Dodekaederstumpf
Der Dodekaederstumpf (auch abgestumpftes Dodekaeder) ist ein Polyeder (Vielflächner), das durch Abstumpfung der Ecken eines Pentagon-Dodekaeders entsteht und zu den archimedischen Körpern zählt. Anstatt der 20 Ecken des Dodekaeders befinden sich nun dort ebenso viele gleichseitige Dreiecke; die zwölf Fünfecke des Dodekaeders werden zu regelmäßigen Zehnecken. Der Dodekaederstumpf besitzt 60 Ecken und 90 Kanten.
Der zum Dodekaederstumpf duale Körper ist das Triakisikosaeder.
Kartesische Koordinaten[Bearbeiten]
Die geraden Permutationen von
<math display="block"> \left(0, \pm \frac{1}{\Phi}, \pm (2 + \Phi) \right), \qquad \left(\pm \frac{1}{\Phi}, \pm \Phi, \pm 2 \Phi \right), \qquad \left(\pm \Phi, \pm 2, \pm (\Phi + 1) \right) </math>
ergeben ein abgestumpftes Dodekaeder mit Mittelpunkt im Ursprung und Kantenlänge <math>2 \Phi - 2</math>. Dabei ist <math>\Phi = \tfrac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> das Verhältnis des Goldenen Schnittes.
Formeln[Bearbeiten]
| Größen eines abgestumpften Dodekaeders mit Kantenlänge a | |
|---|---|
| Volumen | <math>V = \frac{5}{12}\,a^3 \left(99 + 47\sqrt{5} \right) </math> |
| Oberflächeninhalt | <math>A_O = 5 a^2 \left(\sqrt{3}+6\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right) </math> |
| Umkugelradius | <math>R = \frac{a}{4} \sqrt{74 + 30\sqrt{5}} </math> |
| Kantenkugelradius | <math>r = \frac{a}{4} \left(5 + 3\sqrt{5} \right) </math> |
| 1. Flächenwinkel (Dekagon–Dekagon) ≈ 116° 33′ 54″ |
<math> \cos \, \alpha_1 = -\frac{1}{5} \sqrt{5} </math> |
| 2. Flächenwinkel (Dekagon–Trigon) ≈ 142° 37′ 21″ |
<math> \cos \, \alpha_2= -\sqrt{\frac{5 + 2\sqrt{5}}{15}} </math> |
| 3D-Kantenwinkel (Dekagon–Trigon) ≈ 159° 5′ 41″ |
<math> \cos \, \beta = -\frac{\sqrt{3}}{6} \left(1+\sqrt{5}\right) </math> |
| Eckenraumwinkel ≈ 1,2323 π |
<math> \Omega = 2 \pi - \arccos \left(-\frac{1}{3} \sqrt{5}\right) </math> |
| Sphärizität ≈ 0,92601 |
<math> \Psi = \frac{\sqrt [3] {100\,\pi \left(10\,423 + 4\,653 \sqrt{5}\right)}} {10 \left(\sqrt{3} + 6 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}\right)} </math> |
Weblinks[Bearbeiten]
- Eric W. Weisstein: Dodekaederstumpf. In: MathWorld (englisch).
- Mathematische Basteleien: Abgestumpftes Dodekaeder
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