Eigenspinor

Eigenspinoren stellen in der Quantenmechanik die Basisvektoren dar, die den Spin-Zustand eines Teilchens beschreiben. Für ein einzelnes Spin-½-Teilchen können sie als die Eigenvektoren der Pauli-Matrizen betrachtet werden. In Termen der Physik zählen Eigenspinoren nicht zu Vektoren, sondern zu den Spinoren. Sie bilden ein vollständiges Orthonormalsystem.

Hintergrund

Der Spin <math>\vec S</math> eines Teilchens gehorcht der quantenmechanischen Drehimpulsalgebra, daher sind nicht alle Komponenten des Spins gleichzeitig messbar. Es ist daher nicht möglich, alle drei Komponenten <math>S_x,S_y,S_z</math> des Spins in allen drei Raumdimensionen gleichzeitig anzugeben, sondern nur gleichzeitig seinen Betrag <math>|\vec S| = s(s+1)</math> und seine Projektion auf eine Koordinatenachse. Aufgrund der Quantisierung des Spins in Einheiten der (halben) reduzierten Planck-Konstante <math>\hbar</math> existieren <math>2s+1</math> verschiedene solche Einstellungen.

Spinoren für Teilchen mit Spin ½

Für ein Teilchen mit dem Spin ½, gibt es somit nur zwei mögliche Eigenzustände für den Spin: parallel oder antiparallel zu einer Koordinatenachse. In Bra-Ket-Notation als Zustandsvektoren wird der Spin daher als zweikomponentiger Spinor notiert. Der parallele Spin wird als <math>|0 \rangle</math>, der antiparallele als <math>|1 \rangle</math> bezeichnet. Konventionell wird das Koordinatensystem so gewählt, dass die Projektion auf die <math>z</math>-Achse die ausgezeichnete Richtung darstellt. Damit gilt <math>\chi_\pm^z = \chi_\pm</math> und für die übrigen Raumrichtungen:

<math>S_z</math>	<math>S_x</math>	<math>S_y</math>
0\rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} </math>	<math>\chi_+^x = \frac{1}{\sqrt 2} \left(|0 \rangle + |1 \rangle\right) = \frac{1}{\sqrt 2} \begin{bmatrix} 1 \\1 \end{bmatrix} </math>	0 \rangle + \mathrm i |1\rangle\right) = \frac{1}{\sqrt 2} \begin{bmatrix} 1 \\ \mathrm i \end{bmatrix} </math>
1\rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} </math>	0 \rangle - |1 \rangle\right) = \frac{1}{\sqrt 2} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} </math>	0 \rangle - \mathrm i |1 \rangle\right) = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1 \\ - \mathrm i \end{bmatrix} </math>

Datei:3D Spherical.svg

Kugelkoordinaten (<math>r, \theta, \varphi</math>): Radius <math>r</math>, Polarwinkel <math>\theta</math>, und Azimutalwinkel <math>\varphi</math>

Diese Ergebnisse sind Spezialfälle der Eigenspinoren für die durch <math>\theta</math> und <math>\varphi</math> festgelegten Parameter in Kugelkoordinaten – diese Eigenspinoren sind:

<math>\chi_+ = \begin{bmatrix}

\cos (\theta/2)\\
\mathrm e^{\mathrm i\varphi} \sin (\theta/2)\\

\end{bmatrix} </math>

<math>\chi_- = \begin{bmatrix}

\sin (\theta/2)\\
-\mathrm e^{\mathrm i\varphi} \cos (\theta/2)\\

\end{bmatrix} </math>

Spinoren für Teilchen mit höherem Spin

Spinoren für Teilchen mit Spin <math>\textstyle s > \frac 12</math> können als dyadische Produkte der Basisspinoren für Teilchen vom Spin ½ dargestellt werden.

Einzelnachweise

• Griffiths, David J. (2005) Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.