Ellipsograph des Archimedes

Datei:Trammel of Archimedes Large.gif

Ellipsograph des Archimedes als 3D-Animation

Datei:SI ellipsograph crop.jpg

Einstellbarer Ellipsograph, hergestellt circa 1900

Der Ellipsograph, Ellipsenzirkel des Archimedes<ref></ref> oder Stuckateurzirkel<ref>Franz Reuleaux: Theoretische Kinematik: Grundzüge einer Theorie des Maschinenwesens. 1875, S. 318 (Volltext in der Google-Buchsuche). </ref><ref></ref> ist ein Mechanismus, der die Form einer Ellipse erzeugt.

Er besteht im Wesentlichen aus drei unterschiedlichen Bauteilen:

1. einer Grundplatte mit zwei rechtwinklig zueinander liegenden Führungsnuten (andere Konfigurationen sind technisch möglich, aber unüblich),
2. einem Zeichenarm mit der Halterung für den Zeichenstift bei Punkt <math>E</math> sowie zwei Gelenkaugen <math>A</math> und <math>B</math>,
3. zwei Kulissensteine mit Lagerbolzen, eingeschoben in den Führungsnuten der Grundplatte, verbinden die Grundplatte im Punkt <math>A</math> und <math>B</math> mit dem damit beweglichen Zeichenarm.

Der Abstand zwischen Zeichenstift und dem ersten Gelenkauge <math>A</math> sei <math>q</math>, der Abstand zwischen den Gelenken <math>p</math>. Durch Variieren von <math>q</math> und <math>p</math> können bezüglich Größe und Form unterschiedliche Ellipsen gezeichnet werden. So ist die Länge der großen Halbachse <math>p+q</math> und die Länge der kleinen Halbachse <math>q</math>.<ref></ref>

Die Geschichte dieses Mechanismus ist nicht gesichert. Es wird angenommen, dass Proklos den Mechanismus kannte,<ref name="Lueger"></ref> aber eventuell war der Mechanismus bereits zu archimedischen Zeiten bekannt.

Es existiert ein britisches Patent für diesen Mechanismus von 1894.<ref>Patent GB189402496A: Ellipsograph. Angemeldet am 5. Februar 1894, veröffentlicht am 5. Mai 1894, Erfinder: Gustav Heinel, Carl Barth.‌</ref>

Der Mechanismus ist auch bekannt als:

• Archimedischer Ellipsograph<ref>Archimedischer Ellipsograph. In: webenergie.ch. Do-it-yourSciences, Die Plattform für wissenschaftliche und pädagogische Werkarbeiten, 16. März 2010, abgerufen am 6. April 2017. </ref>
• Der Ellipsograph des Proklos<ref>Der Ellipsograph des Proklos. In: Die kinematischen geometrischen Mechanismen der Griechen der Antike. Kotsanas Museum of Ancient Greek Technology, archiviert vom Vorlage:IconExternal (nicht mehr online verfügbar) am 25. Dezember 2016; abgerufen am 6. April 2017.  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/kotsanas.com </ref>

Mathematische Grundlagen

Datei:01-Ellipsograph-Animation.gif

Skizze vom Ellipsograph mit den Kenngrößen und eingezeichnetem Viertel der Ellipse,<ref></ref> Animation, Start nach 30 s Pause

Wie in der nebenstehenden Skizze zu sehen ist, hat die Strecke <math>\overline{BE} = p + q </math> die gleiche Länge wie die Halbachse <math>\overline{MA_0}</math> und die Strecke <math>\overline{AE} = q </math> die gleiche Länge wie die Halbachse <math>\overline{MB_0}</math> der Ellipsenlinie <math>E_L</math>.<ref name="Lueger" /> Da die beiden rechtwinkligen Dreiecke <math>BEY</math> und <math>EAX</math> zueinander ähnlich sind, ist folgerichtig der Winkel <math>\theta'</math> der Z-Winkel von <math>\theta</math>.

Für die allgemeine Bestimmung des Punktes <math>E</math> im kartesischen Koordinatensystem gilt nach dem Satz des Pythagoras

<math>\frac{x}{p+q} = \cos\theta\,</math>, daraus folgt

<math>x = (p+q)\cdot\cos\theta\,</math>,

<math>\frac{y}{q} = \sin\theta\,</math>, somit ist

<math>y = q \cdot \sin\theta</math>.

Die mit dem Mechanismus vom Ellipsographen und dem Zeichenstift im Punkt <math>E</math> erzeugbare Linie ist eine sogenannte Ellipse in der 1. Hauptlage, denn wird für die große Halbachse <math>a</math> die Länge <math>p+q</math> sowie für die kleine Halbachse <math>b </math> die Länge <math>q</math> eingesetzt, entspricht die gefundene Gleichung der für die Ellipse in der 1. Hauptlage:

<math>\frac{x^2}{(p+q)^2}+ \frac{y^2}{q^2}= 1 = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}</math>.

Äquivalenz zu den Cardanischen Kreisen

Datei:Tusi couple vs Trammel plus Ellipses.gif

Cardanische Kreise (schwarz) und Ellipsograph (grau). Der Momentanpol ist mit einem pinkfarbenen Punkt markiert. Zwei beispielhafte Ellipsen erscheinen rot und hellblau.

Als Cardanische Kreise bezeichnet man eine geometrische Anordnung, bei der ein kleiner Kreis in einem doppelt so großen feststehenden Kreis abrollt. Die ausgeführte Bewegung ist dieselbe, die der Zeichenarm ausführt. Die Strecke <math>\overline{AB}</math> liegt hierbei auf einem Durchmesser des kleinen Kreises. Somit kann mit einem Spirograph eine Ellipse<ref></ref> erzeugt werden, wenn das innere Zahnrad halb so viele Zähne hat wie das Hohlrad, in dem es abrollt. Diese Analogie veranschaulicht auch, dass sich der Momentanpol des Zeichenarms auf dem Außenkreis mit dem Radius <math>p</math> bewegt.

Anwendungen

Der Mechanismus wurde als Physikspielzeug für Kinder verkauft.<ref>Entertainment Center: Kentucky Do-Nothing. In: flickr.com. Scott Kraft, 22. März 2009, abgerufen am 6. April 2017. </ref>

Ein US-Patent benutzt das Prinzip des Ellipsographen für einen Ellipsenschneider.<ref>Patent US4306598A: Ellipse cutting machine. Angemeldet am 26. Juni 1980, veröffentlicht am 22. Dezember 1981, Anmelder: Singer Co, Erfinder: David G. Peot.‌</ref>

Varianten

• 
  Eine ähnliche Mechanik mit nur einem Gleiter und einer Kurbel
• [[Hilfe:Cache|Fehler beim Thumbnail-Erstellen]]:
  Ellipsenzirkel mit drei Gleitern

Literatur

Chris Sangwin: The wonky trammel of Archimedes, This article provides brief notes on an ancient problem: the ellipsograph of Archimedes. (PDF) In: citeseerx.ist.psu.edu. School of mathematics, University of Birmingham …, 25. Juli 2008, archiviert vom Vorlage:IconExternal (nicht mehr online verfügbar); abgerufen am 9. April 2017. 

Weblinks

Commons: Ellipsenzirkel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

<references />