbf{b}</math> der Deformationstensor
• <math>\mathrm{Spur}(\mathbf{b})</math> der Spur des Deformationstensors,
• <math>\det(\mathbf{b})</math> der Determinante des Deformationstensors,
• <math>\mathbf{b}^{-1}</math> der Inversen des Deformationstensors und
• <math>\lambda_{1,2,3}^2=\eta_{1,2,3}</math> der Eigenwerte des Deformationstensors.

Obige Zusammenhänge gelten für den linken Cauchy-Green Tensor <math>\mathbf b:=\mathbf{F\cdot F^\top}</math> und den rechten Cauchy-Green Tensor <math>\mathbf C:=\mathbf{F^\top\cdot F}</math>, denn beide Tensoren haben wegen

<math>\mathbf{b}\cdot\vec v=\eta\vec v

\quad\Leftrightarrow\quad \mathbf{F^\top\cdot b}\cdot\vec v =\mathbf{F^\top\cdot F\cdot F^\top}\cdot\vec v =\mathbf{C\cdot (F^\top}\cdot\vec v) =\eta(\mathbf{F^\top}\cdot\vec v) </math>

Datei:Polarezerlegung.jpg

Veranschaulichung der Polarzerlegung

dieselben Eigenwerte und damit auch dieselben Invarianten, was sie einander mathematisch ähnlich macht. Der Tensor F ist der Deformationsgradient. Gleiches gilt für die symmetrischen, positiv definiten, rechten und linken Deformationstensoren U bzw. v, die sich gemäß

<math>\mathbf{F}=\mathbf{R\cdot U}=\mathbf{v\cdot R}.</math>

aus der Polarzerlegung des Deformationsgradienten ergeben, siehe Bild. Darin ist R ein eigentlich orthogonaler Tensor mit den Eigenschaften R^T · R = 1 und det(R) = +1 (1 ist der Einheitstensor.) Der rechte und linke Deformationstensor haben wegen

<math>\mathbf{v}\cdot\vec v=\lambda\vec v

\quad\Leftrightarrow\quad \mathbf b\cdot\vec v=\mathbf{F\cdot F^\top}\cdot\vec v =\mathbf{v\cdot R\cdot R^\top\cdot v^\top}\cdot\vec v =\lambda\mathbf{v}\cdot\vec v =\lambda^2\vec v </math>

die Hauptstreckungen λ_1,2,3 als Eigenwerte, denn sie sind ebenfalls einander ähnlich:

<math>\mathbf{ R^\top\cdot v}\cdot\vec v

=\mathbf{R^\top\cdot v\cdot R\cdot R^\top}\cdot\vec v =\mathbf{R^\top\cdot R\cdot U\cdot R^\top}\cdot\vec v =\mathbf{U\cdot(R^\top}\cdot\vec v) =\lambda(\mathbf{R^\top}\cdot\vec v) .</math>

Weil der Deformationsgradient immer und überall invertierbar ist, sind dies die Strecktensoren auch.

Die dritte Invariante stellt gleichzeitig das Quadrat des Volumenverhältnisses <math>J:=\operatorname{det}(\mathbf{F})</math> dar:

<math>I_3(\mathbf{b}) = I_3(\mathbf{C}) =J^2= I_3^2(\mathbf{v})= I_3^2(\mathbf{U}).</math>

Bei Inkompressibilität im Werkstoffverhalten (<math>J = 1</math>) bleibt also die dritte Invariante der Strecktensoren gleich der Identität.

Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.