Diedergruppe
In der Gruppentheorie lässt sich die Diedergruppe <math>D_n</math> als eine Gruppe erklären, die aus <math>n</math> Drehungen und <math>n</math> Achsenspiegelungen in der Ebene besteht. Für <math>n \ge 3</math> ist das die Symmetriegruppe eines regelmäßigen <math>n</math>-Ecks in der Ebene. Ihr Name leitet sich vom Wort Dieder für regelmäßige Vielecke ab. Diese Gruppen treten häufig in der Geometrie und Gruppentheorie auf, werden von ein oder zwei Spiegelungen (Elementen der Ordnung <math>2</math>) erzeugt und sind damit die einfachsten Beispiele von Coxeter-Gruppen.
Bezeichnungen[Bearbeiten]
Es gibt für Diedergruppen zwei abweichende Bezeichnungen. In der Geometrie schreibt man üblicherweise <math>D_n</math>, um den Zusammenhang mit dem regelmäßigen <math>n</math>-Eck zu unterstreichen. In der Gruppentheorie schreibt man oft auch <math>D_{2n}</math>, um stattdessen die Ordnung <math>2n</math> hervorzuheben. Diese Zweideutigkeit lässt sich jedoch leicht durch eine erläuternde Ergänzung beheben. In diesem Artikel steht <math>D_n</math> für die Diedergruppe mit <math>2n</math> Elementen.
Definition[Bearbeiten]
Die Diedergruppe <math>D_n</math> lässt sich für jede ganze Zahl <math>n \ge 1</math> als eine Gruppe erklären, die aus <math>n</math> Drehungen und <math>n</math> Achsenspiegelungen in der Ebene sowie der Verkettung als Verknüpfung besteht.<ref>Die Verkettung wird häufig mit <math>\circ</math> bezeichnet und die Gruppe dann auch ausführlicher mit <math>(D_n,\circ).</math></ref> Dadurch ist sie im Wesentlichen eindeutig festgelegt. Denn diese <math>2n</math> Kongruenzabbildungen haben dann einen gemeinsamen Fixpunkt <math>O,</math><ref> Alle <math>n</math> Spiegelachsen gehen also durch den Punkt <math>O,</math> und dieser kann als gemeinsamer Drehpunkt betrachtet werden. <math>O</math> erhält man etwa als Schwerpunkt der Bildpunkte eines beliebigen Punktes <math>P</math> unter allen Gruppenelementen: <math>\textstyle O = \frac{1}{2n} \sum_{g \in D_n} g(P).</math></ref> die <math>n</math> Drehwinkel sind
- <math>
\alpha_k = \frac{2k\pi}{n}\quad (k = 0,1,\dotsc,n-1), </math> und die <math>n</math> Spiegelachsen ergeben sich aus einer von ihnen durch Drehungen um die Winkel
- <math>
\frac{\alpha_k}{2} = \frac{k\pi}{n}\quad (k = 0,1,\dotsc,n-1) </math> (siehe Satz von Leonardo).
Für <math>n \ge 3</math> ist die Gruppe <math>D_n</math> daher identisch mit der Symmetriegruppe eines regelmäßigen <math>n</math>-Ecks, dessen Symmetrieachsen die <math>n</math> Spiegelachsen sind und dessen Mittelpunkt somit <math>O</math> ist. Die Gruppe <math>D_n</math> ist dann nicht abelsch, und ihre <math>2n</math> Elemente bezeichnet man auch als Symmetrietransformationen.
Die Diedergruppe <math>D_n</math> kann für jedes <math>n \ge 1</math> auch algebraisch definiert werden als semidirektes Produkt <math>\mathbb Z / n\mathbb Z \rtimes_{g\mapsto g^{-1}} \mathbb Z / 2\mathbb Z</math> (dabei ist in dem semidirekten Produkt die Operation von <math>\mathbb Z / 2\mathbb Z</math> auf <math>\mathbb Z / n\mathbb Z</math> durch Inversion gegeben). Aber darauf wird hier nicht weiter eingegangen.
Beispiele[Bearbeiten]
Ein Beispiel ist die Diedergruppe <math>D_3</math> der Kongruenzabbildungen eines gleichseitigen Dreiecks auf sich, die isomorph zur symmetrischen Gruppe <math>S_3</math> ist. <math>D_4</math> ist entsprechend die Symmetriegruppe des Quadrats unter Spiegelungen und Drehungen.
