Exakter Funktor

Ein exakter Funktor ist in der Kategorientheorie ein Funktor, der jede kurze exakte Sequenz auf eine kurze exakte Sequenz abbildet. Für einen exakten Funktor <math>F</math> bedeutet dies, dass aus der Exaktheit von <math>0\rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0</math> auch die Exaktheit von <math>0\rightarrow F(A) \rightarrow F(B) \rightarrow F(C) \rightarrow 0</math> folgt.

Definition

Ein additiver, kovarianter Funktor <math>F:\mathfrak{C}\rightarrow \mathfrak{D}</math> heißt

• halbexakt, falls <math>FA\rightarrow FA'\rightarrow FA</math> exakt ist
• linksexakt, falls <math>0\rightarrow FA\rightarrow FA'\rightarrow FA</math> exakt ist
• rechtsexakt, falls <math>FA\rightarrow FA'\rightarrow FA\rightarrow 0</math> exakt ist
• exakt, falls <math>0\rightarrow FA\rightarrow FA'\rightarrow FA\rightarrow 0</math> exakt ist

für alle kurzen exakten Sequenzen <math>0\rightarrow A \rightarrow A' \rightarrow A \rightarrow 0</math> in <math>\mathfrak{C}</math>.<ref>Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Definition 3.1.</ref><ref>Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, ISBN 3-411-014420-2, Kapitel III, Definition 32.</ref>

Ein kontravarianter Funktor <math>F:\mathfrak{C}\rightarrow \mathfrak{D}</math> heißt halb/links/rechts/exakt, falls er dies als kovarianter Funktor <math>\mathfrak{C}^{op}\rightarrow \mathfrak{D}</math> ist.

Halbexakte Funktoren zwischen abelschen Kategorien sind additive Funktoren.<ref>Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.2.</ref>

Beispiele

• Die Hom-Funktoren <math>\mathrm{Hom}(A,-)</math> und <math>\mathrm{Hom}(-,B)</math> sind linksexakt.
• Die Tensorprodukt-Funktoren <math>(A\otimes -)</math> und <math>(-\otimes B)</math> sind rechtsexakt.
• Der Funktor „globale Schnitte“ auf der Kategorie der Garben von abelschen Gruppen in die Kategorie der abelschen Gruppen ist linksexakt, siehe Garbenkohomologie.
• Für eine endliche Gruppe <math>G</math> ist der Funktor „G-Invarianten“ von der Kategorie der <math>G</math>-Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen linksexakt, siehe Gruppenkohomologie.
• Der Dualraum-Funktor in der Kategorie der Banachräume mit den stetigen linearen Abbildungen als Morphismen ist exakt, wie sich aus dem Satz vom abgeschlossenen Bild ergibt.
• Für eine beliebige natürliche Zahl <math>n>1</math> ist der Funktor

<math>\mathfrak{Ab}\to\mathfrak{Ab},\quad M\mapsto nM</math>

auf der Kategorie der abelschen Gruppen additiv und erhält Mono- und Epimorphismen, ist jedoch nicht exakt.

Einzelnachweise

<references />