Euler-Rodrigues-Formel

In der Mathematik und Mechanik dient die Euler-Rodrigues Formel nach Leonhard Euler und Olinde Rodrigues der Beschreibung einer Drehung in drei Dimensionen. Mit vier Euler-Parametern <math>a, b, c, d</math>, für die <math>a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1</math> gilt, definiert

<math>Q:=\begin{pmatrix}

a^2+b^2-c^2-d^2 & 2(bc-ad) & 2(bd + ac) \\

2(bc+ad) & a^2+c^2-b^2-d^2 & 2(cd - ab) \\
2(bd-ac) & 2(cd+ab) & a^2+d^2-b^2-c^2

\end{pmatrix}</math>

eine Drehmatrix. Diese Formel basiert auf der Rodrigues-Formel, benutzt aber eine andere Parametrisierung.

Benutzt wird die Formel in Flugsimulatoren und Computerspielen.

Eigenschaften

Symmetrie

Die Parameter ( <math>a, b, c, d</math> ) und ( <math>-a, -b, -c, -d</math> ) beschreiben dieselbe Rotation, was daran liegt, dass sie in der Q-Matrix immer paarweise miteinander multipliziert werden und so die Minus-Zeichen neutralisiert werden. Von dieser Symmetrie abgesehen, definieren vier Parameter die Drehmatrix in eindeutiger Weise.

Vektorformulierung

Aus den Parametern <math>b, c, d</math> kann ein Vektor <math>\vec\varphi=(b,c,d)^\top</math> gebildet werden. Darin bezeichnet das hochgestellte <math>\top</math> die transponierte Matrix, sodass <math>\vec\varphi</math> ein Spaltenvektor ist. Dann gilt für alle <math>\vec x</math>:

<math>Q\vec x=\vec x + 2a\vec \varphi\times\vec x + 2\vec \varphi\times(\vec \varphi\times\vec x).</math>

So motiviert sich die Bezeichnung für <math>a</math> als skalarer Parameter und <math>b, c, d</math> als Vektorparameter. Mit der Kreuzproduktmatrix

<math>[\vec\varphi]_\times=\begin{pmatrix}0 & -d & c\\ d & 0 & -b\\ -c & b & 0\end{pmatrix}</math>

zeigt sich

<math>

Q =E_3 + 2 a[\vec\varphi]_\times+2[\vec\varphi]_\times[\vec\varphi]_\times =(2a^2-1)E_3 + 2 a[\vec\varphi]_\times+2\vec\varphi\vec\varphi^\top </math>

Darin ist <math>E_3</math> die Einheitsmatrix. Diese entsteht bei <math>\vec\varphi=\vec0</math> mit den Euler-Parametern <math>(a, b, c, d) = ( \pm 1, 0, 0, 0 )</math>. Bei 180°-Drehungen ist <math>a = 0</math> und <math>|\vec\varphi|=1</math>.

Drehwinkel und Drehachse

Jede Drehung in drei Dimensionen ist eindeutig bestimmt durch einen Drehwinkel <math>\phi</math> und eine Drehachse, die durch einen Einheitsvektor <math>\vec{e} = ( e_x, e_y, e_z )^\top</math> mit <math>e_x^2 + e_y^2 + e_z^2 = 1</math> definiert wird. Dann lauten die Euler-Parameter der Drehung:

<math>a = \cos( \phi /2 )</math>

<math>b = \sin( \phi /2 ) e_x</math>

<math>c = \sin( \phi /2 ) e_y</math>

<math>d = \sin( \phi /2 ) e_z</math>

Wenn <math>\phi</math> um eine volle 360°-Drehung zunimmt, entstehen die Euler-Parameter <math>( -a, -b, -c, -d )</math>, die – wie oben bereits bemerkt – dieselbe Drehung repräsentieren.

Der Vektorparameter lautet hier also <math>\vec\varphi=\sin(\varphi/2)\hat e</math>. Mit diesen Parametern und den Doppelwinkelfunktionen entsteht die Rodrigues-Formel für die Drehmatrix:

<math>Q=E_3 + \sin(\varphi)[\hat{e}]_\times+(1-\cos\phi)[\hat{e}]_\times[\hat{e}]_\times</math>

Parameter einer Drehmatrix

Ist die Drehmatrix <math>Q</math> gegeben und sind die Euler-Parameter gesucht, dann werden sie wie folgt gewonnen.<ref>Axel Volkwein: Numerische Simulation von flexiblen Steinschlagschutzsystemen. Hrsg.: Institut für Baustatik und Konstruktion, Eidgenössische Technische Hochschule Zürich. vdf Hochschulverlag AG, 2004, ISBN 978-3-7281-2986-4 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 30. Juni 2017]). </ref> Hat <math>Q</math> nur positive Diagonalelemente, dann ist

<math>\operatorname{Sp}(Q)=3a^2-b^2-c^2-d^2=4a^2-1

\quad\rightarrow\quad a=\pm\frac12\sqrt{\operatorname{Sp}(Q)+1} </math>

Die restlichen Parameter entstehen aus

<math>q_i=\frac{Q_{kj}-Q_{jk}}{4a}</math>

mit

i	1	2	3
qi	b	c	d
j	2	3	1
k	3	1	2

Sind teilweise negative Diagonalelemente vorhanden, dann sei <math>Q_{ii}</math> das größte Diagonalelement und

