Deming-Regression

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Deming-Regression

In der Statistik wird mit der Deming-Regression eine Ausgleichsgerade für eine endliche Menge metrisch skalierter Datenpaare (<math>x_i, y_i</math>) nach der Methode der kleinsten Quadrate bestimmt. Es handelt sich um eine Variante der linearen Regression. Bei der Deming-Regression werden die Residuen (Messfehler) sowohl für die <math>x</math>- als auch für die <math>y</math>-Werte in das Modell einbezogen.

Die Deming-Regression ist somit ein Spezialfall der Regressionsanalyse; sie beruht auf einer Maximum-Likelihood-Schätzung der Regressionsparameter, bei der die Residuen beider Variablen als unabhängig und normalverteilt angenommen werden und der Quotient <math>\delta</math> ihrer Varianzen als bekannt unterstellt wird.

Die Deming-Regression geht auf eine Arbeit von C.H. Kummell (1879) zurück;<ref>Charles H. Kummell: Reduction of observation equations which contain more than one observed quantity. In: The Analyst. Band 6, Nummer 4, 1879, S. 97–105, .</ref> 1937 wurde die Methode von T.C. Koopmans wieder aufgegriffen<ref>Tjalling Koopmans: Linear regression analysis of economic time series (= Publications of the Netherland Economic Institute. 20). De Erven F. Bohn, Haarlem 1937.</ref> und in allgemeinerem Rahmen 1943 von W. E. Deming für technische und ökonomische Anwendungen bekannt gemacht.<ref>W. Edwards Deming: Statistical adjustment of data. Wiley u. a., New York NY 1943, (Unabriged and corrected republication. Dover Publications, New York NY 1985, ISBN 0-486-64685-8).</ref>

Die orthogonale Regression ist ein wichtiger Spezialfall der Deming-Regression; sie behandelt den Fall <math>\delta = 1</math>. Die Deming-Regression wiederum ist ein Spezialfall der York-Regression.

Rechenweg

Die gemessenen Werte <math>x_i</math> und <math>y_i</math> werden als Summen der „wahren Werte“ <math>x_i^{*}</math> bzw. <math>y_i^{*}</math> und der „Fehler“ <math>\eta_i</math> bzw. <math>\varepsilon_i</math> aufgefasst, d. h. <math>(x_i, y_i) = (x_i^{*} + \eta_i, y_i^{*} + \varepsilon_i)</math> Die Datenpaare (<math>x_i^{*}, y_i^{*}</math>) liegen auf der zu berechnenden Geraden. <math>\eta_i</math> und <math>\varepsilon_i</math> seien unabhängig mit <math>\sigma^2_\eta:=Var(\eta)</math> und <math>\sigma^2_\varepsilon:=Var(\varepsilon)</math>. Bekannt sei zumindest der Quotient der Fehlervarianzen <math>\delta = \frac{\sigma_{\eta}^2}{\sigma_{\varepsilon}^2}</math>.

Es wird eine Gerade

<math>y = \beta_0 +\beta_1 x</math>

gesucht, die die gewichtete Residuenquadratsumme minimiert:

<math>SQR = \sum_{i=1}^n\bigg(\frac{\eta_i^2}{\sigma_\eta^2} + \frac{\varepsilon_i^2}{\sigma_\varepsilon^2}\bigg) = \frac{1}{\sigma_\varepsilon^2} \sum_{i=1}^n\Big((y_i-\beta_0-\beta_1x^*_i)^2 + \delta(x_i-x^*_i)^2\Big) \ \to\ \min_{\beta_0,\beta_1,x_i^*} SQR</math>

Für die weitere Rechnung werden die folgenden Hilfswerte benötigt:

<math>\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i</math>     (arithmetisches Mittel der <math>x_i</math>)

<math>\overline{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i</math>     (arithmetisches Mittel der <math>y_i</math>)

<math>s_x^2 = \tfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2</math>     (Stichprobenvarianz der <math>x_i</math>)

<math>s_y^2 = \tfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (y_i-\overline{y})^2</math>     (Stichprobenvarianz der <math>y_i</math>)

<math>s_{xy} = \tfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})</math>     (Stichprobenkovarianz der <math>(x_i, y_i)</math>).

Damit ergeben sich die Parameter zur Lösung des Minimierungsproblems:<ref>Paul Glaister: Least squares revisited. In: The Mathematical Gazette. Band 85, Nummer 502, 2001, S. 104–107, .</ref>

<math>\beta_1 = \frac{s_y^2 - \delta s_x^2 + \sqrt{(s_y^2 - \delta s_x^2)^2 + 4 \delta s_{xy}^2}}{2s_{xy}}</math>

<math>\beta_0 = \overline{y} - \beta_1\overline{x}</math>.

Die <math>x_{i}^{*}</math>-Koordinaten berechnet man mit

<math>x_i^* = x_i + \frac{\beta_1}{\beta_1^2 + \delta}(y_i - \beta_0 - \beta_1x_i)</math>.

Erweiterung York-Regression

York-Regression erweitert die Deming-Regression, da es korrelierte x- und y-Fehler erlaubt<ref>Derek York, Norman M. Evensen, Margarita López Martı́nez, Jonás De Basabe Delgado: Unified equations for the slope, intercept, and standard errors of the best straight line. In: American Journal of Physics. Band 72, 2004, S. 367–375, doi:10.1119/1.1632486.</ref>.

Einzelnachweise

<references />