Dichteparameter
Die Dichteparameter (Formelzeichen <math>\Omega_{(+\text{Index})}</math>) geben in der Kosmologie die Verteilung der Gesamtdichte des Universums auf verschiedene Materie- und Energieformen an. Sie bestimmen die Geometrie und die Entwicklung des Universums, insbesondere den zeitlichen Verlauf seiner Expansion.
Definition[Bearbeiten]
Die tatsächliche mittlere Dichte <math>\rho</math> (Masse pro Volumen) wird durch die kritische Dichte <math>\rho_\mathrm{crit}</math> geteilt, so dass man eine dimensionslose Größe
- <math>\Omega_\mathrm{tot} = \frac{\rho}{\rho_\mathrm{crit}}</math>.
erhält. Der Index „tot“ für total kennzeichnet die Gesamtdichte, die sich aus der Dichte von Materie und Energie zusammensetzt.
Die kritische Dichte ist gerade die Dichte, bei der das Universum flach ist:
- <math> \rho_\mathrm{crit} = \frac{3H_0^2}{8\pi G} \simeq 8{,}5329\cdot 10^{-27} \, \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}.</math>
Dabei ist
- <math> H_0 </math> der aktuelle Hubble-Parameter und
- <math> G </math> die Gravitationskonstante.
Die Dichteparameter verändern sich mit der Zeit. Wenn nichts anderes erwähnt ist, werden im Normalfall die Werte der Dichteparameter zum jetzigen Zeitpunkt angegeben.
Einfluss auf die Geometrie des Universums[Bearbeiten]
Die räumliche Geometrie des Universums wird durch die gesamte Materie- und Energiedichte <math>\Omega_{\mathrm{tot}}</math> bestimmt:
| Gesamtdichte | Geometrie |
|---|---|
| <math>\Omega_{\mathrm{tot}} > 1</math> | sphärisch |
| <math>\Omega_{\mathrm{tot}} = 1</math> | flach |
| <math>\Omega_{\mathrm{tot}} < 1</math> | hyperbolisch |
Die Dichteparameter können sehr genau durch die Beobachtung von Temperaturfluktuationen der kosmologischen Hintergrundstrahlung und andere astronomische Beobachtungen bestimmt werden. Die derzeitigen Messungen (insbesondere durch die WMAP- und Planck-Satelliten) ergeben im Rahmen des Standard-Modells der Kosmologie (isotropes und homogenes Universum, Dynamik beschrieben durch die Friedmann-Gleichungen) für die Gesamtdichte des Universums ein ähnliches Ergebnis wie das für den aktuellen Parametersatz Planck18:
- <math> \Omega_\mathrm{tot} = 0{,}999 \pm 0{,}002 </math> <ref name="Planck18">Planck Mission 2018 Volume VI, Abstract</ref>
Die tatsächliche mittlere Dichte hat also einen Wert, der erstaunlich genau der kritischen Dichte entspricht, was teilweise als erklärungsbedürftig angesehen wird (Flachheitsproblem). Die räumliche Geometrie des Universums auf großen Längenskalen ist demnach bis auf Fehler im Promillebereich im Rahmen der Messgenauigkeit räumlich flach.
Alle im Weiteren erwähnten kosmologischen Parameter einschließlich der Dichteparameter beziehen sich auf ihren heutigen Wert, bezogen auf den Parametersatz Planck18.<ref name="Planck18"/> Der Hubble-Parameter heute ist dort mit <math>H_0 = 67{,}4 \;\mathrm{km}\;\mathrm{s}^{-1} \,\mathrm{Mpc}^{-1}</math> und der Materie-Anteil heute an der Materie-/Energie-Dichte des Universums mit <math>\Omega_\mathrm{M} = 0{,}315 \pm 0{,}007</math> festgelegt worden. Alle zusätzlich erwähnten Parameter sind aus diesen Werten abgeleitet.
Die Gesamtdichte ergibt sich aus den Anteilen der folgenden Komponenten:
- Der bereits erwähnte Materieanteil lässt sich in zwei Bestandteile aufteilen.