<math>q_i=\frac12\sqrt{1+2Q_{ii}-\operatorname{Sp}(Q)}</math>

Mit diesem Wert und <math>j, k</math> aus obiger Tabelle ermittelt sich

<math>a=\pm\frac{Q_{kj}-Q_{jk}}{4q_i}

,\quad q_j=\frac{Q_{ji}+Q_{ij}}{4q_i} ,\quad q_k=\frac{Q_{ki}+Q_{ik}}{4q_i} </math>

Berechnung der Drehmatrix einmal mit <math>a</math> und einmal mit <math>-a</math> und Vergleich mit der gegebenen Drehmatrix liefert schließlich das Vorzeichen von <math>a</math>.

Verknüpfung zweier Rotationen

Die Verknüpfung zweier Rotationen ergibt wieder eine Rotation. Aus Euler-Parametern <math>a_1, b_1, c_1, d_1</math> für die erste Drehung <math>Q_1</math> und <math>a_2, b_2, c_2, d_2</math> für die zweite Drehung <math>Q_2</math> ergibt sich die kombinierte Drehung <math>Q_2 Q_1</math> aus erster Drehung und anschließender zweiter Drehung aus den Euler-Parametern

<math>a = a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2</math>

<math>b = a_1b_2 + b_1a_2 - c_1d_2 + d_1c_2</math>

<math>c = a_1c_2 + c_1a_2 - d_1b_2 + b_1d_2</math>

<math>d = a_1d_2 + d_1a_2 - b_1c_2 + c_1b_2</math>.

Auch hier gilt wieder <math>a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1</math>, was durch Einsetzen bestätigt werden kann. Letztere Identität hat über

<math>a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1 = (a_1^2 + b_1^2 + c_1^2 + d_1^2 )(a_2^2 + b_2^2 + c_2^2 + d_2^2)</math>

einen direkten Bezug zum Euler’schen Vier-Quadrate-Satz und den Quaternionen.

Verbindung mit anderen Konstrukten

Quaternionen

→ Hauptartikel: „Drehungen im dreidimensionalen Raum“ im Artikel Quaternion

Die Euler-Parameter können als Komponenten einer Einheitsquaternion angesehen werden. Der Parameter <math>a</math> ist ihr reeller Anteil und <math>b, c, d</math> ihr imaginärer. Mit den Einheitsquaternionen <math>q_{1,2} = a_{1,2} + i b_{1,2} + j c_{1,2} + k d_{1,2}</math>, die aus den Euler-Parametern zweier Drehungen <math>Q_{1,2}</math> bestehen, können die Euler-Parameter der kombinierten Drehung <math>Q_2 Q_1</math> elegant mit dem Produkt der Quaternionen berechnet werden:

<math>a + i b + j c + k d = q_1 q_2</math>

Hier sind <math>i, j</math> und <math>k</math> die komplex-imaginären Einheiten, die sich mit den Hamilton-Regeln <math>i^2 = j^2 = k^2 = i j k = -1</math> nicht kommutativ verknüpfen. Beispielsweise ist <math>j k = -k j = i</math>.

Pauli-Matrizen

Die unitären 2 × 2-Matrizen

<math>\begin{align}

E_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\sigma_0, &\quad \sigma_x=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}=\mathrm{i}\sigma_2 \\ \sigma_y=\begin{pmatrix} 0 & \mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 0 \end{pmatrix}=\mathrm{i}\sigma_1, &\quad \sigma_z=\begin{pmatrix} \mathrm{i} & 0 \\ 0 & -\mathrm{i} \end{pmatrix}=\mathrm{i}\sigma_3 \end{align}</math>

mit der imaginären Einheit <math>\mathrm{i}^2 = -1</math> der komplexen Zahlen hängen mit den Pauli-Matrizen <math>\sigma_{0,1,2,3}</math> zusammen, die im Standardmodell der Elementarteilchenphysik und in der Quantenmechanik verwendet werden.

Die Matrizen <math>\sigma_{x,y,z}</math> transformieren sich ähnlich obiger Hamilton-Regeln der komplex-imaginären Einheiten der Quaternionen:

<math>\sigma^2_x=\sigma^2_y=\sigma^2_z=\sigma_x\sigma_y\sigma_z=-E_2</math>

Entsprechend können diese unitären 2 × 2-Matrizen ebenfalls zur Beschreibung von Rotationen herangezogen werden. Details dazu findet sich bei Quaternion, SU(2) und Spin-Gruppe.

Die zu einer Rotation korrespondierende unitäre 2 × 2-Matrix lautet unter Verwendung der Euler-Parameter:

<math>U = \begin{pmatrix} \ \ \,a+\mathrm{i}d & b+\mathrm{i}c \\ -b+\mathrm{i}c & a-\mathrm{i}d \end{pmatrix}

= a\,E_2+b\,\sigma_x+c\,\sigma_y+d\,\sigma_z = a\,\sigma_0+\mathrm{i}b\,\sigma_2+\mathrm{i}c\,\sigma_1+\mathrm{i}d\,\sigma_3 </math>

Siehe auch

• Spinor
• Orthogonaler Tensor

Einzelnachweise

<references />