Dichtheitssatz von Borel

Der Dichtheitssatz von Borel (engl.: Borel density theorem) ist ein Lehrsatz der Mathematik, der Gitter in algebraischen Gruppen, wie zum Beispiel <math>SL(n,\Z)</math> in <math>SL(n,\R)</math>, charakterisiert.

Er besagt, dass jede auf einem Gitter <math>\Gamma\subset G</math> verschwindende polynomielle Funktion auf der gesamten algebraischen Gruppe <math>G</math> identisch 0 sein muss.

Satz

Sei <math>G</math> eine zusammenhängende halbeinfache <math>\R</math>-algebraische Gruppe ohne kompakten Faktor, und sei <math>\Gamma\subset G</math> ein Gitter in <math>G</math>.

Dann ist <math>\Gamma</math> Zariski-dicht in <math>G</math>.

Anwendungen

Im Folgenden setzen wir voraus, dass <math>G</math> und <math>\Gamma</math> die Voraussetzungen des Dichtheitssatzes erfüllen.

• Wenn <math>\phi\colon G\to GL(m,\R)</math> eine irreduzible polynominelle Darstellung von <math>G</math> ist, dann ist die Einschränkung von <math>\phi</math> auf <math>\Gamma</math> ebenfalls eine irreduzible Darstellung.
• Wenn eine zusammenhängende, abgeschlossene Untergruppe <math>H\subset G</math> von <math>\Gamma</math> normalisiert wird, dann ist sie ein Normalteiler von <math>G</math>.
• Der Zentralisator von <math>\Gamma</math> in <math>G</math> ist das Zentrum <math>Z(G)</math> von <math>G</math>.
• Jeder endliche Normalteiler von <math>\Gamma</math> ist in <math>Z(G)</math> enthalten.
• <math>\Gamma</math> ist eine Untergruppe von endliche Index in seinem Normalisator.
• Es gibt eine Zerlegung <math>G=G_1\times\ldots\times G_r</math>, so dass <math>\Gamma_i=\Gamma\cap G_i</math> ein irreduzibles Gitter in <math>G_i</math> und <math>\Gamma_1\times\ldots\times \Gamma_r</math> mit <math>\Gamma</math> kommensurabel ist.
• Für polynomiale Funktionen <math>Q\in\R\left[x_{11},\ldots,x_{nn}\right]</math> auf <math>Mat(n\times n,\R)</math> gilt:

<math>Q(\Gamma)=0\Longrightarrow Q(G)=0.</math>

Literatur

• Armand Borel: Density properties for certain subgroups of semi-simple groups without compact components. Ann. of Math. (2) 72, 179–188, 1960.
• M. S. Raghunathan: Discrete subgroups of Lie groups. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 68. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1972.
• R. J. Zimmer: Ergodic theory and semisimple groups. Monographs in Mathematics, Vol. 81. Boston-Basel-Stuttgart: Birkhäuser, 1984.
• D. Witte Morris: Introduction to arithmetic groups. Deductive Press, 2015. ISBN 978-0-9865716-0-2/pbk 978-0-9865716-1-9/hbd