- Der überwiegende Anteil der Materie besteht aus Dunkler Materie <math>\left( \Omega_\mathrm{c} = 0{,}2654 \right)</math>,
- Gewöhnliche baryonische Materie trägt nur mit <math>\Omega_{\mathrm{b}} = 0{,}0496</math> an der Gesamtdichte bei.<ref group="Anm."><math>\Omega_\mathrm{b}</math> und <math> \Omega_\mathrm{c}</math> wurden aus Größen vom Typ <math>\Omega_\mathrm{b}</math>(Little h)2 und <math>\Omega_\mathrm{c}</math>(Little h)2 abgeleitet.</ref>
- Weiter erwähnenswert ist die elektromagnetische Strahlung
- <math>\Omega_{\gamma} = \frac{\rho_{\gamma}}{\rho_\text{crit}} \approx 5{,}4438\cdot 10^{-5}</math>
- Dabei umschreibt unter Zuhilfenahme des Stefan-Boltzmann-Gesetzes
- <math>\rho_{\gamma} = \frac{8 \pi ^5 k_\mathrm{B}^4 T^4}{15 c^5 h^3} \approx 4{,}6451\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg/m^3}</math> <ref group=Anm.>Da nur Größen gleicher Dimension verglichen und aufsummiert werden können, wird statt der Energiedichte hier die äquivalente Massendichte (Division durch <math>{c^2}</math>) angegeben. Alle aufgeführten Formeln für Strahlung (und auch für Dunkle Energie) und die zugehörigen Dimensionen gelten also für die Masse (und nicht für Energie). Wo die Materie-Dichte im Artikel erwähnt wird, ist die Dichte nichtrelativistischer Teilchen gemeint.</ref>
- die Strahlungsdichte der Mikrowellenhintergrundstrahlung (Photonendichte) mit
- der Boltzmann-Konstante <math>k_\mathrm{B}</math>
- der Temperatur <math>T = 2{,}7255\, \mathrm{K}</math> der Hintergrundstrahlung<ref name="Planck13">Planck Mission 2013 Volume XVI, Table 1, Chapter 2.1.1</ref>
- der Lichtgeschwindigkeit <math>c</math>
- der Planck-Konstante <math>h</math>.
- Zusätzlich muss noch die Neutrinodichte <math>\rho_\nu</math> (siehe auch Kosmischer Neutrinohintergrund) Berücksichtigung finden. Mit der effektiven Zahl von Neutrinofamilien <math>N_\mathrm{eff} = 3{,}064 </math><ref name="Planck18-Neff">Planck Mission 2018 Volume VI, Chapter 7.5.2</ref> beträgt diese
- <math>\rho_\nu = N_\mathrm{eff} \, \frac{7}{8} \, \left( \frac{4}{11}\right)^\frac{4}{3} \rho_\gamma \approx 0{,}6918 \ \rho_\gamma \, \approx \,\, 3{,}2133\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg/ m^3}</math>
- Die Strahlungsdichte insgesamt als Summe von Photonen- und Neutrinodichte beträgt
- <math>\rho_R=\rho_\gamma + \rho_\nu \approx 1{,}6918 \ \rho_\gamma \approx 7.8584\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg/ m^3}</math>
- Der Gesamtanteil der Strahlungsdichte (Photonen- und Neutrinodichte <math>\rho_R=\rho_\gamma + \rho_\nu</math>) an der Materie- und Energiedichte beträgt also
- <math>\Omega_\mathrm{R} = \frac{\rho_\gamma + \rho_\nu}{\rho_\mathrm{crit}} = \frac{\rho_R}{\rho_\mathrm{crit}} \approx 9{,}2096\cdot 10^{-5}</math>
Der Umstand, dass die heutigen Anteile als klein erscheinen, darf nicht dazu führen, diese Größen in geringerer Genauigkeit darzustellen. Berechnungen über die Anfangsphase (Strahlungsära) des Universums erfolgen fast ausschließlich über diese Größen.
- Die Materie-/Energiedichte der Dunklen Energie des Universums mit negativem Druck (siehe auch Kosmologische Konstante) beträgt zeitunabhängig konstant
- <math>\rho_{\Lambda} = 5{,}8442 \cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg/m^3}</math>
- Heute macht die Dichte der Dunklen Energie mit
- <math>\Omega_{\Lambda} = 0{,}6849 </math>
- den größten Anteil an der Materie-/Energiedichte des Universums aus.
- Ergänzend führt man einen entsprechenden Parameter für die Krümmung ein:
- <math>\Omega_{\mathrm{K}} = 1-\Omega_\mathrm{tot}</math><ref name="Planck13"/>
- Der oben erwähnte Wert für <math>\Omega_\mathrm{tot}</math> ist also mit dem Wert <math> \Omega_\mathrm{K} = 0{,}001 \pm 0{,}002 </math><ref name="Planck18"/> verträglich.<ref group="Anm.">Ein positives <math> \Omega_\mathrm{K} </math> korrespondiert also mit hyperbolischer und ein negatives mit sphärischer Geometrie.</ref>
Im räumlich flachen Universum gilt <math>\Omega_\mathrm{R} + \Omega_\mathrm{M} + \Omega_\mathrm{\Lambda} = 1</math> und <math>\rho_\mathrm{R} + \rho_\mathrm{M} + \rho_\mathrm{\Lambda} = \rho_\text{crit}</math>.