<math>D_2</math> ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe und ist die Symmetriegruppe (bestehend nur aus den beiden Spiegelungen, der Drehung um 180° und der Identität) von den vier Ecken eines Quadrats, bei dem nur die rechte und linke Seite eingezeichnet sind (also zwei Zweiecke). <math>D_1</math> ist die Symmetriegruppe eines Zweiecks.
<math>D_2</math> ist auch die Symmetriegruppe eines nicht gleichseitigen Rechtecks oder einer nicht gleichwinkligen Raute. <math>D_1</math> ist auch die Symmetriegruppe eines gleichschenkligen Dreiecks, das nicht gleichseitig ist.
Die folgende Grafik illustriert die Diedergruppe <math>D_8</math> anhand der Drehungen und Spiegelungen eines Stoppschildes: Die erste Zeile zeigt die acht Drehungen, die zweite Zeile die acht Spiegelungen.
Matrix-Darstellung[Bearbeiten]
Die <math>n</math> Drehungen und <math>n</math> Achsenspiegelungen der Diedergruppe <math>D_n</math> mit einer ganzen Zahl <math>n \ge 1</math> lassen sich durch orthogonale <math>2\!\times\!2\!\ \text{-}</math>Matrizen darstellen. Dazu wird in der Ebene ein positiv orientiertes<ref name="Drehsinn">Welcher Drehsinn in der Ebene als der positive zugrunde liegt, spielt keine Rolle.</ref> kartesisches <math>x\text{-}y\text{-}</math>Koordinatensystem zugrunde gelegt, dessen Ursprung der Fixpunkt <math>O</math> ist und dessen <math>x\text{-}</math>Achse eine der Spiegelachsen ist. Die Drehung um den Winkel <math>\alpha_k = k\cdot 2\pi/n</math> (im positiven Sinn)<ref name="Drehsinn"/> wird dann durch die Matrix
- <math>
r_k = \begin{pmatrix} \cos\alpha_k&-\sin\alpha_k\\ \sin\alpha_k&\cos\alpha_k \end{pmatrix} </math> dargestellt und die Spiegelung an der um <math>O</math> um den Winkel <math>\alpha_k/2 = k\cdot\pi/n</math> gedrehten <math>x\text{-}</math>Achse durch
- <math>
s_k = \begin{pmatrix} \cos\alpha_k&\sin\alpha_k\\ \sin\alpha_k&-\cos\alpha_k \end{pmatrix} </math> <math>(k = 0,1,\dotsc,n-1).</math>
Diese <math>2n</math> Matrizen bilden bezüglich der Matrizenmultiplikation eine zu <math>D_n</math> isomorphe Gruppe. Diese Matrizengruppe ist eine Untergruppe der orthogonalen Gruppe <math>O(2)</math> und wird im Folgenden mit <math>D_n</math> identifiziert.
Die Winkel <math>\alpha_k = k\cdot 2\pi/n</math> lassen sich für alle ganzen Zahlen <math>k</math> bilden, ebenso die zugehörigen Drehungen und Achsenspiegelungen bzw. Matrizen <math>r_k</math> und <math>s_k.</math> Es fallen dann folgende Relationen auf:
- <math>r_{k+n}=r_k</math> und <math>s_{k+n}=s_k</math> für alle <math>k.</math>
- <math>r_0</math>, die Drehung um den Winkel <math>0</math>, ist die Identität.
- <math>r_1</math> ist die Drehung um den Winkel <math>2\pi/n</math> und es gilt <math>r_k = r_1^k</math> für alle <math>k</math>.
- <math>s_0</math> ist die Spiegelung an der <math>x</math>-Achse und es gilt <math>s_k = r_k s_0</math> für alle <math>k</math>.
Im Fall <math>n \ge 3</math> gilt mit dem in der obigen Definition betrachteten regelmäßigen <math>n</math>-Eck: Wenn <math>n</math> ungerade ist, dann verläuft jede der <math>n</math> Spiegelachsen durch einen Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Für gerades <math>n</math> gibt es hingegen zwei Arten von Spiegelachsen, durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte oder durch zwei gegenüberliegende Seitenmittelpunkte.
In der Matrix-Darstellung schreiben sich zum Beispiel die acht Elemente der Diedergruppe <math>D_4</math> wie folgt:
- <math>
\begin{align}
r_0 &= \bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}\bigr), &
r_1 &= \bigl(\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr), &
r_2 &= \bigl(\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\bigr), &
r_3 &= \bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}\bigr), \\[1ex]
s_0 &= \bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\bigr), &
s_1 &= \bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr), &
s_2 &= \bigl(\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\end{smallmatrix}\bigr), &
s_3 &= \bigl(\begin{smallmatrix}0&-1\\-1&0\end{smallmatrix}\bigr).
