Euler-Theorem

Das Euler-Theorem (manchmal auch Eulersche Identität<ref name="Königsberger">Konrad Königsberger: Analysis 2. 5. Auflage. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20389-3, Kapitel 2.8, Aufgabe 4. </ref> oder Satz von Euler über homogene Funktionen) ist ein Satz aus der Analysis, der den Zusammenhang einer (total) differenzierbaren und (positiv) homogenen Funktion mit ihren partiellen Ableitungen beschreibt. Das Theorem findet vielfach Anwendung in der Volkswirtschaftslehre, insbesondere in der Mikroökonomie.<ref>Andreu Mas-Collel, Michael D. Whinston, Jerry R. Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, New York 1995, ISBN 978-0-19-510268-0, S. 929. </ref> Dort ist es auch unter den Namen Wicksteed-Euler-Theorem oder Ausschöpfungstheorem bekannt.

Geschichte[Bearbeiten]

Der Satz ist nach Leonhard Euler (1707–1783) benannt. Das Euler-Theorem wurde in die Wirtschaftswissenschaften durch den Ökonomen Philip Wicksteed integriert. Er benutzte Eulers Theorem in seinem 1894 veröffentlichten Buch The Co-ordination of the Laws of Distribution.

Aussage[Bearbeiten]

Sei die Funktion <math>f \colon \mathbb{R}^k \to \mathbb{C}</math> (total) differenzierbar und (positiv) homogen vom Grad <math>\lambda \in\mathbb{R}</math>. Letzteres bedeutet <math>f(tx) = t^\lambda f(x)</math> für alle <math>t \in \mathbb{R}_{>0}</math> und <math>x \in \mathbb{R}^k</math>. Dann gilt für alle <math>x \in \mathbb{R}^k</math>:<ref name="Königsberger" />

<math>\lambda\cdot f(x) = \sum_{i=1}^k \frac{\partial f}{\partial x_i}(x)\cdot x_i = \frac{\partial f}{\partial x_1}(x)\cdot x_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_k}(x)\cdot x_k</math>

Herleitung[Bearbeiten]

Betrachte die Funktion <math>\mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{C},\; t \mapsto f(tx)</math>. Aus der mehrdimensionalen Kettenregel folgt

<math>\sum_{i=1}^k \frac{\partial f}{\partial x_i}(x)\cdot x_i = \frac{\mathrm df(tx)}{\mathrm dt} \bigg\vert_{t=1} = \frac{\mathrm dt^\lambda f(x)}{\mathrm dt} \bigg\vert_{t=1} = \lambda t^{\lambda-1}f(x)\bigg\vert_{t=1} = \lambda f(x)</math>,

wobei die zweite Gleichheit aus der vorausgesetzten Homogenität von <math>f</math> folgt.

Anwendung in der Volkswirtschaftslehre[Bearbeiten]

Sei <math>f \colon \mathbb{R}_{\geq0}^k \to \mathbb{R}</math> die (total) differenzierbare Produktionsfunktion mit konstanten Skalenerträgen einer Firma. Mathematisch bedeutet dies, dass <math>f</math> (positiv) homogen vom Grad 1 ist. Dann folgt aus Eulers Theorem:

<math>f(x) = \sum_{i=1}^k \frac{\partial f}{\partial x_i}(x)\cdot x_i = \frac{\partial f}{\partial x_1}(x)\cdot x_1 + \dotsb + \frac{\partial f}{\partial x_k}(x)\cdot x_k</math>

Unter der Annahme des perfekten Wettbewerbs auf allen Faktormärkten wird jeder Produktionsfaktor <math>x_1, \dotsc, x_k</math> im Marktgleichgewicht <math>x^* \in \mathbb{R}_{\geq 0}^k</math> gemäß seinem Grenzertrag entlohnt. Das bedeutet für alle <math>i=1, \dotsc, k</math>, dass die Faktorentlohnung des <math>i</math>-ten Produktionsfaktors <math>\frac{\partial f}{\partial x^*_i}(x^*)</math> entspricht. Dies impliziert, dass die betrachtete Firma im Marktgleichgewicht <math>x^*</math> keinen Gewinn erwirtschaften kann, da die komplette Produktion <math>f(x^*)</math> für die Entlohnung der Produktionsfaktoren, <math>\sum_{i=1}^k \frac{\partial f}{\partial x_i}(x^*)\cdot x^*_i</math>, aufgewendet wird.

