Flachpunkt
Ein Flachpunkt ist ein Punkt <math>(x_0|f(x_0))</math> auf dem Graphen einer reellen Funktion, an dem die zweite Ableitung der (an dieser Stelle mindestens zweimal differenzierbaren) Funktion null ist.<ref>Mathematische Formeln und Definitionen. Friedrich Barth u. a. (Herausgeber), Bayerischer Schulbuch-Verlag, S. 64.</ref><ref>Elemente der Mathematik 11/12 Niedersachsen, Schroedel Verlag, Braunschweig, 2009, ISBN 978-3-507-87920-1, S. 29.</ref> Flachpunkte umfassen also sowohl Wendepunkte (bei denen die zweite Ableitung von <math>f</math> einen Vorzeichenwechsel hat, also eine Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergeht oder umgekehrt; siehe in der Grafik den Punkt mit der grünen Tangente bei <math>x = -1</math>) als auch Punkte, an denen das Krümmungsverhalten sich nicht ändert. Letztere werden manchmal auch als echte Flachpunkte bezeichnet (siehe in der Grafik den Punkt mit der blauen Tangente bei <math>x = 2</math>). Bei echten Flachpunkten ist außer der zweiten auch noch (mindestens) die dritte Ableitung gleich 0 mit Vorzeichenwechsel (sofern die Funktion an dieser Stelle mindestens dreimal differenzierbar ist).
Besitzen Flachpunkte einen Anstieg, so kann man sie nach ihrer Art in Flachstieg und Flachfall unterscheiden.
Andere Definition[Bearbeiten]
Manche Autoren verlangen zusätzlich, dass sich das Krümmungsverhalten nicht ändert und der Anstieg ungleich Null ist;<ref name="books-Qc7xAAAAMAAJ-">Praxis der Mathematik. Band 37, Aulis Verlag Deubner, 1995, S. 57 (eingeschränkte Vorschau in der Google-BuchsucheSkriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:GoogleBook“ ist nicht vorhanden.).</ref> Flachpunkte sind dann die Nullstellen gerader Ordnung der 2. Ableitung. Die Flachpunkte nach dieser alternativen Definition (beispielsweise in der Grafik der Punkt mit der blauen Tangente bei <math>x = 2</math>) wären also genau die echten Flachpunkte nach der ersten Definition. Insbesondere sind Wendepunkte (beispielsweise in der Grafik der Punkt mit der grünen Tangente bei <math>x = -1</math>) nach dieser Definition nun keine Flachpunkte. Auch Extrempunkte mit vielfachen Nullstellen sind dann keine Flachpunkte.
Gleichbedeutend ist dann folgendes: <math>f(x_0)=0</math> und <math>f</math> hat eine Nullstelle gerader Vielfachheit bei <math>x_0</math>. Dann hat <math>f</math> nämlich an der Stelle <math>x_0</math> ein Extremum, da kein Vorzeichenwechsel von <math>f</math> bei <math>x_0</math> erfolgt; somit erfolgt keine Änderung der Krümmungsrichtung, und es liegt ein Flachpunkt vor und kein Wendepunkt.
Einzelnachweise[Bearbeiten]
<references />