Elliptische Isometrie

In der Mathematik sind elliptische Isometrien in der hyperbolischen Geometrie und allgemeiner in der Theorie der CAT(0)-Räume von Bedeutung.

Definition

Es sei <math>X</math> ein vollständiger CAT(0)-Raum, zum Beispiel ein hyperbolischer Raum. Eine Isometrie

<math>f\colon X\to X</math>

ist eine elliptische Isometrie, wenn sie einen Fixpunkt hat, d. h. wenn es ein <math>x\in X</math> mit <math>f(x)=x</math> gibt.

Beispiel

Sei <math>X={\mathbf H}^2=\left\{z\in\Complex\colon \operatorname{Im}(z)>0\right\}</math> das Halbebenenmodell der hyperbolischen Ebene und <math>f\colon X\to X</math> die durch

<math>f(z)=\frac{\cos(\phi)z+\sin(\phi)}{-\sin(\phi)z+\cos(\phi)}</math>

gegebene Abbildung. Man kann überprüfen, dass <math>f</math> eine Isometrie ist und den Fixpunkt <math>z=i</math> hat. Es ist also eine elliptische Isometrie.

Allgemeiner können Isometrien der hyperbolischen Ebene durch Matrizen <math>A\in SL(2,\R)</math> und Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes durch Matrizen <math>A\in SL(2,\Complex)</math> beschrieben werden. Eine durch <math>A\in SL(2,\R)</math> beschriebene Isometrie der hyperbolischen Ebene ist genau dann elliptisch, wenn für die Spur von <math>A</math> die Ungleichung

<math>-2 < \operatorname{Sp}(A) <2</math>

gilt. Für eine durch <math>A\in SL(2,\Complex)</math> beschriebene elliptische Isometrie des hyperbolischen Raumes gilt notwendigerweise

<math>\mid \operatorname{Sp}(A)\mid \le 2 </math> und <math>\operatorname{Sp}(A)\not\in\left\{-2,2\right\}</math>.

Eigenschaften

Es sei <math>X</math> ein vollständiger CAT(0)-Raum und <math>f\colon X\to X</math> eine Isometrie.

• <math>f</math> ist genau dann elliptisch, wenn es einen beschränkten Orbit hat.<ref name="Bridson-Haefliger">Bridson-Haefliger, op.cit., Proposition 6.7</ref>
• <math>f</math> ist genau dann elliptisch, wenn es ein <math>n>0</math> gibt, für das <math>f^n</math> elliptisch ist.<ref name="Bridson-Haefliger" />

Siehe auch

• Hyperbolische Isometrie
• Parabolische Isometrie

Literatur

• Martin Bridson, André Haefliger: Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 319. Springer-Verlag, Berlin 1999, ISBN 3-540-64324-9.
• Francis Bonahon: Low-dimensional geometry. From Euclidean surfaces to hyperbolic knots. Student Mathematical Library, 49. IAS/Park City Mathematical Subseries. American Mathematical Society, Providence, RI; Institute for Advanced Study (IAS), Princeton, NJ, 2009. ISBN 978-0-8218-4816-6

Weblinks

• Chang: Isometries of the hyperbolic plane

Einzelnachweise

<references />