Dichteparameter im Zeitablauf[Bearbeiten]
In den obigen Abschnitten haben wir für alle mit dem Buchstaben <math> \rho </math> bezeichneten Materie- und Energiedichten und die mit dem Buchstaben <math>\Omega</math> bezeichneten anteilsmäßigen Dichten die heutigen Werte verwendet. Für jeden festen Index <math> i </math> gilt im flachen Universum die Beziehung <math>\rho_\mathrm{i}=\Omega_\mathrm{i} \cdot{\rho_\mathrm{crit}}</math>, wobei <math>i</math> einen der Indizes <math>R, \gamma, \nu, M, b, c \ \mathrm{oder} \ \Lambda</math> darstellt.
Wollen wir im räumlich flachen Universum den Verlauf von Dichten im Zeitablauf verfolgen, so hängen wir in der Nomenklatur an das Symbol für den jeweiligen Dichteparameter den Zeitindex <math>t</math> und für den heutigen Zeitpunkt eine <math>0</math> (NULL) an, also <math>\rho_\mathrm{i,t}</math> bzw. <math>\Omega_\mathrm{i,t}</math> sowie <math>\rho_\mathrm{i,0}</math> bzw. <math>\Omega_\mathrm{i,0}</math>. Auch die kritische Dichte wird zeitabhängig in der Form <math>\rho_\mathrm{crit,t}</math> bzw. <math>\rho_\mathrm{crit,0}</math> geschrieben, definitionsmäßig ist wieder <math>\Omega_\mathrm{i,t}=\frac{\rho_\mathrm{i,t}}{\rho_\mathrm{crit,t}}</math>. Der Zeitparameter <math>t</math> wird üblicherweise in Mrd. Jahren nach dem Urknall gemessen.
Formeln für den zeitlichen Ablauf werden über den von <math>t</math> abhängigen Skalenfaktor <math>a(t)</math> hergeleitet, wobei für den heutigen Wert <math>t_0</math> die Vereinbarung <math>a(t_0)=1</math> gilt. Der Artikel über den Skalenfaktor liefert weitere Informationen.
Mit der Expansionsfunktion <math>E(\alpha)=(\Omega_R \cdot \alpha^{-4}+\Omega_M \cdot \alpha^{-3}+\Omega_{\Lambda})^{1/2}</math> gilt
- <math> \rho_\mathrm{crit,t} = \frac{3H_0^2}{8\pi G} \cdot E(a(t))^2 = \rho_\mathrm{crit,0}\cdot E(a(t))^2 </math>
und weiter
- <math>\rho_{i,t}=\rho_{i,0} \cdot a(t)^{-4}</math> für <math>i=R, \gamma, \nu</math>
- <math>\rho_{j,t}=\rho_{j,0} \cdot a(t)^{-3}</math> für <math>j=M, b, c</math>.
Der Parameter für die Dunkle Energie bleibt im Zeitablauf konstant, für alle <math>t</math> gilt also
- <math>\rho_\mathrm{\Lambda,t}=\rho_\mathrm{\Lambda,0} </math>.
Ganz offensichtlich gilt im räumlich flachen Universum für jedes <math>t</math> wieder
- <math>\rho_\mathrm{R,t} + \rho_\mathrm{M,t} + \rho_\mathrm{\Lambda,t} = \rho_{\text{crit},t}</math> und daraus folgend
- <math>\Omega_\mathrm{R,t} + \Omega_\mathrm{M,t} + \Omega_\mathrm{\Lambda,t} = 1</math>.
Anstelle der jeweiligen zusammengefassten Materie- und Energiedichten <math>R</math> und <math>M</math> könnte man in den Formeln (auch anteilsmäßig) jeweils die Summe der beiden Einzeldichten <math>\gamma</math> und <math>\nu</math> bzw. <math>b</math> und <math>c</math> aufführen. Während <math>\rho_\mathrm{\Lambda,t} </math> konstant ist, ist <math>\Omega_\mathrm{\Lambda,t} </math> variabel (mit wachsendem <math> t </math> streng monoton steigend).
