Farey-Graph
In der Mathematik ist der Farey-Graph ein unendlicher Graph, der zahlreiche Anwendungen in der Zahlentheorie und anderen Gebieten der Mathematik besitzt.
Definition[Bearbeiten]
Die Knotenmenge des Farey-Graphen ist <math>\Q\cup\left\{\infty\right\}</math>, also die Menge aller Paare
- <math>\left\{\frac{p}{q}:p,q\in\Z\ \mbox{teilerfremd}, q\ge 0\right\}</math>,
wobei <math>\infty</math> als <math>\frac{1}{0}</math> aufgefasst wird.
Zwei Knoten <math>\frac{a}{c}</math> und <math>\frac{b}{d}</math> sind genau dann durch eine Kante verbunden, wenn
- <math>\det\left(\begin{array}{cc}a&b\\
c&d\end{array}\right)=\pm 1</math> gilt.<ref>The boundary of the Gieseking tree in hyperbolic 3-space, Kapitel 3</ref>
Anwendungen[Bearbeiten]
- Farey-Folgen werden durch Farey-Diagramme <math>F_n</math> beschrieben, der Farey-Graph ist die Vereinigung <math>\cup_n F_n</math> aller Farey-Diagramme.
- In der Theorie der Kettenbrüche wird der Farey-Graph verwendet, um zu beweisen, dass jeder periodische Kettenbruch eine quadratische Irrationalzahl ist.
- Die Modulgruppe <math>SL(2,\Z)</math> und ihr Quotient <math>PSL(2,\Z)=SL(2,\Z)/\pm I</math> wirken durch gebrochen-lineare Transformationen auf <math>\Q\cup\left\{\infty\right\}</math> und bilden dabei adjazente Knoten des Farey-Graphen wieder auf adjazente Knoten ab.
- Die Einbettung des Farey-Graphen in die Kompaktifizierung der hyperbolischen Ebene mittels der Identifizierung <math>\Q\cup\left\{\infty\right\}=P^1\Q\subset P^1\R=\partial_\infty H^2</math> und Realisierung der Kanten als Geodäten gibt die Farey-Tesselation der hyperbolischen Ebene.
- Die Coxeter-Gruppe <math>G=\langle a,b,c\vert a^2=b^2=c^2=1\rangle</math> (d. h. die Spiegelungsgruppe eines idealen Dreiecks) wirkt auf dem Fareygraphen durch
- <math>a\to\pm\left(\begin{array}{cc}0&-1\\
1&0\end{array}\right), b\to\pm\left(\begin{array}{cc}1&-1\\ 2&-1\end{array}\right),c\to\pm\left(\begin{array}{cc}1&-2\\ 1&-1\end{array}\right)</math>,
- jedes der Dreiecke der Farey-Tesselation ist ein Fundamentalbereich der Wirkung von <math>G</math> auf der hyperbolischen Ebene.
- Der Kurvenkomplex des punktierten Torus ist der Farey-Graph, die Wirkung der Abbildungsklassengruppe auf dem Kurvenkomplex ist die Wirkung von <math>SL(2,\Z)</math> auf dem Farey-Graphen.<ref>The train track complex of the once punctured torus and the four punctured sphere</ref>
Weblinks[Bearbeiten]
- The Farey diagram (PDF; 675 kB)
- Distance formula in Farey graph
Einzelnachweise[Bearbeiten]
<references />