Dyson-Reihe

Wellenfunktionsdarstellung[Bearbeiten]

Im Wechselwirkungsbild der Quantenmechanik spaltet man den Hamiltonoperator <math>H</math> in einen ungestörten Teil <math>H_0</math> und einen Wechselwirkungsterm <math>V</math> auf: <math>H = H_0 + V</math>. Das Wechselwirkungsbild (Index <math>\text{I}</math> für engl. interaction) hängt mit dem Schrödingerbild (ohne Index) wie folgt zusammen:

Zustände: <math>\psi_\text{I}(t) := e^{\mathrm i H_0 t / \hbar} \; \psi(t)</math>
Störoperator: <math>V_\text{I}(t) := e^{\mathrm i H_0 t / \hbar} \; V(t) \; e^{-\mathrm i H_0 t / \hbar}</math>

Leitet man nun die Definitionsgleichung für <math>\psi_\text{I}(t)</math> nach der Zeit <math>t</math> ab und setzt die Schrödingergleichung ein, so ergibt sich für die Zeitentwicklungsgleichung:

<math>\mathrm i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi_\text{I}(t) = V_\text{I}(t) \psi_\text{I}(t)\;\;.</math>

Eine Zeitintegration ergibt die Integralgleichung:

<math>\psi_\text{I}(t) = \psi_\text{I}(t_0) + \frac{1}{\mathrm i\hbar} \int_{t_0}^{t} \mathrm dt_1 \, V_\text{I}(t_1) \, \psi_\text{I}(t_1)\;\;.</math>

Dies kann als Rekursionsgleichung für <math>\psi_\text{I}(t)</math> gelesen werden. Iteratives Einsetzen von <math>\psi_\text{I}(t_{(n)})</math> liefert:

<math>\psi_\text{I}(t) = \psi_\text{I}(t_0) + \frac{1}{\mathrm i\hbar} \int_{t_0}^{t} \mathrm dt_1 \, V_\text{I}(t_1) \, \psi_\text{I}(t_0) + \frac{1}{(\mathrm i\hbar)^2} \int_{t_0}^{t} \mathrm dt_1 \int_{t_0}^{t_1} \mathrm dt_2 \, V_\text{I}(t_1) \, V_\text{I}(t_2) \, \psi_\text{I}(t_0) + \ldots\;\;.</math>

Im Allgemeinen kommutieren <math>V_\text{I}(t_1)</math> und <math>V_\text{I}(t_2)</math> nicht, <math>[V_\text{I}(t_1), V_\text{I}(t_2)] \neq 0</math>. Deshalb ist die Zeitordnung <math>t_0\le t_1 \le t_2 \le t </math> im Integrationsgebiet wichtig. Aufgrund der Symmetrie des Integranden ist es dennoch möglich, alle Integrale stattdessen von <math>t_0</math> bis <math>t</math> laufen zu lassen. Dann muss allerdings der Integrand nachträglich zeitgeordnet werden und der n-te Summand um den Faktor <math>1/n!</math> korrigiert werden (<math>\mathcal T </math> steht für den Zeitordnungsoperator):

<math>\psi_\text{I}(t) = \psi_\text{I}(t_0) + \frac{1}{\mathrm i\hbar} \int_{t_0}^{t} \mathrm dt_1 \, V_\text{I}(t_1) \, \psi_\text{I}(t_0) + \frac{1}{(\mathrm i\hbar)^2} \frac{1}{2!} \int_{t_0}^{t}\mathrm dt_1 \int_{t_0}^{t} \mathrm dt_2 \, \mathcal{T} \, V_\text{I}(t_1) \, V_\text{I}(t_2) \, \psi_\text{I}(t_0) + \ldots\;\;.</math>

Dies ist die Dyson-Reihe für Wellenfunktionen:

<math>\psi_\text{I}(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(\mathrm i\hbar)^n} \frac{1}{n!} \int_{t_0}^{t} \mathrm dt_1 \int_{t_0}^{t} \mathrm dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t} \mathrm dt_n \, \mathcal{T} \, \left( \prod_{k=1}^n V_\text{I}(t_k) \right) \psi_\text{I}(t_0) \;\;.</math>

Für die Störungstheorie nützlich sind weiterhin die Überlappelemente:

<math>\langle \psi(t) \mid \psi(t_0) \rangle = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(\mathrm i\hbar)^n} \underbrace{\int \mathrm dt_1 \cdots \mathrm dt_n}_{t \ge t_1 \ge \cdots \ge t_n \ge t_0}\, \langle \psi(t) | e^{-\mathrm iH_0(t-t_1)} V e^{-\mathrm iH_0(t_1-t_2)} \cdots V e^{-\mathrm iH_0(t_n-t_0)} | \psi(t_0) \rangle\;.</math>

Aufgrund obiger Definition von <math>\psi_\text{I}(t)</math> sind die Skalarprodukte im Wechselwirkungsbild und Schrödingerbild identisch.

Operatordarstellung[Bearbeiten]

Es ist auch möglich, die Dyson-Reihe direkt mit dem Zeitentwicklungsoperator <math> U </math> zu entwickeln, ohne Wellenfunktionen explizit zu verwenden. <math>U</math> wird auch Propagator – oder in diesem Zusammenhang auch Dyson-Operator – genannt. Per Definition liefert der Zeitentwicklungsoperator <math> U(t,t_0)</math> angewandt auf eine Wellenfunktion zur Zeit <math>t_0</math> die Wellenfunktion zur Zeit <math>t</math>:

Setzt man dies in die obige Zeitentwicklungsgleichung ein, erhält man unter der Annahme, dies gelte für jede Wellenfunktion <math>\psi </math>:

<math>\mathrm i\hbar \frac{\partial}{\partial t} U_\text{I}(t,t_0) = V_\text{I}(t) U_\text{I}(t,t_0)\;\;.</math>

Durch formale Integration erhält man dann analog zu oben eine Rekursionsgleichung:

<math>U_\text{I}(t,t_0) = 1 + \frac{1}{\mathrm i\hbar} \int_{t_0}^{t} \mathrm dt_1 \, V_\text{I}(t_1) \, U_\text{I}(t_1,t_0)\;\;.</math>

Dies führt mit einer analogen Herleitung (siehe Artikel zur zeitabhängigen Störungstheorie) zur Dyson-Reihe für den Zeitentwicklungsoperator:

<math>U_\text{I}(t,t_0) = \mathcal{T} \, e^{\frac{1}{\mathrm i \hbar} \int_{t_0}^t V_\text{I}(t_1) \, \mathrm dt_1}.</math>

Im Schrödingerbild gilt entsprechend:

<math>U(t,t_0) = \mathcal{T} \, e^{\frac{1}{\mathrm i\hbar} \int_{t_0}^t H(t_1) \, \mathrm dt_1}.</math>

Literatur[Bearbeiten]

Franz Schwabl, Quantenmechanik (QM I). Eine Einführung, 7. Auflage, Springer Verlag, München 2007, ISBN 978-3-540-73674-5. Kapitel 16.3.1 Störungsentwicklung

Einzelnachweise[Bearbeiten]