Ein konkretes Beispiel: Gegeben sei die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion <math>f\colon \mathbb{R^2_{\geq 0}} \to \mathbb{R}, \; (K,L)\mapsto \sqrt{KL}</math>, wobei <math>K</math> und <math>L</math> hier die Faktoren Kapital bzw. Arbeit darstellen. <math>f</math> ist offensichtlich differenzierbar und homogen vom Grad 1, da <math>f(\alpha K, \alpha L) = \alpha f(K, L)</math> für alle <math>\alpha \in \mathbb{R}_{>0}</math> gilt. Laut Eulers Theorem folgt:

<math>K \frac{\partial f}{\partial K}(K, L) + L \frac{\partial f}{\partial L}(K, L) = K \cdot \frac12 \frac{\sqrt{L}}{\sqrt{K}} + L \cdot \frac12 \frac{\sqrt{K}}{\sqrt{L}} = \sqrt{KL} = f(K, L)</math>

Euler-Theorem in der klassischen Mechanik[Bearbeiten]

Die kinetische Energie <math>E_\mathrm{kin}</math> eines abgeschlossenen Systems aus <math>N</math> Massenpunkten mit den Massen <math>m_a</math>

<math>E_\mathrm{kin} = \sum_{a=1}^N\tfrac12 m_a \vec v_a\!^2</math>

ist eine homogene Funktion zweiten Grades der Geschwindigkeiten <math>\vec v_a</math>.<ref>L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 1, Mechanik -. 9. Auflage. Akademie Verlag, Berlin 1979, S. 10. </ref> Nach dem Eulerschen Satz für homogene Funktionen gilt daher

<math>2\,E_\mathrm{kin}= \sum_{a=1}^N \frac{\partial E_\mathrm{kin}}{\partial \vec v_a}\cdot \vec v_a </math>

Mit den Impulsen <math>\vec p_a=\tfrac{\partial E_\mathrm{kin}}{\partial \vec v_a}</math> erhält man<ref>L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 1, Mechanik -. 9. Auflage. Akademie Verlag, Berlin 1979, S. 28. </ref>

<math>2\,E_\mathrm{kin}= \sum_{a=1}^N \frac{\partial E_\mathrm{kin}}{\partial \vec v_a}\cdot \vec v_a = \sum_{a=1}^N \vec p_a\cdot \vec v_a=\frac{\mathrm{d}\,\,\,}{\mathrm{d}t}\left(\sum_{a=1}^N \vec p_a\cdot \vec r_a\right)-\sum_{a=1}^N \dot{\vec p}_a\cdot \vec r_a</math>

Dabei kennzeichnet ein Punkt über einer Größe die Ableitung nach der Zeit.

Für gebundene Bewegungen in einem begrenzten Raumbereich bei endlichen Geschwindigkeiten bleibt die Größe

beschränkt. Daher verschwindet der Zeitmittelwert ihrer Zeitableitung:

<math>\left\langle \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t}\right\rangle=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_0^T\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{F(T)-F(0)}{T}=0.</math>

Nach zeitlicher Mittelung folgt somit

<math>\langle 2\,E_\mathrm{kin}\rangle =\left\langle\frac{\mathrm{d}\,\,\,}{\mathrm{d}t}\left(\sum_{a=1}^N \vec p_a\cdot \vec r_a\right)\right\rangle-\left\langle\sum_{a=1}^N \dot{\vec p}_a\cdot \vec r_a\right\rangle =\left\langle\sum_{a=1}^N \frac{\partial E_\mathrm{pot}}{\partial \vec r_a}\cdot \vec r_a\right\rangle</math>

wobei die Newtonschen Bewegungsgleichungen<ref>L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 1, Mechanik -. 9. Auflage. Akademie Verlag, Berlin 1979, S. 11. </ref>

<math>\dot{\vec p}_a = -\frac{\partial E_\mathrm{pot}}{\partial \vec r_a}</math>

verwendet wurden.

Ist die potentielle Energie <math>E_\mathrm{pot}</math> eine homogene Funktion vom Grad <math>\lambda</math> der Ortsvektoren <math>\vec r_a</math>, so ergibt sich mit dem Eulerschen Satz für homogene Funktionen

<math>2\langle E_\mathrm{kin}\rangle=\lambda \langle E_\mathrm{pot}\rangle</math>

Dies ist die allgemeine Form des Virialsatzes für Potentiale, die homogene Funktionen der Koordinaten sind.

Für kleine Schwingungen um eine stabile Gleichgewichtslage ist das Potential quadratisch in den Auslenkungen, also <math>\lambda=2</math>. In diesem Fall folgt

<math>\langle E_\mathrm{kin}\rangle= \langle E_\mathrm{pot}\rangle</math>

Die zeitlich gemittelten kinetischen und potentiellen Energien sind somit gleich.

Für die Newtonsche Gravitationswechselwirkung ist das Potential eine homogene Funktion vom Grad <math>\lambda=-1</math>. Daraus ergibt sich<ref>L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 1, Mechanik -. 9. Auflage. Akademie Verlag, Berlin 1979, S. 29. </ref>

<math>2\langle E_\mathrm{kin}\rangle=- \langle E_\mathrm{pot}\rangle</math>

Dies ist die für gravitativ gebundene Systeme wichtige Form des Virialtheorems.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Eric W. Weisstein: Euler’s Homogeneous Function Theorem. In: MathWorld (englisch).
Eulersches Theorem in Gablers Wirtschaftslexikon

Einzelnachweise[Bearbeiten]