Anteilsmäßige Dichteparameter in der Geschichte des Universums (ΛCDM-Modell)[Bearbeiten]
Die historischen Anteile an der Gesamtdichte des Universums im räumlich flachen ΛCDM-Modell (also <math>\Omega_{\mathrm{k}} = 0</math>) für den Parametersatz Planck18<ref name="Planck18"/> lassen sich der Zeichnung „Anteilsmäßige Dichteparameter in der Geschichte des Universums“ entnehmen.<ref name="Rezession">W. Lange: Die Rolle der Hubblesphäre für die Umkehrung des Rezessionsverhaltens von Galaxien und Photonen im Standardmodell der Kosmologie (ΛCDM-Modell), viXra 2504.0137. Abgerufen am 7. Juni 2026.</ref> Gemäß Planck18 fand die exakte Strahlungs-Materie-Äquivalenz <math>t_\mathrm{SM}=0{,}50\cdot 10^{-4}</math> Mrd. Jahre <math>(\log_{10}t_\mathrm{SM} = -4{,}30)</math>, die Materie-Dunkle-Energie-Äquivalenz <math>t_\mathrm{MD} =10{,}29</math> Mrd. Jahre <math>(\log_{10} t_\mathrm{MD} = 1{,}01)</math> nach dem Urknall statt.
| Farbe | Zeit nach dem Urknall, Klassifikation der Linie |
|---|---|
| orange | 13,79 Mrd. Jahre, heute |
| violett | 7,69 Mrd. Jahre, Abbremsparameter <math>q=0</math>, Übergang von verlangsamter zu beschleunigter Expansion |
| grün | 4,05 Mrd. Jahre, Schnittpunkt zwischen Hubblesphäre und Lichtkegel mit heutigem Scheitelpunkt |
| rot | 1,44 Mrd. Jahre, Galaxie SPT0418-47, heute wahrnehmbare Rotverschiebung z=4,2248, als Beispiel für eine Galaxie im frühen Universum |
| cyan | 371127 Jahre, Emission der kosmischen Mikrowellen-Hintergrundstrahlung |
Dichte und Druck[Bearbeiten]
Durch die Zustandsgleichung
- <math> \frac{p}{\rho c^2} = \omega</math> (konstant)<ref group=Anm.>Für die Beziehung zwischen Dichte und Druck wird also auf die Energiedichte (Multiplikation der Massendichte mit <math>c^2</math>) zurückgegriffen.</ref>
wird eine Beziehung zwischen der Dichte <math>\rho</math> und dem zugeordneten Druck <math>p</math> hergestellt. Für nichtrelativistische Materie ("Staub") ist <math>\omega = 0</math>. Für ein strahlungsorientes Medium ("Strahlung") gilt der Strahlungsdruck <math> p=\frac{\rho c^2}{3}</math>, es ist also <math>\omega = \frac{1}{3}</math>. Für Dunkle Energie ist <math>\omega = -1</math>, es gilt <math> p = -\rho c^2</math>.
Der Strahlungsdruck ist zeitabhängig. Für den heutigen Zeitpunkt gilt
- <math>p_{R,0} = \frac{\rho_{R,0}\cdot c^2}{3}= 2{,}3543 \cdot 10^{-14} </math>Pa
Für den Zeitpunkt CMD der Emission der kosmischen Hintergrundstrahlung (gemäß Planck18: 371127 Jahre nach dem Urknall) gilt
- <math>p_{R,CMD} = \frac{\rho_{R,CMD}\cdot c^2}{3}= 3{,}3355 \cdot 10^{-2} </math>Pa
mit <math>\rho_{R,CMD} = 1{,}1134 \cdot 10^{-18}\, \, \mathrm{kg/m^3} </math>.
Für den der Dichte <math>\rho_{M,t} </math> nichtrelativistischer Materie zugeordneten Druck <math>p_{M,t} </math> gilt für jeden Zeitpunkt <math>t </math>
- <math>p_{M,t} = 0 \, (NULL)</math> Pa
Selbstverständlich ist auch für baryonische und dunkle Materie der Druck zeitunabhängig gleich <math>NULL</math>.
Für jeden Zeitpunkt <math>t</math> gilt für den Druck der Dunklen Energie
- <math>p_{\Lambda,t} = - rho_{\Lambda,t} \cdot c^2 = -5{,}2525\cdot 10^{-10}</math> Pa<ref name="Druck">A. Merle (Diskussionsbeitrag): What is the value of the present pressure in the universe?, Researchgate Questions & Answers, 2016. Abgerufen am 8. August 2026.</ref><ref group=Anm.>Alleiniger Grund für die Aufführung dieser Quelle ist es, einen Beleg für die Korrektheit der Berechnung des negativen Drucks beizusteuern. A. Merle vom Max-Planck-Institut für Physik kommt im Rahmen der im Researchgate-Beitrag vorgegebenen Zifferngenauigkeit auf Basis ungefährer Planck-Parametersatzwerte zum gleichen Ergebnis.</ref>
Anmerkungen[Bearbeiten]
<references group="Anm." />
Siehe auch[Bearbeiten]
Einzelnachweise[Bearbeiten]
<references />