\end{align}
</math> Diese Drehungen und Spiegelungen lassen sich bildlich wie folgt darstellen:
<math>a</math> ist die Drehung um 90° im Uhrzeigersinn,
<math>b</math> ist die Spiegelung an der vertikalen Mittelachse.<ref>Falls hier noch der Uhrzeigersinn als positiv und die <math>x</math>-Achse nach oben zeigend zugrunde liegt, so zeigt die <math>y</math>-Achse nach rechts, und es ist
<math>\begin{alignat}{1} e &= r_0\colon &\text{Drehung um } \alpha_0 = 0^\circ, \vphantom{a^{1^1}}\\ a &= r_1\colon &\text{Drehung um } \alpha_1 = 90^\circ, \vphantom{a^1}\\ a^2 &= r_2\colon &\text{Drehung um } \alpha_2 = 180^\circ,\\ \phantom{b}a^3 &= r_3\colon\;\; &\text{Drehung um } \alpha_3 = 270^\circ,\qquad \end{alignat}</math> <math>\begin{alignat}{1} b &= s_0\colon &\text{Spiegelung an der }x\text{-Achse}, \vphantom{a^{1^1}}\\ ab &= s_1\colon &\text{Spiegelung an der Geraden }y = x, \vphantom{a^1}\\ a^2b &= s_2\colon &\text{Spiegelung an der }y\text{-Achse},\\ a ^3b &= s_3\colon\;\; &\text{Spiegelung an der Geraden }y = -x. \end{alignat}</math></ref>
| Datei:Group D8 id.svg <math>r_0</math> (Drehung um 0°) |
Datei:Group D8 270.svg <math>r_1</math> (Drehung um 90°) |
Datei:Group D8 180.svg <math>r_2</math> (Drehung um 180°) |
Datei:Group D8 90.svg <math>r_3</math> (Drehung um 270°) |
| Datei:Group D8 fv.svg <math>s_0</math> (Spiegelung an der x-Achse) |
Datei:Group D8 f13.svg <math>s_1</math> (Spiegelung an der Diagonale y=x) |
Datei:Group D8 fh.svg <math>s_2</math> (Spiegelung an der y-Achse) |
Datei:Group D8 f24.svg <math>s_3</math> (Spiegelung an der Diagonale y=-x) |
| Drehungen und Spiegelungen eines Quadrates. Die vier Ecken sind nummeriert und eingefärbt, um die Transformation bildlich darzustellen. | |||
Permutations-Darstellung[Bearbeiten]
Betrachten wir zunächst als Beispiel die Diedergruppe <math>D_4</math>. Diese operiert durch Symmetrietransformationen auf einem Quadrat wie in der vorangehenden Grafik gezeigt. Betrachtet man die Aktion der Diedergruppe <math>D_4</math> auf den Eckpunkten <math>1, 2, 3, 4</math>, erhält man eine treue Darstellung in die symmetrische Gruppe <math>S_4</math>, also einen injektiven Gruppenhomomorphismus <math>\tau \colon D_4 \to S_4</math>. Genauer gesagt wirken die Transformationen auf den Ecken als folgende Permutationen:
- <math>
\begin{align}
\tau(r_0) & = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{smallmatrix}\right), &
\tau(r_1) & = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{smallmatrix}\right), &
\tau(r_2) & = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{smallmatrix}\right), &
\tau(r_3) & = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{smallmatrix}\right), \\[1ex]
\tau(s_0) & = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right), &
\tau(s_1) & = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{smallmatrix}\right), &
\tau(s_2) & = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{smallmatrix}\right), &
\tau(s_3) & = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2 \end{smallmatrix}\right).
