Fermat-Catalan-Vermutung

Die Fermat-Catalan-Vermutung ist eine offene Vermutung der Zahlentheorie.

Sie hat ihren Namen daher, dass ihre Formulierung Ideen der Fermat-Vermutung und Catalanschen Vermutung umfasst. Die Vermutung besagt, dass es nur endlich viele Lösungen <math>a, b, c, m, n, k \in \mathbb N</math> gibt mit

<math>a^m+b^n=c^k</math>,

wobei <math>a, b, c</math> koprim zueinander sind und

<math>\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<1</math>.

Letztere Bedingung schließt die pythagoräischen Tripel (<math>m=n=k=2</math> mit unendlich vielen Lösungen) aus und einige weitere Fälle mit unendlich vielen Lösungen. Die Ungleichung <math>\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}>1</math> wird genau erfüllt von <math>(m,n,k)= (2,2,k), (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5)</math> und Permutationen, jeweils mit unendlich vielen Lösungen,<ref name="Beukers">Beukers: The ABC conjecture. (PDF; 514 kB) Vortragsfolien 2005</ref> und <math>\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}=1</math> von <math>(m,n,k)=(2,4,4), (2,3,6), (3,3,3)</math> (mit Permutationen), mit jeweils endlich vielen Lösungen.

Der Fall der inzwischen bewiesenen Catalan-Vermutung ist der, bei dem eines der <math> a,b,c</math> gleich <math>1 </math> ist. Die einzige Lösung ist nach der Vermutung

<math>1^m+2^3=3^2\;</math>.

Streng genommen liefern unendlich viele <math>m > 6 </math> eine Lösung, doch wird dies ebenfalls als trivialer Sonderfall ausgeschlossen.

Nichttriviale Lösungen der Fermat-Catalan-Gleichung[Bearbeiten]

Bekannt sind die nach dem Stand von 2015 die folgenden Lösungen:<ref>Die zehn Fälle wurden schon 1995 aufgezählt von Darmon, Granville. In: Bulletin of the London Mathematical Society, Band 27, 1995, S. 513–543. Sie finden sich auch in dem Vortrag von Beukers zur ABC-Vermutung 2005.</ref>

Die letzten und größten fünf Lösungen der Liste stammen von Frits Beukers und Don Zagier.<ref>R. Daniel Mauldin: A generalization of Fermat’s problem: The Beal conjecture and prize problem. In: Notices AMS, Dezember 1997, Nr. 11, S. 1437, ams.org (PDF; 124 kB)</ref>

Gesicherte Resultate[Bearbeiten]

Nach einem auf dem Satz von Faltings beruhenden Satz von Henri Darmon und Andrew Granville<ref>Darmon, Granville: On the equations <math>z^m = F(x,y)</math> and <math>Ax^p + By^q = Cz^r</math>. In: Bulletin of the London Mathematical Society, Band 27, 1995, S. 513–543</ref> gibt es zu festen <math>n, m, k</math> nur endlich viele Lösungen. Die Fermat-Catalan-Vermutung behauptet die Endlichkeit aber auch für unendlich viele mögliche Exponenten.

Die Fermat-Catalan-Vermutung folgt aus der abc-Vermutung.<ref name="Beukers" />

Nach der Vermutung von Andrew Beal muss einer der Exponenten in der Fermat-Catalan-Vermutung <math>2</math> sein.

Spezielle Werte der Exponenten[Bearbeiten]

Die Endlichkeit der Lösungen wurde für spezielle Kombinationen von Exponenten <math>( m, n, k)</math> der Vermutung untersucht, darunter:

(2, 3, 7) von Bjorn Poonen u. a. (2005)<ref>Poonen, Edward Schaefer, Michael Stoll: Twists of X (7) and primitive solutions of <math> x^2+y^3=z^7</math>. arxiv:math/0508174</ref>
Die von Andrew Wiles bewiesene Fermatvermutung behandelt den Fall (k, k, k) mit keiner Lösung für <math>k \geq 3</math>
Henri Darmon und Loïc Merel behandelten den Fall (k,k,2) und (k, k, 3) und zeigten, dass es keine Lösungen für (k, k, 3), <math> k \geq 3</math> gibt und für (k, k, 2) für <math> k \geq 4</math>.<ref>Darmon, Merel: Winding Quotients and Some Variants of Fermat’s Last Theorem. In: J. reine angew. Math. Band 490, 1997, S. 81–100, SUB Göttingen</ref>
(2n, 2n, 5) von Michael Bennett
(2,4,n) von Jordan S. Ellenberg, Ellenberg/Bennett/Ng und Bruin<ref>Michael Bennett, mit Chen, Dahmen, Yazdani: The Generalized Fermat equation: a progress report. (PDF; 442 kB) Hawaii-Manoa 2012, Vortragsfolien</ref> und (2, n, 4) von Bennett und Bennett/Skinner
(2,6,n) von Bennett/Chen und Bruin
(2, n, 6), (3,3,2n), (3,6,n), (2, 2n, k) für k= 9, 10 oder 15, (4, 2n, 3) von Bennett, I. Chen, S. Dahmen, S. Yazdani
(2,4,7) von Ghioca [unpubliziert]
(2,3,8), (2,3,9), (2,4,5), (2,4,6), (3,3,4), (3,3,5) von Bruin (2004)<ref>N. Bruin: Visualising Sha[2] in Abelian Surfaces. In: Math. Comput. Band 73, 2004, S. 1459–1476</ref>
(5,5,7), (7,7,5) von Dahmen/Siksek
(3,4,5) Siksek/Stoll

Henri Darmon (2012) verfolgt ein Programm der Verallgemeinerung der Frey-Kurve des Fermatproblems (zu Frey-Abel-Varietäten), um die verallgemeinerten Fermat-Gleichungen <math>(p, p, r)</math> zu untersuchen (mit <math> r >3</math>).

Weblinks[Bearbeiten]

Eric W. Weisstein: Fermat-Catalan Conjecture. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise[Bearbeiten]