\end{align}
</math>
Ganz allgemein definiert die Operation der Diedergruppe <math>D_n</math> auf den Eckpunkten <math>P_1, P_2, \dotsc, P_n</math> eine treue Darstellung <math>\tau \colon D_n \to S_n</math>. In obiger Notation erhält man zum Beispiel die Permutation
- <math>\tau(r_1) = (1\;\; 2\;\; 3\,\dots\, n).</math>
In Zyklenschreibweise ist dies die zyklische Permutation, die <math>P_1</math> auf <math>P_2</math> abbildet, <math>P_2</math> auf <math>P_3</math> und so weiter, bis schließlich <math>P_n</math> auf <math>P_1</math> abgebildet wird. Die weiteren Drehungen erhält man hieraus mittels der Relation <math>r_k = r_1^k</math> für alle <math>k</math>. Für die Spiegelung an der Symmetrieachse durch <math>P_n</math> erhält man entsprechend in Zyklenschreibweise
- <math>\tau(s_1) = (1\;\,\ n\!-\!1)\, (2\;\,\ n\!-\!2) \dotsm \left(\bigl\lfloor\! \tfrac {n-1}2 \!\bigl\rfloor\;\,\ \bigl\lfloor\! \tfrac {n+2}2 \!\bigl\rfloor\right)</math>
mit der Gaußschen Ganzteilfunktion <math>x \mapsto \lfloor x \rfloor</math> (die jeder reellen Zahl <math>x</math> die größte ganze Zahl zuordnet, die nicht größer als <math>x</math> ist). Die weiteren Spiegelungen erhält man hieraus mittels der Relation <math>s_{k+1} = r_k s_1</math> für alle <math>k</math> (mit <math>s_n = s_0</math>).
Erzeuger und Relationen[Bearbeiten]
Alle <math>n</math> Drehungen werden von <math>r=r_1</math> erzeugt. Diese bilden eine zyklische Untergruppe der Ordnung <math>n</math> und demnach von Index <math>2</math>. Man erhält die gesamte Gruppe durch Hinzufügen einer beliebigen Spiegelung, zum Beispiel <math>s = s_0</math>, und so die Präsentation
- <math>D_n = \left\langle r, s \;\big|\; r^n = s^2 = \ s r s r = e\right\rangle</math>
für <math>n \ge 2,</math> wobei <math>e</math> das neutrale Element der Gruppe ist.
Aus den letzten beiden Gleichungen folgt <math>\textstyle sr = r^{-1}s^{-1}</math> <math>\textstyle = r^{-1}s</math> und daraus
- <math>
sr^k = r^{-k}s </math> für alle ganzen Zahlen <math>k</math> (zunächst induktiv nur für <math>k \ge 0,</math> aber hieraus auch <math>\textstyle sr^{-k} = r^ks</math>). Mit <math>\textstyle r^n = e</math> ergibt sich noch <math>\textstyle sr^k = r^{n-k}s.</math>
Die Verkettung von zwei Spiegelungen ist eine Drehung. Ist der Winkel zwischen den beiden Spiegelachsen <math>\alpha</math>, so ist diese Verkettung eine Drehung um den Winkel <math>2\alpha</math>. Das bedeutet, dass die Diedergruppe <math>D_n</math> für <math>n \ge 2</math> von zwei benachbarten Spiegelungen, zum Beispiel <math>s_0</math> und <math>s_1</math>, erzeugt wird. Man erhält so die Präsentation
- <math>D_n = \left\langle s_0, s_1 \;\big|\; s_0^2 = s_1^2 = (s_0 s_1)^n = e\right\rangle</math>
für <math>n \ge 2</math> bzw. <math>D_1 = \left\langle s_0 \,\big|\, s_0^2 = e\right\rangle</math>. Dies ist der einfachste Fall einer Coxeter-Gruppe.
Für alle Indizes <math>i</math> und <math>j</math> gilt außerdem:
- <math>r_i r_j = r_{i+j}</math>
- <math>r_i s_j = s_{i+j}</math>
- <math>s_i r_j = s_{i-j}</math>
- <math>s_i s_j = r_{i-j}</math>
Dabei werden die Indizes jeweils modulo <math>n</math> betrachtet (<math>r_{i+n}=r_i</math> und <math>s_{i+n}=s_i</math>).
Anwendungen[Bearbeiten]
Geometrie[Bearbeiten]
Diedergruppen sind die einfachsten Beispiele von Spiegelungsgruppen. Diese spielen in der klassischen Geometrie eine wichtige Rolle, zum Beispiel bei der Klassifikation der regulären Polyeder. In Dimension <math>2</math> entsprechen hier Diedergruppen den regulären Polygonen.
Codierung[Bearbeiten]
Manche Prüfsummenverfahren beruhen auf Diedergruppen – als Alternative zu diversen modulo-basierten Verfahren. So wurde bei den 11-stelligen Nummern der 10- bis 1000-DM-Banknoten der vierten Serie (der letzten vor dem Euro) ein Prüfzeichen-Code <math>C</math> über der Diedergruppe <math>D_5</math> verwendet<ref name="Beutelspacher1995">Albrecht Beutelspacher: Vertrauen ist gut, Kontrolle ist besser! Vom Nutzen elementarer Mathematik zum Erkennen von Fehlern. In: Jahrbuch Überblicke Mathematik. 1995, ISSN 0172-8512, DNB 011466979, S. 27–37.</ref><ref name="Schulz2003">Ralph-Hardo Schulz: Codierungstheorie. Eine Einführung. 2., aktualisierte und erweiterte Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-16419-0, S. 64–66.</ref> (für die 10-stelligen Nummern der 5-DM-Scheine wurde er in naheliegender Weise modifiziert).
Der Code <math>C</math> lässt sich als die Menge aller 11-Tupel
- <math>x = (x_1,x_2,\dotsc,x_{10},x_{11}) \in D_5^{11}
</math> auffassen, welche die folgende Kontrollgleichung erfüllen:
- <math>
f(x_1)\!\ f^2(x_2)\dotsm f^{10}(x_{10})\!\ x_{11} = e </math> mit der durch die Skizze gegebenen bijektiven Abbildung <math>f\colon\, D_5\to D_5</math> und deren Iterierten wie etwa <math>\textstyle f^2 = f\circ f\,</math> (<math>e,</math> <math>r</math> und <math>s</math> wie oben). Der Code <math>C \subseteq D_5^{11}</math> lässt jeden Einzelfehler erkennen, ebenso jede Nachbar-Vertauschung („Zahlendreher“) – außer der von <math>x_{10}</math> mit <math>x_{11}</math> (es wurde vergessen, <math>x_{11}</math> mit <math>\textstyle f^{11}</math> abzubilden<ref name="Beutelspacher1995"/>).
| 5 Drehungen | 5 Spiegelungen | |||||||||
| Gruppenelement | <math>\,e\,</math> | <math>\,r\,</math> | <math>r^2</math> | <math>r^3</math> | <math>r^4</math> | <math>\,s\,</math> | <math>rs</math> | <math>r^2\!s</math> | <math>r^3\!s</math> | <math>r^4\!s</math> |
| Ziffer | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Buchstabe | A | D | G | K | L | N | S | U | Y | Z |
Bei den Nummern sind die Gruppenelemente <math>x_1,\!\ x_2,\!\ x_{10}</math> durch Buchstaben und <math>x_3,\dotsc,\!\ x_9,\!\ x_{11}</math> durch Ziffern gemäß der Tabelle symbolisiert (die Ziffer an der letzten Stelle ist das Prüfzeichen).
Beispiel. Die Nummer AA6186305Z2 eines 100-DM-Scheins<ref name="Schulz2003"/> entspricht dem 11-Tupel
- <math>
x = \big(e,e,rs,r,r^3\!s,rs,r^3\!,e,s,r^4\!s,r^2\big) \in D_5^{11}. </math> Um zu zeigen, dass <math>x</math> die Kontrollgleichung tatsächlich erfüllt, werden zunächst die einzelnen Faktoren der linken Seite an der Skizze abgelesen: <math>f(e) = r,</math> <math>\textstyle f^2(e) = s</math> und so fort. Dann wird ihr Produkt bestimmt und vereinfacht, insbesondere mit den drei in Klammern stehenden Rechenregeln in <math>D_5</math> für ganzzahliges <math>k\colon</math>
- <math>\textstyle
\underset{r\vphantom{r^0}}{f(e)}\!\ \underset{s\vphantom{r^0}}{f^2(e)}\!\ \underset{r^3}{f^3(rs)}\!\ \underset{r^4}{f^4(r)}\!\ \underset{e\vphantom{r^0}}{f^5(r^3\!s)}\!\ \underset{rs\vphantom{r^0}}{f^6(rs)}\!\ \underset{rs\vphantom{r^0}}{f^7(r^3)}\!\ \underset{e\vphantom{r^0}}{f^8(e)}\!\ \underset{r^3\!\!\ s}{f^9(s)}\!\ \underset{r^2}{f^{10}(r^4\!s)}\!\ r^2 </math>
- <math>\!\begin{alignat}{1}
&= rsr^8\!srsr^3\!sr^4 &\big(sr^k = r^{-k}\!s\big)^\vphantom{|} \\[0.7ex] &= rr^{-8}\!ssrr^{-3}\!ssr^4 \qquad\;&\big(s^2 = e\big) \\[0.7ex] &= r^{-5} = e &\big(r^{5k} = e\big) \end{alignat}</math> und somit ist auch <math>x \in C.</math>
Siehe auch[Bearbeiten]
Weblinks[Bearbeiten]
- Eric W. Weisstein: Dihedral Group. In: MathWorld (englisch).
- Stephan-Brumme.com: Der Geldscheintester.
Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten]
<references />